Imaginary Numbers Are Real [Part 9: Closure]YouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  542.6K views 18.2K likes 126 dislikes   06 Nov 2015
Welch Labs 876K subscribers N/A YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
English Einstein Gonzalez
Russian Denis Khakimov
Chinese 郭力
Portuguese (Brazil) Caique Freitas
Spanish (Latin America) Franco Selleski
Click to Play Video Click to Play Video
Перед тем, как мы закончим наш цикл и решим задачу из части 1,
Serimizi bitirmeden ve Bölüm 1'deki problemimizi çözmeden önce,
давайте поговорим о том, как комплексные числа стали недостающими кусочками мозаики, которая сделала алгебру завершённой.
Karmaşık sayıların nasıl cebiri tamamlayan eksik parça olduğu hakkında konuşalım.
Вернувшись к части 1, мы увидим, как определение числа эволюционировало с течением времени, начиная с натуральных чисел.
Bölüm 1'de, doğal sayılar ile başlayarak bir sayının ne olduğunun zaman içindeki evrimini gördük.
Египтяне выяснили, что этим числам чего-то не хватает, и сегодня вполне очевидно, что натуральные числа недостаточны (для описания мира, решения задач).
Mısırlılar bu sayıların eksik olduğunu anladılar ve bugün doğal sayıların eksik olduğu oldukça açık.
Однако, как мы видели на примере комплексных чисел, не всегда очевидно, когда вашим числам не достаёт чего-либо.
Ancak, karmaşık sayılarla gördüğümüz gibi, sayılarda bir şeylerin eksik olduğu her zaman belli olmaz.
К счастью, существует более изощрённый путь определить, имеем ли мы все необходимые типы чисел: математическая идея замыкания.
Neyse ki, ihtiyacımız olan tüm sayı türlerine sahip olduğumuzu belirlemek için daha karmaşık bir yol var: Matematiksel "kapalılık" fikri.
Давайте поиграем в игру.
Hadi bir oyun oynayalım.
Я дам вам набор чисел и алгебраическую операцию.
Size bir dizi sayı ve bir cebirsel işlem vereceğim.
Я хочу чтобы вы сказали мне, если любые два числа из множества, при применении к ним операции
Bana eğer bu diziden seçilen herhangi iki sayıyla işlem yapıldığında elde edilen sayı
дадут число, которого в данном множестве нет.
dizideki sayılardan biri olmuyorsa söylemenizi istiyorum
Наше первое множество - натуральные числа, и наша операция - сложение.
İlk dizimiz doğal sayılar ve işlemimiz toplama.
Таким образом, вопрос "существует ли пара натуральных чисел, которые при сложении дают нам результат, не являющийся натуральным числом?"
Yani soru şu: “Birbirine eklendiğinde doğal sayı olmayan bir şey üreten iki doğal sayı var mı?”
После небольшого обдумывания, должно казаться вполне разумным, что любая пара натуральных чисел при сложении даёт результат в виде натурального числа.
Birkaç denemeden sonra, birbirine eklenen iki doğal sayının başka bir doğal sayıyla sonuçlanması oldukça mantıklı görünmelidir.
Математически мы можем сказать, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения.
Matematiksel olarak, doğal sayılar kümesinin toplama altında kapalı olduğunu söyleyebiliriz.
Далее давайте попробуем множество натуральных чисел и операцию вычитания.
Ardından, doğal sayılar kümesini ve çıkarma işlemini deneyelim.
Для некоторых пар натуральных чисел, таких как 6 и 4, всё работает отлично.
6 ve 4 gibi bazı doğal sayılar için, işler iyi çalışıyor.
6-4 = 2, которое является натуральным числом.
6-4, doğal bir sayı olan 2'dir.
Но что насчёт 4-6?
Peki ya 4-6?
Этот результат невозможно найти в нашем множестве натуральных чисел,
Bu, doğal sayılar kümemizde bulamayacağımız bir cevaba yol açar.
поэтому наше множество не замкнуто относительно вычитания.
bu yüzden setimiz çıkarma altında kapalı değil.
Нам нужно расширить наше множество, включив в него 0 и отрицательные числа, чтобы это было так.
Bu durumumda 0 ve negatif sayıları içerecek şekilde kümemizi genişletmeliyiz.
Поэтому множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания, но множество целых чисел - да.
Yani, doğal sayılar kümesi çıkarma işlemi altında kapalı değildir, ancak tam sayılar kümesinde kapalıdır.
Расширяя нашу систему счисления, мы можем гарантировать, что любой вопрос, связанный с вычитанием, найдёт свой ответ.
Sayı sistemimizi genişleterek, sorabileceğimiz herhangi bir çıkarma sorusunun bir cevabı olacağını garanti edebiliriz.
С каждым включением новых алгебраических операций, нам придётся продолжить расширять нашу систему счисления.
Cebirsel işlem dahil ettiğimiz sürece sayı sistemimizi genişletmeye de devam etmeliyiz.
Деление требует от нас расширить систему счисления, включив в неё дроби, также известные как рациональные числа.
Bölme işlemi, sayı sistemimizi rasyonel sayılar olarak da bilinen kesirleri içerecek şekilde genişletmemizi gerektirir.
"Рациональные" пришло от слова "ratio" ("пропорция", "соотношение").
'Rasyonel' kelimesi "oran" dan gelir.
Рациональные числа это числа, которые могут быть выражены как пропорция двух целых чисел.
Rasyonel sayılar, iki tamsayının oranı olarak ifade edilebilen sayılardır.
Диаграммы Венна достаточно полезны здесь, т.к. они помогают нам визуально выразить идею, что одно множество включает другое.
Venn diyagramları bu konuda oldukça kullanışlıdır çünkü bir setin diğerini içerdiği düşüncesini görsel olarak ifade etmemize yardımcı olurlar.
Все целые числа являются рациональными числами, потому что мы всегда можем выразить их как пропорцию двух целых чисел,
Tüm tamsayılar rasyonel sayılardır, çünkü onları her zaman iki tam sayının oranı şeklinde ifade edebiliriz,
но не все рациональные числа являются целыми.
ama tüm rasyonel sayılar tam sayı değil.
Резюмируем.
Özetleyelim.
Пока мы сделали это с множеством рациональных чисел, которые включают числа вроде 1, 0, -5, и -2/3.
Şimdiye kadar, 1, 0, -5 ve -⅔ gibi sayıları içeren rasyonel sayı kümesine dönüştürdük.
Относительно каких операций замкнуто множество рациональных чисел?
Rasyonel sayılar hangi durumlarda kapalıdır?
Ну, любые 2 рациональных числа, сложенные вместе, произведут ещё одно рациональное число,
Birbirine eklenen iki rasyonel sayı başka bir rasyonel sayı verir,
так что мы можем сказать, что множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения.
bu yüzden rasyonel sayıların toplama altında kapalı olduğunu söyleyebiliriz.
Мы можем сказать то же самое про вычитание, умножение и деление.
Çıkarma, çarpma ve bölme için de aynı şeyi söyleyebiliriz.
Теперь, что насчёт возведения в степень и извлечения корней?
Şimdi, kuvvetler ve kökler ne olacak?
Рациональное число, возведённое в степень рационального числа всегда даст результат в виде рационального числа?
Rasyonel bir kuvvete sahip rasyonel bir sayı her zaman rasyonel bir sonuç verir mi?
Оказывается, что для задач вроде (2/9)² это не проблема, результат будет рациональным.
Bu (2/9) ² gibi problemler için sorun değil; sonuç rasyoneldir.
Настоящие проблемы начинаются в задачах вроде 2^(½).
Sorunlarımızda 2 ^ (½) gibi sorunlarımız var.
Повышение чего-либо в степень ½ это то же самое, что и извлечь квадратный корень,
Bir şeyin kuvvetini ½ arttırmak, kare kökünü almakla aynı şeydir.
поэтому это равноценно квадратному корню из 2.
Yani bu 2'nin kareköküne eşdeğerdir.
Мы отложим это обсуждение на другой день,
İddianın tamamını başka bir gün için saklayacağız.
но оказывается, что √2 не является рациональным числом.
ama √2'nin rasyonel olmadığı ortaya çıkıyor.
Не существует двух целых чисел, которые при делении равны в точности квадратному корню из 2.
Bölündüğünde tam 2'nin kareköküne eşit olan iki tamsayı yoktur.
Так как числа подобные этому не являются рациональными, мы даём им название "иррациональные".
Böyle sayılar rasyonel olmadığı için onlara "irrasyonel" adını veriyoruz.
Существует ещё один класс чисел, который даже круче, чем иррациональные:
İrrasyonellerden daha da havalı bir sayı sınıfı daha var:
трансцендентные числа, вроде π и e.
Deneyüstü (aşkın) π ve e gibi sayılar.
Мы также пока отложим эту тему на другой день.
Bunları da başka bir güne saklayacağız.
Таким образом мы расширили нашу систему счисления, включив в неё иррациональные числа и все эти числа, взятые вместе, формируют то, что мы называем действительными (вещественными) числами.
Şimdi sayı sistemimizi, irrasyonelleri ve tüm bu sayıları bir araya getirerek "gerçek sayılar" olarak ifade ettiğimiz şekilde genişlettik.
Давайте сыграем в нашу игру ещё разок.
Oyunumuzu bir kez daha oynayalım.
Наше множество сейчас - действительные числа и наша операция - извлечение корня.
Setimiz artık gerçek rakamlar ve operasyonumuz kök almak.
У нас есть замыкание?
Kapalılık var mı?
Существуют ли такие действительные числа, которые при извлечении корня, дадут результат, которые не является действительным числом?
Kökünü aldığımızda gerçek sayı elde edemediğimiz bir gerçek sayı var mı?
Ответ в том, что, несмотря на все эти типы чисел, что мы включили по пути,
Tüm yol boyunca eklediğimiz sayılara karşın,
мы все ещё что-то упускаем.
Hala bir şeyleri kaçırıyoruz.
Мы можем написать выражение, используя только действительные числа и корни - для примера: квадратный корень из -9 не имеет решений в множестве действительных чисел.
Yalnızca gerçek sayılar ve kökler kullanarak bir ifade yazabiliriz - örneğin, -9 un karekökünün gerçek sayılarda çözümü yoktur.
Чтобы эта задача имела решение,
Bu sorunun cevabı olması için
мы должны расширить нашу систему счисления ещё разок, включив туда мнимые числа,
sayı sistemimizi, sanal sayıları dahil etmek için bir kez daha genişletmeliyiz.
и взяв все наши действительные числа вместе с мнимыми,
tüm gerçek sayılarımızı hayali sayılarla birlikte almadan önce,
мы приходим к широчайшему классу чисел - комплексным числам.
en geniş sayı sınıfımıza ulaşıyoruz: karmaşık sayılar.
Первоначально математики были озабочены тем, что даже комплексные числа могут быть не достаточны,
Başlangıçta, matematikçiler karmaşık sayıların bile yeterli olmadığından endişe ediyorlardı.
что такие задачи, как квадратный корень из -i дали бы результат в виде ещё более сложного числа,
-i'nin karekökü gibi problemler daha da karmaşık bir sayıya neden olur.
возможно даже 3-мерного числа, вместо наших 2-мерных комплексных чисел.
2 boyutlu karmaşık sayılar yerine belki de 3 boyutlu bir sayı.
К счастью, это оказалось не так.
Neyse ki, bu durum böyle olmadı.
На самом деле мы можем выразить квадратный корень из -i, снова используя нашего старого друга - комплексную плоскость.
Aslında, dostumuzun karmaşık düzlemini kullanarak, -i'nin karekökünü değerlendirebiliriz.
Поскольку -i имеет модуль 1 и угол -90°,
-i; -90 ° açısında büyüklüğü 1 olan bir sayı olduğu için,
нам просто нужно число с модулем 1 и углом -45°.
İhtiyacımız olan şey yalnızca -45° lik açıda 1 büyüklüğünde bir sayı.
В соответствии с нашей единичной окружностью, (√2/2)-(√2/2)i.
Birim çembere göre, (√2 / 2) - (√2 / 2)i.
Поэтому квадратный корень из -i это просто ещё одно комплексное число!
Yani, -i'nin karekökü, bir başka karmaşık sayı!
Нет нужды в новых диких 3-мерных числах.
Yani yeni bir yabani üç boyutlu sayıya ihtiyacımız yok.
Фактически, не существует такого действия в мире, использующего сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней, которое нельзя было бы совершить с комплексными числами.
Aslında, dünyada karmaşık sayıların çalışmayacağı yani toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kuvvet alma ve kökler kullanılarak yapılamayacak hiçbir işlem yoktur.
Мнимые числа являются в точности тем самым отсутствующим кусочком, что делают алгебру завершённой.
Sanal sayılar cebiri tamamlayan kayıp parça.
Similar videos:

Imaginary Numbers Are Real [Part 3: Cardan's Problem]
Welch Labs
1.2M views 25.9K likes 336 dislikes 11 Sep 201577% match


Imaginary Numbers, Functions of Complex Variables: 3D animations.
Physics Videos by Eugene Khutoryansky
613K views 12.8K likes 273 dislikes 27 Oct 201575% match


Imaginary Numbers Are Real [Part 2: A Little History]
Welch Labs
2M views 36.6K likes 661 dislikes 04 Sep 201567% match


Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction]
Welch Labs
6.2M views 130.6K likes 4.1K dislikes 28 Aug 201567% match




Imaginary Numbers Are Real [Part 4: Bombelli's Solution]
Welch Labs
991.8K views 21.2K likes 312 dislikes 18 Sep 201562% match


Imaginary Numbers Are Real [Part 8: Math Wizardry]
Welch Labs
581.3K views 14.3K likes 86 dislikes 23 Oct 201555% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 6: The Complex Plane]
Welch Labs
849.5K views 20.8K likes 179 dislikes 02 Oct 201553% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 7: Complex Multiplication]
Welch Labs
692.5K views 16.4K likes 127 dislikes 09 Oct 201544% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 12: Riemann's Solution]
Welch Labs
394.3K views 10K likes 55 dislikes 01 Jul 201637% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 10: Complex Functions]
Welch Labs
493.6K views 16.7K likes 94 dislikes 03 Jun 201637% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 11: Wandering in 4 Dimensions]
Welch Labs
640.6K views 15.8K likes 95 dislikes 17 Jun 201636% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 13: Riemann Surfaces]
Welch Labs
1.1M views 40.1K likes 283 dislikes 03 Sep 201630% match

Algebra II: Introduction to Real Numbers | Natural, Integers, Rational, Irrational Numbers
Math Fortress
3.8K views 18 likes 1 dislikes 15 Aug 201129% match











Imaginary Numbers Are Real [Part 5: Numbers are Two Dimensional]
Welch Labs
953.9K views 24.4K likes 210 dislikes 25 Sep 201527% match

Los números reales | 12/27 | UPV
Universitat Politècnica de València - UPV
4.6K views 11 likes 0 dislikes 20 Feb 201326% match

Rational and Irrational Numbers 127-4.20
HCCMathHelp
17.1K views 112 likes 20 dislikes 21 Jun 201325% match


Settings Privacy About Contact Donate