CombinationsYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  671.4K views 1.8K likes 155 dislikes   06 May 2008
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
Здравствуйте!
In the last video we figured out how many different ways
На прошлом уроке мы выясняли, сколько есть различных способов
could 5 people sit in 3 chairs.
Рассадить 5 человек по 3 креслам.
So for example, if this is chair one, this is chair two, this is chair three.
Так, например, это кресло №1, это кресло №2, это кресло №3.
We said, well, in chair one we could put 5 people.
Мы говорили, что на кресло №1 претендуют 5 человек,
No one's sitting down.
но пока еще на нем никто не сидит.
Then there's only going to be 4 people left, so we could put 4
Затем останется только 4 человека, поэтому мы могли бы
different people in chair 2.
любого из четырех посадить в кресло №2.
And then there would be 3 people left that we could
А затем осталось бы только 3 человека,
put in chair three.
любого из них мы могли бы посадить в кресло №3.
So the total permutations, the different ways that people
Итого размещений, т.е. способов, с помощью которых
could sit in the different yours if we cared about the
люди могли бы рассесться по разным креслам,
order-- if we cared about which chair they were sitting down
если бы нам был важен порядок
in-- it would be 5 times 4 times 3.
в какие кресла они садятся - было бы 5<i>4</i>3.
And another way of thinking about that-- 5 times 4 times
Есть и другой способ посчитать размещения.
3-- that's the same thing. That equals 5 times 4 times 3 times 2 times 1 over what?
5<i>4</i>3 – то же самое, что и 5<i>4</i>3<i>2</i>1 разделить на что?
Over 2 times 1.
Разделить на 2*1.
And that's the same thing as 5 factorial over 2 factorial.
В свою очередь это - то же, что и 5 факториал разделить на 2 факториал.
Now where does this 2 come from?
Откуда появилось это 2?
How is 2 related to the 5 and 3? What's the difference between the two?
Как это 2 связано с 5 и 3, и какая разница между ними?
So this is the same thing, this is equal to 5 factorial over 5 minus 3 factorial.
Итак, вот это - то же самое, что и 5! разделить на (5-3)!.
And that in general is how we figure out, how many permutations can 5 things place themselves or be
А в общем, как мы вычисляем количество размещений, с помощью которых 5 предметов сами размещаются или
placed into 3 positions?
могут быть размещены в 3 местах?
And the general formula is-- and we learned this in the last video.
Общая формула… мы рассматривали ее на прошлом уроке.
And I will switch colors. If we want to put n things into k positions, and k has to
Вот она, в ней n – кол-во предметов, которые мы хотим поместить в k мест,
be less than or equal to n.
и k должно быть меньше либо равно n.
Well actually, it doesn't have to. But for our purposes right now we'll assume it is because our
Хотя, на самом деле, не должно… но для наших нынешних целей
formula might break down if it weren't.
предположим, что должно,
And that equals n factorial over n minus k factorial.
иначе наша формула потеряет смысл. И это равно n! разделить на (n-k)!.
I always find this harder to memorize than just
Мне всегда кажется, что труднее запомнить эту формулу,
thinking about the spot.
чем просто подумать о местах (позициях).
Then just saying, oh well, you know, 5 people, 5 of
Тогда я просто говорю: всего есть 5 человек,
the things could be here.
и любой из них мог бы быть здесь.
And then once one thing is here, there's 4 possibilities
Затем, т.к. 1 человек уже здесь, то для второго
left and then there's 3 possibilities left.
остаются только 4 человека, а для третьего – 3.
The way I think of it I take the first k terms of the n factorial.
И я вычисляю таким способом: беру первые k элементов от n факториала.
Or in this case, I take the first three terms of the 5 factorial.
В этом случае я беру первые три элемента от 5!
5 times 4 times 3.
5<i>4</i>3.
That's how I think of permutations.
Вот как я рассуждаю о размещениях.
This is great if we cared-- let's say these are people A, B, C, D, E.
А теперь давайте назовем этих людей A, B, C, D, E.
So these are the 5 people that are going to sit in the chairs.
Т.е. это 5 человек, которые будут сидеть в креслах.
This is great if we wanted to count the permutation ABC as different from the permutation ACB, as different from the permutation-- I don't know-- BAC as different from
Считаем, что комбинация ABC отлична от комбинации ACB, отлична от комбинации ВАС
the permutation BCA.
и от комбинации ВСА.
Because remember, when we did this we actually cared about
Потому что помните: если мы так считаем, то, значит, в этом случае
where they're sitting. And in the previous video we double counted everything
заботимся о том, где именно и какие люди сидят. И на прошлом уроке мы дважды все посчитали,
because it matters if person A is in seat one and
потому что имеет значение, сидит ли человек А на сиденье №1,
person B is in seat two.
а человек В на сиденье №2.
And then if they switch we recounted, right?
А затем, если они меняются местами, то мы это учитываем, так?
This is where they switch.
Вот где они меняются местами.
But what if we didn't care about that?
Но что, если бы нам это не было важно?
What if we didn't care who's in what seat?
Что, если бы мы не заботились о том, кто на каком сиденье сидит?
We just wanted to know how many different ways can
Т.е. мы просто хотели бы знать,
the 5 people sit down?
сколько есть разных способов рассадить 5 человек?
So we want to count all the situations where person A, B, and C are sitting down as essentially one situation.
Итак, по сути, мы хотим посчитать все ситуации, в которых рассаживаются люди A, B и С как одну ситуацию.
We don't care who's sitting in which chair.
Нас не волнует, кто в какое кресло садится.
We just care that those are the 3 people sitting down.
Нас волнуют только 3 человека, которые рассаживаются.
That's the set, the subset of the people sitting down.
Это подмножество рассаживающихся людей.
And so the question then becomes not how many different
И потому вопрос уже не в том, сколько есть различных размещений
permutations or how many different ways can the people sit down, the question becomes, how many subsets of 3 can
или какими различными способами люди могут рассаживаться. Теперь вопрос ставится так: сколько подмножеств из 3 элементов
we take out of a set of 5?
мы можем составить из 5-элементного множества?
And I know I'm kind of jumping up around a little bit, but
Знаю, что я немного забегаю вперед,
that's essentially what a combination is.
но, по сути, это определение сочетания.
A combination is a permutation where you don't care about the order.
Сочетание – это размещение, в котором вы не заботитесь о порядке.
So how do we figure it out?
Итак, как мы вот это нашли?
Well, when we figured out the permutations using this formula
Когда мы находили размещения, используя эту формулу,
we counted-- for example, we counted ABC, ACB, BAC,
то мы считали… например, мы считали ABC, ACB, BAC,
BCA, and let's see.
BCA, и… Давайте посмотрим.
There should be two more permutations.
Здесь должны быть еще две комбинации:
CAB and CBA.
CAB и CBA.
We counted all 6 of these as different permutations.
С точки зрения размещений все эти 6 комбинаций различны.
But in our combinations we're going to want to-- this is all
С точки зрения сочетаний все они, по сути, одинаковы…
essentially the same combination because we don't care about the order.
потому что в сочетаниях мы не заботимся о порядке.
So for any 3 different people that are in these seats,
Итак, для любых трех разных человек, которые сидят на этих сидениях,
there's actually going to be 6 permutations that we're
существует 6 перестановок
counting when we do the permutations.
(которые мы находим, когда занимаемся перестановками).
So if we want the combinations we'll just divide by the number
А если нам нужны сочетания, то мы просто разделим на количество способов,
of ways we can rearrange 3 people into 3 seats.
с помощью которых мы можем пересаживать 3 человек по 3 сиденьям.
That's essentially what we did here.
Это, по сути, то, что мы делали здесь.
So how many different ways can you arrange 3
Итак, сколькими разными способами
people into 3 seats?
вы рассадить трех человек по трем сиденьям?
Well, this is kind of another permutation problem.
Ну, это что-то вроде еще одной задачи по перестановке.
The first seat you could put 3 different people, the second
На первое сиденье вы могли бы посадить любого из 3 человек,
seat you put 2 different people, and the last seat--
на второе сиденье – любого из 2, а на третье сиденье
well, there's only 1 person left.
остается только 1 человек.
So it equals 3 factorial, which is equal to 6.
Это равно факториалу числа 3, и равно это 6.
This is equal to 3 factorial, which is equal to 6.
Это равно 3!, и равно это 6.
Hope I'm not confusing.
Надеюсь, я не сбиваю вас с толку.
What I'm just trying to say is when you did a permutation we
Я пытаюсь сейчас до вас донести то, что когда мы делали размещения,
counted all of the different orders of how people could arrange themselves.
мы считали все возможные порядки, в которых люди могли бы рассаживаться.
And what I'm saying now is well, how many different ways
А сейчас я вас спрашиваю: "Сколько есть различных способов,
can people arrange themselves?
с помощью которых люди могут рассаживаться?"
Well, it's going to be the number of places factorial
Ну, это будет равно факториалу числа мест,
because if we have 3 people in 3 spots or let's say,
потому что если у нас есть 3 человека на 3 места или, предположим,
4 people in 4 spots.
4 человека на 4 места.
The fourth spot can have 4 people, the second spot can have 3, and so forth, the third spot could have 2, and the
На 4-е место претендуют 4 человека, на 3-е – 3, на 2-е – 2, и на последнее сиденье
last spot will only have 1.
остается только 1 человек.
So it's the number of spots factorial is how many permutations we're counting.
Итак, факториал количества мест – это и есть количество перестановок.
When we have just the same people, they're just playing
Если у нас есть все те же люди, они просто
musical chairs in the exact same seats.
меняются местами на своих сиденьях. Вот что такое перестановки.
So on order to figure out the combination, so if we wanted to
Попробуем найти сочетания (обозначим большой буквой «С»).
say how many people-- let's say if we had 5 people.
Предположим, что у нас 5 человек.
How many different groups of 3 can be seated?
Сколько различных групп из 3 человек могут быть рассажены?
And we don't want to double. We don't want to more than double count.
(И мы не хотим повторяться.
I don't know what the word is for counting something six times.
Не хотим проводить двойное вычисление, т.е. считать одного и того же человека дважды или трижды.
Well, it's just going to be the same thing as the permutation divided by all of the extra counting we did. We'll just divide by the number of ways that 3 people can
Формула будет такая же, как и у размещения, но еще в знаменателе количество способов,
arrange themselves in 3 seats. And that's 3 factorial.
с помощью которых, в нашем случае, 3 человека смогут рассесться по 3 сиденьям. Поэтому у нас в знаменателе будет ещё 3!.
And I hope I'm making sense.
Надеюсь, я понятно объясняю.
Maybe I'll do a couple more examples in other videos.
Может быть, я приведу еще пару примеров на следующем уроке,
And definitely request it if you think this
вы только дайте мне знать точно, если считаете, что
is extra confusing.
совсем непонятно.
So in general, if we say, what are the different ways that
Итак, в общем, если мы скажем: «Сколько есть разных способов,
n things can be chosen?
с помощью которых можно выбрать n предметов?»
Or the number of combinations that n things can be chosen into sets of r, where r is less than or equal to n.
Или количество сочетаний, с помощью которых n предметов могут быть собраны в множества r, где r ≤ n.
It's equal to the number of permutations you could create
Это равно количеству размещений, которые вы можете сделать,
of putting n things into r spots, divided by r factorial.
раскладывая n предметов по r местам, разделить на r!
We're going to divide by the number of ways the r spots
Мы разделим на количество способов, с помощью которых r мест
themselves could be rearranged because we don't want to
могли бы сами быть переставлены, т.к. не хотим
count those as extra.
дополнительно считать их.
And so if we go back to this formula up here, well, this
А если вернуться к этой формуле, вверху,
was a k, but now we're saying it's an r.
то это было k, но теперь мы предполагаем, что это r.
This is the same thing as-- so the permutations was n factorial over n minus r factorial.
Это то же самое, что… Итак, размещение было равно n!/(n-r)!
And now we're dividing everything by r factorial.
И теперь мы все делим на r!
So that equals-- let me just write this.
И это равно… Давайте я запишу.
This is often written as n choose r.
Это часто пишется как «r из n».
Another way it's written is n choose r.
А другой способ записи – вот так «r из n».
This is called the binomial coefficient and we'll do a
Это называется биномиальным (двойным) коэффициентом,
whole series of modules on that as well because this actually
и мы также проведем целую серию уроков на эту тему,
shows up in polynomial expansion when you take
потому что там показывается разложение полинома,
polynomials to powers.
если вы возводите полиномы в степень.
But this is equal to n factorial over r factorial divided by n minus r factorial.
Формула сочетания n!/(r!(n-r)!).
You could memorize this.
Вы можете это выучить наизусть.
You know, it's useful if you want to do things
Знаете, это полезно, если вы хотите быстро
quickly on tests.
решать задачи во время тестов.
But it's very important to think about where it came from.
Но очень важно помнить о том, откуда это взялось.
The n factorial over the n minus r factorial-- this is just the permutation.
n!/(n-r)! – это просто размещение.
And what is that? Well, that was just the first r-- I guess you could call
А что было факториалом n? Ну, это были только первые r… Думаю, можно было бы
it the first r factors.
назвать это первыми r множителями.
The r largest factors of n factorial.
Первые r наибольших множителей n факториала.
That's all that is.
Вот и все, что это было.
And then when we do the combinations we divided by r
Затем, если мы составляем сочетания, то делим это еще и на r!,
factorial because we want to divide it by all the different
потому что хотим разделить на все различные расположения,
arrangements that the people could seat themselves in r seats.
которые люди могли бы занять, рассаживаясь по r сиденьям.
Or, the balls could be placed in r cups.
Или, например, мячики могут быть помещены в r чашек.
So in this situation if we want to know how many different
Итак, в этой ситуации, если мы хотим знать,
groups of 3 can be selected from 5 people or from 5
сколько различных групп из 3 могут быть выбраны среди 5 человек (или среди 5 букв),
letters, it's going to be 5 factorial over 3 factorial times 5 minus 3 factorial.
то это будет равно 5!/(3!(5-3)!).
And that's 5 times 3 times 2 times 1, over-- 3
И это 5<i>3</i>2*1, разделить на…3!=6.
factorial is just 6. We'll put that aside for a second.
Мы его ненадолго отложим в сторону.
Divided by-- this is 3 factorial. 2 times 1.
Разделить на… Это 2 факториал, т.е. 2*1.
So notice, this is a permutation part right here.
Итак, заметьте: вот эта часть – это размещение.
This term just gets rid of the two lowest factors.
И эта часть избавляется от двух наименьших множителей.
You get 5 times 3.
Получится 5*3.
Oh, sorry there's a 4.
Ой, прошу прощения, здесь еще и 4.
5 times 4 times 3, which is the number of permutations.
5<i>4</i>3, что является количеством размещений.
And then we divide by 6 because we get 6 permutations for
А затем мы делим на 6, потому что получаем 6 перестановок
really every combination.
т.е. 6 разных комбинаций одних и тех же элементов.
Maybe that confused you.
Может, это вас запутало.
But anyway, so we get 5 times 4 times 3 divided by 6.
Но тем не менее, мы получили (5<i>4</i>3)/6.
And that's what?
И чему это равно?
5 times 12 divided by 6, which is equal to 5 times 2.
(5<i>12)/6, и это также равно 5</i>2.
There's 10 possible ways that we can take sets of 3
И получилось 10 возможных способов, с помощью которых
from a group of 5 things.
мы можем получить 3-х элементные множества из группы, состоящей из 5 предметов.
See you in the next video.
До встречи на следующем уроке!
Similar videos:

Combination formula | Probability and combinatorics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
1M views 7.2K likes 318 dislikes 21 Nov 201441% match

Permutations
Khan Academy
967.6K views 3.4K likes 137 dislikes 06 May 200840% match



Generalizing with binomial coefficients (bit advanced) | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
282.8K views 715 likes 27 dislikes 10 Aug 201137% match

Probability using combinations | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
594.6K views 1.3K likes 117 dislikes 10 May 200837% match


Permutation formula | Probability and combinatorics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 7.1K likes 196 dislikes 20 Nov 201436% match

Example: Combinatorics and probability | Probability and combinatorics | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
256.7K views 397 likes 38 dislikes 28 Jun 201035% match


Example: 9 card hands | Probability and combinatorics | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
429.5K views 437 likes 10 dislikes 27 Jun 201035% match


Introduction to combinations | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
649K views 2.4K likes 167 dislikes 20 Nov 201433% match

Binomial Distribution 3
Khan Academy
381.4K views 853 likes 34 dislikes 23 Feb 200933% match

Poisson process 1 | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
988K views 2.6K likes 262 dislikes 01 Mar 200931% match


Partial fraction expansion 2 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
538K views 1.3K likes 26 dislikes 09 Jul 200931% match


Birthday probability problem | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
483.2K views 1.5K likes 82 dislikes 25 Jan 200931% match


Exactly three heads in five flips | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
373.8K views 893 likes 64 dislikes 10 Aug 201131% match


Binomial Theorem (part 1)
Khan Academy
393.7K views 1.1K likes 62 dislikes 12 May 200830% match

Poisson process 2 | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
433.2K views 1.3K likes 64 dislikes 01 Mar 200930% match


Zero Factorial - Numberphile
Numberphile
4M views 74.8K likes 1.3K dislikes 08 Jun 201330% match


Binomial Distribution 1
Khan Academy
1.1M views 2.1K likes 150 dislikes 23 Feb 200930% match

Introduction to logarithm properties (part 2) | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
747K views 2.4K likes 79 dislikes 15 Nov 200730% match



Probability and combinations (part 2) | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
335.4K views 582 likes 28 dislikes 11 May 200830% match

Scientific notation examples | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
444.6K views 524 likes 32 dislikes 02 Nov 200929% match



Simplifying rational expressions introduction | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.9M views 7.2K likes 587 dislikes 20 Apr 201029% match


Simple equations: examples solving a variety of forms | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
504.7K views 756 likes 69 dislikes 05 Apr 201029% match




Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200929% match


Binomial Distribution 2
Khan Academy
532.5K views 1.1K likes 51 dislikes 23 Feb 200929% match

Binomial theorem | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 9.4K likes 395 dislikes 26 Mar 201429% match

Coin flipping probability | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
696.5K views 1.7K likes 131 dislikes 09 Aug 201129% match



Finding probability example 2 | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.4K likes 90 dislikes 13 Apr 201129% match




Probability (part 3)
Khan Academy
368.8K views 844 likes 22 dislikes 03 May 200829% match


More examples of factoring by grouping | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 2.5K likes 152 dislikes 09 Apr 201029% match


Quadratic inequalities (visual explanation) | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
337.9K views 1.1K likes 54 dislikes 06 Jun 200729% match



Settings Privacy About Contact Donate