2d curl example Khan Academy English (auto-generated) Korean

2d curl exampleYouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 33.9K views 308 likes 2 dislikes 26 May 2016

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so let's compute the two-dimensional

이번 영상에서는 벡터장에서의

curl of a vector field and the one I

2차원 회전에 대해서 알아봅시다

have in mind will have an X component of

예시를 하나 들어봅시다

let's see not 9y cubed minus nine times

x성분이 9가 아니라 y^3-9y 이고

y and then the y component will be X

그리고 y 성분은 x^3-9x인

cubed minus nine times X and you can

벡터장을 생각해 봅시다

kind of see I'm just a sucker for

예시를 들 떄 대칭성을 이용하는게

symmetry when I choose examples and I

조금 더 쉬울 것 같으니까요

showed in the last video how the

저번 영상에서

two-dimensional curl the 2d curl of a vector field of a vector field V which is a function of x and y is equal to the

벡터장의 2차원 회전을 x와 y의 함수로 나타내면

partial derivative of Q that second

q, 즉 두번째 성분의

component with respect to X minus the

x에 대한 편미분값에서

partial derivative of P that first

p, 즉 첫번째 성분의 y에 대한 편미분 값을

component with respect to Y and I went

뺸 것과 같습니다

through the reasoning for why this is

저번 영상에서 이게 성립하는 것을 설명했지만

true but just real quick kind of the in

다시 한 번 빠르게 복습해보면

the nutshell here this partial Q partial X is because if as you move from left to

q의 x에 대한 편미분 값의 의미는

right vectors tend to go from having a small

좌에서 우로 이동할 때 벡터들이

or even negative Y component to a

음수에서 양수로 커지게 되는데

positive Y component that corresponds to counterclockwise rotation and similarly

이는 시계반대방향의 회전을 의미합니다

this dp/dy is because if vectors as you move up and

비슷하게 이 p의 편미분은

down as you kind of increase the Y value

위에서 아래로 이동할때 y값은

go from being positive to zero to

양수에서 음수로 바뀌거나

negative or if they're decreasing that

감소하게 되는데, 그것은

also corresponds to counterclockwise

시계반대방향의 회전과 대응됩니다

rotation so taking the negative of that

그러므로 음의 값을 택하면 이 식은

will tell you whether or not changes in the Y direction around your point

y축 방향의 변화가

correspond with counterclockwise

시계반대방향인지에 대응하게 됩니다

rotation so in this particular case when

그러므로 이 특정 점에서

we start evaluating that we start by looking at partial of Q with respect to

q의 x에 대한 편미분값부터 살펴봅시다

X so we're looking at the second

즉, 두번째 성분의

component and taking its partial derivative with respect to X and in this

x에 대한 편미분값을 계산해봅시다

case nothing but X's show up so it's

이 경우에서는 x만 있으므로

just like taking its derivative and you'll get 3x squared minus -9 there 3x

x^3-9x를 x에 대해서 미분한 것과 같습니다

squared minus 9 and that's that's the

즉, 3x^2-9와 같습니다

first part and then we subtract off whatever the partial derivative of P

다음, y에 대한 p의 편미분값을 빼줍니다

with respect to Y is so we go up here

이 예시에서 보면 첫번째 항은

and it's entirely in terms of Y and can

y로만 이루어져 있고, 2번째 성분과 대칭이므로

undo the symmetry we're just taking the same calculation 3y squared that

같은 연산을 하면

derivative of Y cubed minus 9 so this

3y^2-9가 나옵니다

right here is our two-dimensional curl

그러므로 이차원 회전의 값은 다음과 같습니다

and let's go ahead and

이 식의 의미를 살펴봅시다

interpret what this means and in fact this vector field that I showed you is

사실 위 예시는

exactly the one that I used when I was

저번 영상에서 사용한

kind of animating the intuition behind

벡터장의 에니메이션과 같습니다

curl to start off with where I had these specific parts where there's positive

특정한 곳에서는

curl here and here but negative curl up

양의 회전이 나타나지만, 시계방향 회전이 있는

in these clockwise rotating areas so we

이런 곳은 음의 회전을 갖습니다

can actually see why that's the case

실제로 이 함수를

here and why I chose this specific

예시로 사용한 이유는

function for something that'll have lots of good curl examples because if we look

이 함수가 아주 좋은 회전예시이기 때문입니다

over in that region where there should

여기 양의 회전이 있어야 하는

be positive curl that's where X is equal

x=3이이면서

to 3 and Y is equal to 0 so I go over

y=0인 곳을 봅시다

here and say if X is equal to 3 and Y is

회전에 대한 공식에 x=3

equal to 0 this whole formula becomes

y=0을 대입해 보면

let's see 3 times 3 squared so 3 times 3

다음과 같은 결과가 나옵니다

squared minus 9 minus 9 and then minus the quantity now we're plugging in Y

3*3^2-9 이 값에서 y=0을 대입해보면

here so that's 3 times y squared is just

3y^2은 0이 되므로

0 because Y is equal to 0 minus 9 minus

9를 빼줍니다

9 and so this part is 27 that's 3 times

이 부분은 27이고,

9 is 27 minus 9 gives us 18 and then

여기서 9를 뺴면 18이 나옵니다

we're subtracting off a negative 9 so

-9를 뺴주는 것이므로

that's actually plus 9 so this whole

+9를 해주면, 전체는 27과 같습니다

thing is 27 it's actually quite positive so this is a positive number and that's why when we go over here and we're

이 값은 양수이므로

looking at the fluid flow you have a counterclockwise rotation in that region

이쪽에서 유체의 흐름은

whereas let's say that we did all of

시계반대방향의 회전을 갖습니다

this but instead of x equals 3 and y

이것을 다시 해봅시다

equals 0 we looked at X is equal to 0

단, x=3, y=0이 아니라

and Y is equal to 3 okay so in that case

x=0, y=3에서 살펴본다면 이 경우에서는

we would instead so x equals 0 y equals

x=0, y=3이므로

3 let's take a look at where that is X

애니메이션에서 살펴보면

is 0 and then Y the tick marks here are

x=0이고 여기 표시된 부분이 1/2를 의미하므로

each 1/2 so y equals 3 is right here

이곳이 x=0, y=3인 부분입니다.

it's in that that clockwise rotation area so if I kind of play this we've got

즉, 시계방향의 회전을 갖는 곳이므로

the clockwise rotation we're expecting a

회전이 음의 값을 갖기를

negative value and let's see if that's

기대할 수 있습니다.

what we get we go over here

이것을 공식에 대입해도 결과가 나오는지 알아봅시다

and I'm going to evaluate this whole

다시 돌아와서 이 함수 전체를

function again now by plugging in 0 for X so this is 3 times 0 times 0 minus 9

다시 연산해 봅시다 x=0을 대입해보면 3*0-9가 되고,

and then we're subtracting off 3

여기서 3*y^2-9를 뺴주면

x y-squared so that's 3 times 3 squared

3*y^2은 3*3^2이고

3 squared minus 9 and this whole part is

여기서 9를 뺴주면

0 minus 9 so that becomes negative 9 and

3*0은 0이므로 이 부분은

over here we're subtracting off 9 minus

-9가 되고, 여기서 27-9

27 minus 9 which is 18 so we're subtracting off 18 so the whole thing

즉 18을 뺴주면

equals negative 27 so maybe I should say

결과는 -27이 됩니다

equals that that equals negative 27 so

그러므로 회전값이 -27이므로

because this is negative that's what

이 결과는 이 지역에서

corresponds to the part of the clockwise

시계방향의 회전이 있는것과

rotation that we have going on in that

대응이 됩니다

region and if you went and you you

이곳에 다른 점들을

plugged in a bunch of different points

대입해 보면 같은 결과가 나옵니다

like you can perhaps see how if you plug in 0 for X and 0 for y those 9s cancel

x=0, y=0을 대입해보면

out which is why over here there's no

전체 값이 0이 되므로

general rotation around the origin when

x=0, y=0 인 원점에서는

x and y are both equal to 0 and you can

회전이 없게 됩니다

understand that every single point and

모든 점들에 대해서

the general rotation around every single

회전값을 구할 때는

point just by taking this formula that we found for 2d curl and plugging in the

이차원 회전 공식에

corresponding values of x and y so it's

점의 x,y좌표를 대입하면 됩니다

actually a very powerful tool because he

이것은 아주 강력한 도구인데요,

would think that you would think that's a very complicated thing to figure out

회전을 그림으로만 알아내기는 쉽지 않기 때문입니다

right that if I give you this pretty complicated fluid flow and say hey I

만약 이와 같은 복잡한 유체흐름을 주고

want you to figure out a number that'll

각각의 점에서의

tell me the general direction and

회전방향과 회전세기를 표현할 수 있는

strength of rotation around each point that's a lot of information so it's nice

숫자를 구하려고 한다면

just to have a small compact formula

이 공식이 아주 유용할 것입니다

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