Integrals: Trig Substitution 2YouTube↗  IA↗(long shot)
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i
Digamos que tenemos la integral indefinida de uno
Let's say we have the indefinite integral of 1
sobre 36 más x al cuadrado
over 36 plus x squared d x.
Ahora bien, como se puede imaginar, esta no es una integral sencilla de
Now, as you can imagine, this is not an easy integral to
resolver sin la trigonometría.
solve without trigonometry.
No puedo hacer la sustitución u, no tengo la derivada de
I can't do u substitution, I don't have the derivative of
esto sentado en algún lugar.
this thing sitting someplace.
Esto sería fácil si yo tuviera una sesión 2x allí.
This would be easy if I had a 2x sitting there.
Lo que yo diría, oh la derivada de esto es 2x,
Than I would say, oh the derivative of this is 2x,
Que podía hacer la sustitución u y me había propuesto ser.
I could do u substitution and I'd be set.
Pero no hay 2x allí, así que ¿cómo lo hago?
But there is no 2x there, so how do I do it?
Bueno, recurro a nuestras identidades trigonométricas.
Well, I resort to our trigonometric identities.
Vamos a ver qué identidad trigonométrica podemos llegar hasta aquí.
Let's see what trig identity we can get here.
La primera cosa que hago siempre, esto es sólo la forma en que mi cerebro
The first thing I always do, this is just the way my brain
obras, siempre me gusta - Puedo ver que esto es una ventaja constante
works, I always like it-- I can see this is a constant plus
algo cuadrado, lo que me dice que debería utilizar un
something squared, which tells me I should use a
identidad trigonométrica.
trigonometric identity.
Pero siempre me gusta en términos de un cuadrado y algo más.
But I always like it in terms of 1 plus something squared.
Yo sólo voy a escribir mi integrante como igual a,
I'm just going to rewrite my integral as being equal to,
déjame escribir el dx en el numerador.
let me write the dx in the numerator.
Esto es sólo tiempos dx.
This is just times dx.
Permítanme escribir una integrante más agradable que eso.
Let me write a nicer integral than that.
Esto es igual a la integral de dx más de 36 veces 1
This is equal to the integral of d x over 36 times 1
más x cuadrado de más de 36.
plus x squared over 36.
1 + X al cuadrado más de 36 años, que es otra forma de
1 plus x squared over 36, that's another way to
escribir mi integral.
write my integral.
Vamos a ver si alguna de nuestras identidades trigonométricas alguna manera puede ser
Let's see if any of our trig identities can somehow be
sustituido aquí por eso que de alguna manera
substituted in here for that that would somehow
simplificar el problema.
simplify the problem.
Así que el que viene a la mente, y si usted no sabe
So the one that springs to mind, and if you don't know
esto ya, voy a escribir aquí, es un plus
this already, I'll write it down right here, is 1 plus
tangemte al cuadrado de theta
tangent squared of theta.
f
Vamos a probar esto
Let's prove this one.
Tangente al cuadrado de theta, esto es igual a 1, más simplemente
Tangent squared of theta, this is equal to 1 plus just the
definición de seno cuadrado tangente de theta sobre
definition of tangent sine squared of theta over
coseno cuadrado de theta.
cosine squared of theta.
Ahora 1 es solo coseno cuadrado sobre coseno al cuadrado.
Now 1 is just cosine squared over cosine squared.
Así que yo puedo reescribir esto como igual al coseno cuadrado de theta sobre
So I can rewrite this as equal to cosine squared of theta over
coseno cuadrado de theta, que es 1, plus sine squared theta sobre
cosine squared of theta, that's 1, plus sine squared theta over
coseno cuadrado de theta, ahora que tenemos un
cosine squared of theta, now that we have a
denominador común.
common denominator.
Ahora ¿qué es coseno al cuadrado más el seno al cuadrado?
Now what's cosine squared plus sine squared?
Definición del círculo unidad.
Definition of the unit circle.
Es igual a 1 sobre coseno cuadrado de theta.
That equals 1 over cosine squared of theta.
O podríamos decir que es igual a 1 sobre coseno al cuadrado.
Or we could say that that equals 1 over cosine squared.
Uno sobre coseno es secante.
One over cosine is secant.
Esto es igual a la secante cuadrada de theta.
So this is equal to the secant squared of theta.
Si hacemos la sustitución, si decimos que vamos a hacer esta cosa
If we make the substitution, if we say let's make this thing
derecho aquí igual a la tangente de theta o tangente
right here equal to tangent of theta, or tangent
cuadrado de theta.
squared of theta.
Entonces esta expresión será 1 plus tangente cuadrado de theta.
Then this expression will be 1 plus tangent squared of theta.
Que es igual a la secante al cuadrado.
Which is equal to secant squared.
Lo mejor le ayudarán a simplificar esta ecuación un poco.
Maybe that'll help simplify this equation a bit.
Vamos a decir que x al cuadrado más 36 es igual a
We're going to say that x squared over 36 is equal to
tangente cuadrado de theta.
tangent squared of theta.
Vamos a tomar la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación y
Let's take the square root of both sides of this equation and
usted consigue x más 6 es igual a la tangente de theta, o que x
you get x over 6 is equal to the tangent of theta, or that x
es igual a 6 tangente de theta.
is equal to 6 tangent of theta.
Si tomamos la derivada de ambos lados de esto con respeto
If we take the derivative of both sides of this with respect
a theta obtenemos d x d theta es igual a lo que tiene el
to theta we get d x d theta is equal to-- what's the
¿derivada de la tangente de theta?
derivative of the tangent of theta?
Yo pude enseñárselo a usted justo al pasar de estos básicos
I could show it to you just by going from these basic
principios aquí.
principles right here.
Realmente me deja hacerlo por si acaso.
Actually let me do it for you just in case.
Así la derivada de tangente theta--nunca me duele hacerlo
So the derivative of tangent theta-- never hurts to do it
en el lado, permítanme hacerlo aquí.
on the side, let me do it right here.
Va a ser 6 veces la derivada con respecto a
It's going to be 6 times the derivative with respect to
Theta de tangente de theta.
theta of tangent of theta.
Que necesitamos para la figura, así que vamos a averiguar.
Which we need to figure, so let's figure it out.
La derivada de la tangente de theta, que es lo mismo
The derivative of tangent of theta, that's the same thing
como d d theta de seno de theta sobre coseno de theta.
as d d theta of sine of theta over cosine of theta.
Es simplemente la derivada de la tangente.
That's just the derivative of tangent.
O es la misma cosa como la derivada con respecto
Or this is just the same thing as the derivative with respect
a theta, permítanme Desplácese hacia la derecha un poco.
to theta, let me scroll to the right a little bit.
Porque nunca recuerdo la regla del cociente, te lo he dicho en
Because I never remember the quotient rule, I've told you in
el pasado que es un poco cojo, del seno de tiempos de theta
the past that it's somewhat lame, of sine of theta times
coseno de theta al menos 1 poder.
cosine of theta to the minus 1 power.
¿Qué es este igual?
What is this equal to?
Podríamos decir que es igual, pues la derivada de la
We could say it's equal to, well the derivative of the
primera expresión o la primera función, podríamos decir, que
first expression or the first function we could say, which
es justo coseno de theta.
is just cosine of theta.
Esto es igual al coseno de theta, que es sólo la
This is equal to cosine of theta, that's just the
derivada de seno de theta veces nuestra segunda expresión.
derivative of sine of theta times our second expression.
Coseno de tiempos de theta al menos 1.
Times cosine of theta to the minus 1.
He puesto estos paréntesis y poner el signo menos 1 ahi
I've put these parentheses, and put the minus 1 out there
porque no quería poner el signo menos 1 aquí y hacerte
because I didn't want to put the minus 1 here and make you
Creo que estoy hablando un coseno inverso o un arco coseno.
think that I'm talking about an inverse cosine or an arccosine.
Lo es la derivada de seno coseno de veces y ahora
So that's the derivative of sine times cosine and now I
Quiero aprovechar más la derivada del coseno.
want to take plus the derivative of cosine.
l;
No sólo el coseno, el derivado si coseno al menos 1.
Not just cosine, the derivative if cosine to the minus 1.
Eso es menos veces 1 coseno al menos poder 2 theta.
So that is minus 1 times cosine to the minus 2 power of theta.
Que es el derivado de los tiempos fuera del
That's the derivative of the outside times the
derivado del interior.
derivative of the inside.
Me permito desplazarse más.
Let me scroll over more.
Por lo es la derivada de la parte exterior.
So that's the derivative of the outside.
Si la theta de coseno fue sólo una x, usted diría x negativo
If the cosine theta was just an x, you would say x to the minus
1 derivado es menos de 1 x a la menos 2.
1 derivative is minus 1 x to the minus 2.
Ahora veces la derivada del interior.
Now times the derivative of the inside.
De coseno de theta con respecto a theta.
Of cosine of theta with respect to theta.
Eso es a veces menos seno de theta.
So that's times minus sine of theta.
Voy a multiplicar todo eso veces sinusoidal de theta.
I'm going to multiply all of that times sine of theta.
La derivada de esta cosa, que es la materia en verde,
The derivative of this thing, which is the stuff in green,
tiempos de la primera expresión.
times the first expression.
Así que ¿qué significa esto?
So what does this equal?
Estos coseno de theta dividido por el coseno del
These cosine of theta divided by cosine of
Theta, es igual a 1.
theta, that is equal to 1.
Y luego tengo una 1 negativo y tengo un seno negativo de theta.
And then I have a minus 1 and I have a minus sine of theta.
Es plus plus.
That's plus plus.
¿Qué tengo?
What do I have?
Tengo seno cuadrado, seno de seno de tiempo theta de theta
I have sine squared, sine of theta time sine of theta
sobre coseno al cuadrado.
over cosine squared.
Así más plazas sinusoidal de theta sobre coseno cuadrado de theta.
So plus sine squares of theta over cosine squared of theta.
Que es igual a 1 más tangente cuadrado de theta.
Which is equal to 1 plus tangent squared of theta.
¿Qué es 1 plus tangente cuadrado de theta?
What's 1 plus tangent squared of theta?
Yo sólo le mostramos.
I just showed you that.
Es igual a la secante cuadrado de theta.
That's equal to secant squared of theta.
Por lo que es igual a la derivada de la tangente de theta
So the derivative of tangent of theta is equal to
secante cuadrado de theta.
secant squared of theta.
Todos los que trabajan para sacarnos bastante algo--es bueno
All that work to get us fairly something-- it's nice
Cuando sale simple.
when it comes out simple.
Tan d x d theta, esto es simplemente igual a la secante
So d x d theta, this is just equal to secant
cuadrado de theta.
squared of theta.
Si queremos averiguar qué x d es igual a, d x es igual a
If we want to figure out what d x is equal to, d x is equal to
sólo ambos lados veces d theta.
just both sides times d theta.
Por lo que es theta de secante cuadrado de 6 veces d theta.
So it's 6 times secant squared theta d theta.
Es nuestro d x.
That's our d x.
Por supuesto, en el futuro vamos a tener que volver
Of course, in the future we're going to have to back
sustituir, por lo que queremos resolver por theta.
substitute, so we want to solve for theta.
Es bastante sencillo.
That's fairly straightforward.
Simplemente tome el arco tangente de ambos lados de esta ecuación.
Just take the arctangent of both sides of this equation.
Consigues que el arco tangente de x más 6 es igual a la theta.
You get that the arctangent of x over 6 is equal to the theta.
Esto nos ahorrará para más tarde.
We'll save this for later.
Así que ¿qué es nuestra integral reducido a?
So what is our integral reduced to?
¿Nuestra integral se convierte ahora en la integral de x d?
Our integral now becomes the integral of d x?
¿Qué es x d?
What's d x?
Es 6 de secante cuadrado de theta d theta.
It is 6 secant squared theta d theta.
Todo eso sobre este denominador, que es de 36
All of that over this denominator, which is 36
tiempos 1 plus tangente cuadrado de theta.
times 1 plus tangent squared of theta.
Sabemos que esta ahí es secante cuadrado de theta.
We know that this right there is secant squared of theta.
Creo que he mostrado que varias veces.
I've shown you that multiple times.
Esto es secante cuadrado de theta en el denominador.
So this is secant squared of theta in the denominator.
Tenemos una secante al cuadrado en el numerador, cancelan.
We have a secant squared on the numerator, they cancel out.
Por lo que aquellos se cancelan.
So those cancel out.
Son tan integral se reduce a, suerte para nosotros, 6/36 que
So are integral reduces to, lucky for us, 6/36 which
es simplemente theta de 1/6 d.
is just 1/6 d theta.
Que es igual a 1/6 theta plus c.
Which is equal to 1/6 theta plus c.
Ahora sustituimos atrás utilizando este resultado.
Now we back substitute using this result.
Theta es igual al arco tangente x 6 más.
Theta is equal to arctangent x over 6.
La primitiva 1 sobre 36 plus x cuadrado es
The anti-derivative 1 over 36 plus x squared is
igual a 1/6 veces theta.
equal to 1/6 times theta.
Theta s justo igual que el arco tangente x más 6 plus c.
Theta's just equal to the arctangent x over 6 plus c.
Y hemos terminado.
And we're done.
Para que uno no estaba demasiado mal.
So that one wasn't too bad.
.
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