Pi and the Mandelbrot Set - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  739.9K views 15.7K likes 154 dislikes   01 Oct 2015
Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
HOLLY KRIEGER: So what I want to talk about
HOLLY KRIEGER: Waar ik over wil praten
is what is maybe
is wat misschien wel
the least efficient way possible
de minst efficiente manier is
to approximate the number pi.
om het getal pi te benaderen.
BRADY HARAN: Well, that's not a good sell!
BRADY HARAN: Nou, da's geen goed verkooppraatje!
HOLLY KRIEGER: It's not a good sell
HOLLY: 't Is geen goed verkooppraatje
but it's really interesting.
maar het is erg interessant.
So I wanna talk about approximating pi in the Mandelbrot set
Ik wil het hebben over het benaderen van pi in de Mandelbrotset.
Maybe it's best to do a bit of a reminder about
Misschien is het goed om even te herhalen
what the Mandelbrot set is.
wat de Mandelbrotset is.
So, remember, the Mandelbrot set
Dus, herinner je dat de Mandelbrotset
was this object that we have in the
een object was in het
complex plane.
complexe vlak.
So, here are the real numbers.
Dus, hier zijn de reële getallen.
And here are the imaginary numbers.
En hier zijn de imaginaire getallen.
And the Mandelbrot set was a collection of
En de Mandelbrotset was een verzameling van
complex numbers, so I'll try and sort of
complexe getallen, ik zal proberen er hier
draw a nice version of this here.
een mooi versie van te tekenen.
And-- it's complicated, right?
En - 't Is ingewikkeld, niet?
And it was this collection of
En het was een verzameling van
complex numbers that had the property
complexe getallen die de eigenschap hadden
that when we look at the function
dat als we kijken naar de functie
z squared plus c and we apply
z kwadraat plus c en we passen dat
it to zero, so zero plugged into this function
toe op nul, dus we stoppen nul in deze functie
is c, and then we do that again
is c, en dan doen we dat nog een keer
with the output.
met de uitkomst.
So c plugged into this function is c squared plus c .
Dus c in deze functie gestopt wordt c kwadraat plus c.
And so on.
Enzovoort.
A number c is in the Mandelbrot set exactly
Een getal c zit alleen in de Mandelbrotset
when when we do this process and repeat and repeat and repeat
als we dit proces doen en het herhalen en herhalen en herhalen
The number stays smaller than or equal to two.
en het getal blijft kleiner dan of gelijk aan twee.
But today I'm not too worried about complex numbers.
Maar vandaag maak ik me niet druk over complexe getallen.
I just want to talk about real numbers in the Mandelbrot set.
Ik wil het alleen hebben over de reële getallen in de Mandelbrotset.
BRADY HARAN: Does that mean we're just talking about things along the line?
BRADY: Dat betekent dat de we alleen praten over dingen langs de lijn?
HOLLY KRIEGER: Exactly, exactly.
HOLLY: Exact, exact.
And in fact I'm just gonna be interested in what happens
En ik ben eigenlijk alleen geïnteresseerd in wat er gebeurt
On this portion of the real line here.
op dit deel van de reële as.
So, one thing that I should say first
Eén ding dat ik eerst moet zeggen
is that this point, this point is called the cusp
is dat dit punt, dit punt heet de spits
of the Mandelbrot set.
van de Mandelbrotset.
And this point is exactly the value where
En dit punt is precies de waarde waar
c is one quarter.
c is een kwart.
BRADY HARAN: That's the last point on the real line-- in that direction.
BRADY: Dat is het laatste punt op de reële as - in die richting
That's in the Mandelbrot set. And pi is here somewhere presumably.
die in de Mandelbrotset zit. En pi is hier ongeveer neem ik aan.
So pi is not in the Mandelbrot set.
Dus pi is niet in de Mandelbrotset.
HOLLY KRIEGER: Pi is not in the Mandelbrot set.
HOLLY: Pi is niet in de Mandelbrotset.
That's absolutely right.
Dat is helemaal juist.
And when I say that I'm going to approximate pi in the Mandelbrot set
En als ik zeg dat ik pi ga benaderen in de Mandelbrotset
I don't mean I am just gonna approximate pi on this picture here
dan bedoel ik niet dat ik pi gewoon ga benaderen in dit plaatje hier.
I mean that I'm gonna cook up a bunch of numbers that have to do
Ik bedoel dat ik een zootje getallen ga maken die te maken hebben
with the Mandelbrot set
met de Mandelbrotset
that approximate pi.
die pi benaderen.
BRADY HARAN: So you're going to use the Mandelbrot set as a tool.
BRADY: Dus je gaat de Mandelbrotset gebruiken als gereedschap.
HOLLY KRIEGER: As a tool to approximate pi, exactly.
HOLLY: Als gereedschap om pi te benaderen, exact.
And, of course, you know, looking at this you can say "well, it looks
En natuurlijk, weet je, als je hier naar kijkt kun je zeggen, "nou, het lijkt
like there's a circle in there".
of daar een cirkel in zit".
Which, indeed, this is a circle.
Dit is inderdaad een cirkel.
Inside of the Mandelbrot set.
Binnen de Mandelbrotset.
But I'm not gonna use that one,
Maar die ga ik niet gebruiken,
that's a little too straightforward of a way to get pi.
da's een beetje te gemakkelijk om pi te krijgen.
So, here's the idea.
Goed. Dit is het idee.
What happens if we take a real number
Wat gebeurt er als we een reëel getal nemen
That's larger than one fourth.
dat groter is dan 1/4.
So, as you said, it's not in the Mandelbrot set.
Zoals je al zei, het zit niet in de Mandelbrotset.
Right?
Goed?
And what that means-- let's call this number...
En wat dat betekent - laten we dit getal
Say... uh....
bijvoorbeeld... eh...
Well, I've already used c, but let's call it c anyways
We hebben c al gebruikt, maar laten we het toch c noemen.
Whatever this number c is, when we start doing this process
Wat dit getal c ook is, als we starten met dit proces
for this number c, we look at the function z squared plus c
voor dit getal c, dan kijken we naar de functie z kwadraat plus c
and we plug in zero and we output c.
en we stoppen er nul in en we krijgen c.
Then we plug in the output
Dan stoppen we de uitkomst erin
and we get c squared plus c, then we plug
en we krijgen c kwadraat plus c, dan stoppen we
in that output and so on.
die uitkomst erin, enzovoort.
At some point, these numbers are gonna be larger than two.
Op een gegeven moment worden deze getallen groter dan twee.
Right, because that was our restriction
Goed, want dat was onze regel
that you're not in the Mandelbrot set if these numbers
dat je niet in de Mandelbrotset zit als deze getallen
are eventually larger than two.
uiteindelijk groter worden dan twee.
Okay?
OK?
So what we're gonna do is to each
Nou, wat we gaan doen is bij elk
number c
getal c
we're gonna associate this number, say, N of c.
koppelen we er dit nummer aan, zeg, N van c.
And this is equal to the number
En dit is gelijk aan het aantal
of steps of iterating zero under z squared plus c
stappen van de herhaling van nul in z kwadraat plus c.
--So exactly the process I was describing before--
- dus precies het proces dat ik eerder beschreef -
Until we get something larger than two.
tot we iets krijgen dat groter is dan twee.
BRADY HARAN: Any number after the cusp?
BRADY: Elk getal na de spits?
HOLLY KRIEGER: Yes.
HOLLY: Ja.
BRADY HARAN: Is a killer? It's gonna kill the Mandelbrot set?
BRADY: Is dodelijk? Het gaat de Mandebrotset om zeep helpen?
HOLLY KRIEGER: That's right, it eventually gets big.
HOLLY: Da's juist, het wordt uiteindelijk groot.
BRADY HARAN: The thing you're interested in now
BRADY: Waar je nu in geïnteresseerd bent
is how quickly that number will kill us?
is hoe snel dat getal ons om zeep helpt?
HOLLY KRIEGER: Exactly. And this is something
HOLLY: Precies. En dit is iets
that's totally natural to be interested in
dat volkomen natuurlijk is om in geïnteresseerd te zijn.
This is how people draw pictures of the Mandelbrot set
Dit is hoe mensen plaatjes maken van de Mandelbrotset.
for example, is exactly counting these kinds of steps.
Bijvoorbeeld, precies dit soort stappen tellen.
So if we start with the real number c that's larger than two
Dus als we beginnen met een reëel getal c dat groter is dan 2
then after the first step
dan, na de eerste stap
of iteration here we get c itself which is larger than two.
van de herhaling krijgen we c zelf, die groter is dan twee.
And so we know that after just one step
En dus weten we al na één stap
that that parameter cannot possibly be in the Mandelbrot set.
dat die parameter onmogelijk in de Mandelbrotset kan zitten.
So in that case, N of c is just equal to one.
Dus in dat geval is N van c gelijk aan 1
And we have this very small value of N.
en krijgen we deze kleine waarde voor N.
BRADY HARAN: And that applies to all numbers above two.
BRADY: En dat geldt voor alle getallen boven de twee.
HOLLY KRIEGER: That's right, but as you might
HOLLY: Da's juist,
imagine, the closer you get into the cusp, the more
maar zoals je je kunt voorstellen, hoe dichter je bij de spits komt, hoe meer
steps it takes to get larger than two, right?
stappen er nodig zijn om groter dan twee te worden, niet?
We're starting with the smaller number here and so it takes
We beginnen met een kleiner getal hier en dus zijn er meer stappen nodig
more steps to get there.
om er te komen.
All right. So let's make this a little bit precise.
Goed. Dus laten we dit een beetje preciezer maken.
We start with a number really close to one fourth, say...
We beginnen met een getal heel dicht bij 1/4, zeg...
Say, c equals one fourth plus epsilon.
bijvoorbeeld, c is gelijk aan 1/4 plus epsilon.
Where this is some very small positive and real number.
Waar dit een heel klein positief en reëel getal is.
BRADY HARAN: So we're just after the cusp.
BRADY: En we zitten nét na de spits.
HOLLY KRIEGER: That's right, you're just to the right of the cusp.
HOLLY: Da's juist, je zit nét rechts van de
On the real axis there. And then we
spits, op de reële as daar. En dan
count the number of steps it takes us to escape
tellen we het aantal stappen dat nodig is om te ontsnappen.
This is something you can do in, say, you know, Wolfram|Alpha or Sage or whatever.
Dit is iets dat je kunt doen in bijvoorbeeld, Wolfram|Alpha, of Sage of zoiets.
Can be the program you wanna use. So if you draw
Kan elk programma zijn dat je wilt. Als je
a table of how this number N of c depends as epsilon
een tabel maakt van hoe dit getal N van c verandert als
is coming in and getting smaller and smaller,
epsilon nadert en kleiner en kleiner wordt,
we're coming in towards the cusp with c
we naderen de spits met c,
you can actually count, just by iterating, how long does it take to have
dan kun je gewoon tellen, gewoon door te herhalen, hoe lang het duurt voor je
a number that's larger than two.
een getal groter dan twee krijgt.
So for example, if epsilon is one, then c is one plus one fourth, which is one point two five.
Dus bijvoorbeeld, als epsilon is 1, dan is c 1 plus 1/4, dat is 1,25.
Then N of c is just two.
Dan is N van c gewoon 2.
It only takes two steps to get larger than two.
Er zijn maar twee stappen nodig om groter dan 2 te worden.
BRADY HARAN: Well that was, uh, that was over quickly.
BRADY: Nou, dat was snel afgelopen.
HOLLY KRIEGER: That's right. On the other hand if we
HOLLY: Inderdaad. Aan de andere kant, als we
take some much more reasonable value of epsilon, say like
een veel logischer waarde voor epsilon nemen, bijvoorbeeld
One one-hundredth, and so c is point two six, say...
één honderdste, en c is dus 0,26 bijvoorbeeld
Then the number of steps it takes to escape turns out to be
dan blijkt het aantal stappen om te ontsnappen
Thirty, actually.
dertig te zijn.
And if we take epsilon to be, say
En als we epsilon bijvoorbeeld
Even smaller, and so c is even closer to one quarter, then the value we get in that case is three fifteen.
nog kleiner maken, en c is dus nog dichter bij een kwart, dan is de waarde die we in dat geval krijgen 315.
BRADY HARAN: Oh, wow, that's a lot of steps.
BRADY: O wauw, da's is een hoop stappen.
HOLLY KRIEGER: It's a lot of steps, right, but we're really
HOLLY: Da's inderdaad een hoop stappen, maar we zitten heel
close to the cusp here, it should take a lot of steps to escape.
dicht bij de spits hier, het moet veel stappen kosten om te ontsnappen.
And if we take epsilon even smaller, so that c is even closer to the cusp
En als we epsilon nóg kleiner nemen, zodat c nog dichter bij de spits zit
We get something even better.
krijgen we nog iets beters.
Even larger value of N of c.
Een nog grotere waarde voor N van c.
BRADY HARAN: Ooooh...
BRADY: Oooo...
HOLLY KRIEGER: But you can see something suspicious happening here, right?
HOLLY: Maar je kunt hier wel iets verdachts zien gebeuren, niet?
BRADY HARAN: I can see it. We can all see it.
BRADY: Ik zie het. We kunnen het allemaal zien.
HOLLY KRIEGER: Everyone can see it.
HOLLY: Iedereen kan het zien.
So, what's happening here is as long as you put the decimal
Wat hier gebeurt, zolang je de decimale
point in the right place
punt op de juiste plek zet,
And as you can see, I've changed my epsilon sort of regularly here, so the decimal
en zoals je kunt zien, ik heb mijn epsilon met regelmaat veranderd, dus de decimale
point kind of moves regularly, too.
punt beweegt ook regelmatig.
As long as you put the decimal point
Zolang je de decimale punt
in the right place, these values N of c
op de juiste plek zet, gaan deze waarden N van c
are actually converging to pi.
daadwerkelijk richting pi.
BRADY HARAN: That's cool!
BRADY: Dat is cool!
HOLLY KRIEGER: Yeah, yeah! So you get these approximations of pi
HOLLY: Ja, ja! Dus je krijgt deze benaderingen van pi...
right, okay, three point one five is not such a good approximation
...goed, ok, 3.15 is niet zo'n goede benadering
three point one four is a little better, it turns out the next one
3.14 is al wat beter, en het blijkt dat de volgende
is something like three one four one four.
zoiets is als 31414
Which is even better
wat nog beter is,
and so on.
enzovoort.
And so, this tremendously inefficient method of taking some value
Dus deze ontzettend inefficiënte methode van het nemen van een waarde
of c that's really close to the cusp of the Mandelbrot set and iterating
voor c die heel dicht bij de spits van de Mandelbrotset zit, en je herhaalt
it many thousands of times until you get a number that's larger than two
het vele duizenden keren tot je een getal groter dan twee krijgt
will give you approximates of pi.
levert je benaderingen van pi op.
Similar videos:

The Mandelbrot Set - Numberphile
Numberphile
1.6M views 24.9K likes 398 dislikes 25 Jul 2014100% match

What's so special about the Mandelbrot Set? - Numberphile
Numberphile
1.9M views 59.1K likes -1 dislikes 18 Apr 201975% match

The 'Everything' Formula - Numberphile
Numberphile
2M views 56.7K likes 392 dislikes 15 Apr 201533% match

Domain of a function | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 1.6K likes 80 dislikes 15 Sep 200731% match




The Infinitesimal Monad - Numberphile
Numberphile
328.4K views 7K likes 294 dislikes 04 Sep 201530% match

Powers of 2 - Numberphile
Numberphile
314.8K views 5.8K likes 130 dislikes 05 Oct 201529% match

Double integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
449.7K views 1.7K likes 20 dislikes 13 Aug 200829% match

ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
Numberphile
8.3M views 102.9K likes 0 dislikes 09 Jan 201429% match

Mile of Pi - Numberphile
Numberphile
2.1M views 21.6K likes 443 dislikes 22 Oct 201428% match


Functions (Part III)
Khan Academy
322.7K views 1.1K likes 28 dislikes 18 Mar 200728% match



Graphing logarithmic functions | Exponential and logarithmic functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
965.1K views 2.4K likes 97 dislikes 08 Nov 201128% match

Number sets 2 | Fractions | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
128.5K views 101 likes 3 dislikes 26 Jun 201028% match



Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201128% match






Level 2 Addition
Khan Academy
374K views 534 likes 53 dislikes 10 Mar 200727% match




Problems with Zero - Numberphile
Numberphile
5.2M views 72.9K likes 1.5K dislikes 25 Oct 201227% match

Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200627% match






Squaring the Circle - Numberphile
Numberphile
2.2M views 36.5K likes 465 dislikes 25 Mar 201327% match

Videoserie. Bijzonder! Aflevering 13 - Halloween Fright Nights 2017 (deel 1)
Bijzonder! [door Erik Jumelet]
8.7K views 82 likes 2 dislikes 02 Oct 201827% match

Converting fractions to decimals | Decimals | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
2M views 5.7K likes 556 dislikes 08 Apr 200727% match





Ordering numeric expressions | Decimals | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
224.6K views 139 likes 20 dislikes 08 Apr 200727% match




Zero Factorial - Numberphile
Numberphile
4M views 74.8K likes 1.3K dislikes 08 Jun 201327% match


Properties and patterns for multiplication | 3rd grade | Khan Academy
Khan Academy
337.9K views 272 likes 62 dislikes 18 Sep 201527% match


Graphing natural logarithm function | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
132.7K views 183 likes 8 dislikes 08 Nov 201127% match

Impact velocity from given height | One-dimensional motion | Physics | Khan Academy
Khan Academy
363.2K views 655 likes 34 dislikes 15 Jun 201126% match


Z-statistics vs. T-statistics | Inferential statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
1.6M views 5.7K likes 408 dislikes 02 Nov 201026% match


🇳🇱 4x4 MATRIX KEYPAD / MEMBRAAN TOETSENBORD - Arduino les #26
Bas on Tech NL
1.3K views 21 likes 0 dislikes 14 Feb 202026% match

Absolute value and number lines | Negative numbers and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
730.9K views 618 likes 73 dislikes 06 May 201026% match







EX101x - 1.5 - IF
DelftX Data Analysis to the MAX
1.1K views 8 likes 0 dislikes 30 Mar 201526% match

Leer hoe je simpel een sterke bevestiging maakt in een zwakke of een holle muur
ANO tech world
147.5K views 5.2K likes 55 dislikes 19 Jan 202126% match

Absolute value inequalities | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
1.5M views 7.6K likes 348 dislikes 07 Apr 201026% match




Settings Privacy About Contact Donate