Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuationYouTube↗  IA↗(long shot)
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Describe your problem in detail if it's not obvious

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The Riemann zeta function.
La funzione zeta di Riemann.
This is one of those objects in modern math that
Questo è uno di quei argomenti della matematica moderna che
a lot of you might have heard of,
molti di voi ne avranno sentito parlare,
but which can be really difficult to understand.
ma che è può essere molto difficile da capire.
Don't worry, I'll explain that animation that
Non preoccupatevi, spiegherò questa animazione
you just saw in a few minutes.
che vi ho fatto vedere tra pochi minuti.
A lot of people know about this function
Molte persone conoscono questa funzione
because there's a one-million-dollar
perché c'è un premio di un milione di dollari
prize out for anyone who can figure out
per chiunque sia capace di capire
when it equals 0. An open problem known as
quando è uguale a 0. È un problema aperto conosciuto come
the Riemann hypothesis. Some of you may
l'ipotesi di Riemann. Qualcuno di voi
have heard of it in the context of the
l'avrà sentito con la
divergent sum 1 + 2 + 3 + 4... on and on up to
somma divergente 1 + 2 + 3 + 4 ... fino a
infinity.
infinito.
You see there's a sense in which the sum
C'è l'ipotesi che questa somma
equals -1/12, which seems
sia uguale a -1/12, che sembrerebbe
nonsensical if not obviously wrong. But a
senza senso se non ovviamente errato. Ma
common way to define what this equation
modo comune per definire cosa questa equazione
is actually saying uses the Riemann zeta
in realtà sta dicendo che usa la zeta di Riemann
function. But as any casual Math
funzione. Ma come qualsiasi matematica casuale
enthusiast who started to read into this
appassionato che ha iniziato a leggere in questo
knows its definition references this one
sa che la sua definizione fa riferimento a questo
idea called analytic continuation which
idea chiamata continuazione analitica che
has to do with complex-valued functions
ha a che fare con funzioni a valori complessi
and this idea can be frustratingly
e questa idea può essere frustrante
opaque and unintuitive, so what I'd like
opaco e non intuitivo, quindi cosa mi piacerebbe
to do here is just show you all what
fare qui è solo mostrare a tutti cosa
this zeta function actually looks like
in realtà questa funzione zeta sembra
and to explain what this idea of
e per spiegare cosa questa idea di
analytic continuation is in a visual and
la continuazione analitica è in forma visiva e
more intuitive way. I'm assuming that you
modo più intuitivo. Presumo che tu
know about complex numbers and that
conoscere numeri complessi e quello
you're comfortable working with them, and
sei a tuo agio a lavorare con loro, e
I'm tempted to say that you should know
Sono tentato di dire che dovresti conoscere
calculus since analytic continuation is
calcolo poiché la continuazione analitica è
all about derivatives but for the way I'm
incentrata sulle derivate, ma per come ho
planning to present things I think you
progettato di presentare le cose penso
might actually be fine without that. So
che possa anche andare bene senza. Così
to jump right into it
per saltarci dentro
let's just define what this zeta
definiamo solo cos'è questa funzione zeta
function is for a given input where we
per un dato input dove noi
commonly use the variable 's' the function
comunemente usano la variabile 's' la funzione
is 1 over one to the 's' (which is always 1)
è 1 su uno per la 's' (che è sempre 1)
+ 1 over 2 to the 's' + 1 over 3 to
+ 1 su 2 per "s" + 1 su 3 a
the 's' + 1 over 4 to the 's' on and on and on
il 's' + 1 su 4 al 's', e così via
summing up over all natural numbers.
fino a sommare per tutti i numeri naturali.
So for example let's say you plug in a
Quindi per esempio inseriamo un
value like : s = 2
valore come: s = 2
you get 1
si ottiene 1
+ (1 over 4) + (1 over 9) + 1/16 and as
+ (1 su 4) + (1 su 9) + 1/16 e come
you keep adding more and more
si continua ad aggiungere sempre più
reciprocals of squares this just so
reciproci dei quadrati
happens to approach pi squared over 6
capita di avvicinarsi a Pi al quadrato diviso 6
which is around 1.645 there's a very
che è circa 1,645. C'è una
beautiful reason for why pi shows up here
ragione molto bella per cui pi appare qui
and I might do a video on a later date
e potrei fare un video in un secondo momento
but that's just the tip of the iceberg
ma questa è solo la punta dell'iceberg
for why this function is beautiful.
per il motivo per cui questa funzione è bella.
You can do the same thing for other
Puoi fare la stessa cosa per gli altri
inputs 's' like three or four and
input 's' come tre o quattro e
sometimes you get other interesting
a volte ottieni altri interessanti
values and so far everything feels
valori e finora tutto sembra
pretty reasonable you're adding up
abbastanza ragionevole stai sommando
smaller and smaller amounts and these
quantità sempre più piccole e queste
sums approach some number... Great, no
somme si avvicinano a un numero ...
craziness here! Yet if you were to read
Nessun problema fin qui. Eppure se leggessi
about it you might see some people say
sull'argomento potresti vedere alcune persone dire
that zeta of negative 1 equals
che zeta di -1 è uguale a
-1/12
-1/12
But looking at this infinite sum
Ma guardando questa somma infinita
that doesn't make any sense... when you
non ha alcun senso ... quando si
raise each term to the negative 1
eleva ogni termine alla -1
flipping each fraction you get 1 + 2 + 3 + 4
sfogliando ogni frazione ottieni 1 + 2 + 3 + 4
on an on over all natural numbers and
e così via per tutti i numeri naturali e
obviously that doesn't approach anything
ovviamente questo non si avvicina a nulla
certainly not -1/12, right ?
certamente non a -1/12, giusto?
And, as any mercenary looking into the Riemann
E, come qualsiasi mercenario che guarda nell'ipotesi
hypothesis knows this function is said
di Riemann sa, questa funzione è detta
to have trivial zeros at negative even numbers
avere degli zeri banali con numeri pari negativi
so for example that would mean that zeta
quindi per esempio significherebbe quella zeta
of negative 2 = 0, but when you plug
di -2 = 0, ma quando si inserisce
in -2 it gives you
in -2 si ottiene
1 + 4 + 9 + 16 on and on, which again
1 + 4 + 9 + 16 e così via, che di nuovo
obviously doesn't approach anything much
ovviamente non si avvicina a nulla
less 0, right ? Well we'll get to negative
tantomeno a 0, giusto? Bene, arriveremo ai
values in a few minutes but for right
valori negativi in pochi minuti ma
now let's just say the only thing that
per ora diciamo solo l'unica cosa
seems reasonable
sembra ragionevole
this function only makes sense when 's' is
questa funzione ha senso solo quando è "s"
greater than one which is when this sum
maggiore di uno che è quando questa somma
converges so far it's simply not defined
converge. Per ora è semplicemente non definita
for other values.
per gli altri valori.
Now with that said Bernhard Riemann was
Detto questo, Bernhard Riemann è stato
somewhat of a father to complex analysis
quasi un padre dell'analisi complessa
which is the study of functions that
che è lo studio delle funzioni che
have complex numbers as inputs and
hanno numeri complessi come input e
outputs.
come output.
So rather than just thinking about how
Quindi piuttosto che pensare a come
this sum takes a number 's' on the real
questa somma vada da un numero 's' sull'asse
number line to another number on the
dei numeri reali a un altro numero sull'asse
real number line
dei numero reali
his main focus was on understanding what
il suo obiettivo principale era capire cosa
happens when you plug in a complex value
succede quando si inserisce un valore complesso
for 's', so for example maybe instead of
per "s", quindi per esempio, invece di
plugging in 2, you would plug in 2 + i
immettere 2, si potrebbe inserire 2 + i
now if you've never seen the idea of
Ora se non hai mai visto l'idea di
raising a number to the power of a
elevare un numero alla potenza di un
complex value you can feel kind of
numero complesso potrebbe apparirti strano
strange at first because it no longer
all'inizio perché non ha più nulla
has anything to do with repeated
a che fare con la ripetizione di moltiplicazioni
multiplication but mathematicians found
Ma i matematici hanno trovato
that there is a very nice and very
che c'è un modo molto carino
natural way to extend the definition of
e naturale di estendere la definizione di
exponents beyond their familiar
esponenti oltre il loro territorio
territory of real numbers and into the
familiare dei numeri reali fino al
realm of complex values. It's not super
regno dei valori complessi. Non è super
crucial to understand complex exponents
fondamentale per capire gli esponenti complessi
for where I'm going with this video but
per capire questo video, ma
I think it'll still be nice if we just
penso che sia comunque bello
summarize the gist of it here
riassumerne il senso qui.
the basic idea is that when you write
L'idea di base è che quando si scrive
something like one half to the power of
qualcosa come 1/2 elevato alla potenza
a complex number you split it up as
di un numero complesso si può separare come
one-half to the real part times one-half
1/2 elevato all'esponente reale moltiplicato
to the pure imaginary part we're good on
1/2 elevato all'esponente immaginario. Nessun problema
one half to the real part there's no
sulla parte reale, lì non c'è
issues there but what about raising
problema, Ma cosa si può dire sull'elevare
something to a pure imaginary number?
qualcosa per un puro numero immaginario?
Well the result is going to be some
Beh, il risultato sarà un qualche
complex number on the unit circle in the
numero complesso sul cerchio unitario nel
complex plane as you let that pure
piano complesso, come si lascia che sia puro
imaginary input walk up and down the
input immaginario cammina su e giù per il
imaginary line the resulting output
linea immaginaria l'output risultante
walks around that unit circle
gira intorno a quel cerchio unitario
For a base like one half the output
Per una base come metà dell'output
walks around the unit circle somewhat
gira un po 'attorno al cerchio dell'unità
slowly but for a base that's farther
lentamente ma per una base che è più lontana
away from one like 1/9 then as you let
lontano da uno come 1/9 poi come si lascia
this input walk up and down the
questo input cammina su e giù per il
imaginary axis the corresponding output
asse immaginario l'uscita corrispondente
is going to walk around the unit circle
sta per girare attorno al cerchio dell'unità
more quickly. If you've never seen this
più velocemente. Se non l'hai mai visto
and you're wondering what on earth this
e ti stai chiedendo cosa diavolo sia
happens I've left a few links to good
succede che ho lasciato pochi link a bene
resources in the description for here
risorse nella descrizione per qui
i'm just going to move forward with the
ho intenzione di andare avanti con il
what without the why. The main takeaway
cosa senza il perché Il principale da asporto
is that when you raise something like
è che quando si alza qualcosa come
1/2 to the power of 2 + i which
1/2 alla potenza di 2 + io quale
is one-half squared times one-half to
è mezzo quadrato per metà a metà
the i that one-half to the i part is
l'io quello mezzo alla parte io è
going to be on the unit circle meaning
sta per essere nel significato del cerchio unitario
it has an absolute value of one. So when
ha un valore assoluto di uno. Cosi quando
you multiply it it doesn't change the
si moltiplica non cambia il
size of the number it just takes that
dimensione del numero che prende solo quello
one fourth and rotates at somewhere.
un quarto e ruota da qualche parte.
So if you were to plug in 2 + i to
Quindi se dovessi collegare 2 + a
the zeta function one way to think about
la funzione zeta un modo per pensare
what it does is to start off with all of
quello che fa è iniziare con tutti
the terms raised to the power of 2 which
i termini sollevati alla potenza di 2 che
you can think of is piecing together
puoi pensare di mettere insieme
lines whose length of the reciprocals of
linee la cui lunghezza dei reciproci di
squares of numbers which like I said
quadrati di numeri che come ho detto
before converges to pi² over six
prima converge a pi² su sei
then when you change that input from two
allora quando cambi questo input da due
up 2 + i each of these lines gets
su 2 + i ciascuna di queste linee ottiene
rotated by some amount but importantly
ruotato di una certa quantità ma importante
the lengths of those lines won't change
le lunghezze di quelle linee non cambieranno
so the sum still converges it just does
quindi la somma converge tuttora
so in a spiral to some specific point on
così in una spirale per un punto specifico su
the complex plane. Here let me show what
il piano complesso. Qui lasciami mostrare cosa
it looks like when I vary the input is
sembra che quando modifico l'input
represented with this yellow dot on the
rappresentato con questo punto giallo sul
complex plane where this spiral sum is
piano complesso dove è questa somma a spirale
always going to be showing the
mostrerà sempre il
converging value for zeta of s
valore convergente per zeta di s
what this means is that zeta(s) defined
ciò che significa è che zeta (s) definita
as this infinite sum is a perfectly
come questa somma infinita è perfettamente
reasonable complex function as long as
funzione ragionevole ragionevole finchè
the real part of the input is greater
la parte reale dell'input è maggiore
than one meaning the input 's' sits somewhere
di uno che significa che l'input "s" si trova da qualche parte
on this right half of the complex plane
su questa metà destra del piano complesso
again this is because it's the real part
ancora una volta è perché è la parte reale
of s that determines the size of each
di s che determina la dimensione di ciascuno
number while the imaginary part just
numero mentre la parte immaginaria è giusta
dictate some rotation.
dettare qualche rotazione.
So now what I want
Quindi ora quello che voglio
to do is visualize this function it
fare è visualizzare questa funzione
takes in inputs on the right half of the
prende input nella metà destra del
complex plane and spits out outputs
piano complesso e sputa uscite
somewhere else in the complex plane a
da qualche altra parte nel piano complesso a
super nice way to understand complex
modo super bello per capire complesso
functions is to visualize them as
funzioni è visualizzarle come
transformations meaning you look at
trasformazioni che significa che guardi
every possible input to the function and
ogni possibile input per la funzione e
just let it move over to the
lascia che passi al
corresponding output... for example let's
uscita corrispondente ... per esempio, facciamo
take a moment and try to visualize
prenditi un momento e prova a visualizzare
something a little bit easier than the
qualcosa un po 'più facile del
zeta function : say f(s) = s²
funzione zeta: dire f (s) = s²
When you plug in s = 2
Quando si inserisce s = 2
you get 4 so we'll end up moving that
ne ottieni 4 quindi finiremo per trasferirlo
point at two over to the point at four
punto a due sopra al punto a quattro
when you plug in -1 you get 1 so
quando si collega -1 si ottiene 1 così
the point over here at negative 1 is
il punto qui al negativo 1 è
going to end up moving over to the point
andando a finire per andare al punto
at 1. When you plug in
a 1. Quando si collega
i by definition its square is -1
per definizione il suo quadrato è -1
so it's going to move over here to
quindi passerà qui
negative 1 now I'm going to add on a
1 negativo ora aggiungerò a
more colorful grid and this is just
griglia più colorata e questo è giusto
because things are about to start moving
perché le cose stanno per iniziare a muoversi
and it's kind of nice to have something
ed è bello avere qualcosa
to distinguish grid lines during that
per distinguere le linee della griglia durante questo
movement. From here I'll tell the
movimento. Da qui dirò il
computer to move every single point on
computer per spostare ogni singolo punto
this grid over to its corresponding
questa griglia al suo corrispondente
output under the function f(s) = s²
uscita sotto la funzione f (s) = s²
Here's what it looks like
Ecco come appare
I can be a lot to take in so I'll go
Posso essere molto da prendere, quindi vado
ahead and play it again and this time
avanti e giocare di nuovo e questa volta
focus on one of the marked points and
concentrarsi su uno dei punti contrassegnati e
notice how it moves over to the point
nota come si muove verso il punto
corresponding to its square. It can be a
corrispondente al suo quadrato. Può essere un
little complicated to see all of the
un po 'complicato vedere tutto il
points moving all at once but the reward
punti in movimento tutto in una volta ma la ricompensa
is that this gives us a very rich
è che questo ci dà un molto ricco
picture for what the complex function is
un'immagine per ciò che è la funzione complessa
actually doing and it all happens in
effettivamente facendo e tutto accade dentro
just two dimensions... so back to the zeta
solo due dimensioni ... quindi torniamo alla zeta
function we have this infinite sum which
funzione abbiamo questa somma infinita che
is a function of some complex number s
è una funzione di alcuni numeri complessi s
and we feel good and happy about
e ci sentiamo bene e felici
plugging in values of s whose real part
collegare i valori di s di chi la parte reale
is greater than one and getting some
è maggiore di uno e ottenere un po '
meaningful output via the converging
output significativo attraverso la convergenza
spiral cell so to visualize this
cella a spirale in modo da visualizzare questo
function i'm going to take the portion
funzione ho intenzione di prendere la parte
of the grid sitting on the right side of
della griglia che si trova sul lato destro di
the complex plane here where the real
il piano complesso qui dove il reale
part of numbers is greater than one and
parte dei numeri è maggiore di uno e
I'm gonna tell the computer to move each
Dirò al computer di spostarsi ciascuno
point of this grid to the appropriate
punto di questa griglia all'appropriato
output it actually helps if I add a few
l'output in realtà aiuta se ne aggiungo qualcuno
more grid lines around the number one
più linee di griglia attorno al numero uno
since that region gets stretched out by
da quando quella regione si distende da
quite a bit
un bel po
alright so first of all let's just
va bene quindi, prima di tutto, facciamo solo
appreciate how beautiful that is
apprezzare quanto è bello
I mean damn that doesn't make you want
Intendo dannazione che non ti fa desiderare
to learn more about complex functions
per saperne di più su funzioni complesse
you have no heart.
non hai cuore
But also this
Ma anche questo
transformed grid is just begging to be
la griglia trasformata sta solo supplicando di essere
extended a little bit for example let's
esteso un po ', per esempio, facciamo
highlight these lines here which
evidenzia queste linee qui che
represent all of the complex numbers
rappresentano tutti i numeri complessi
with imaginary part i or -i after the
con parte immaginaria i o -i dopo il
transformation these lines make such
trasformazione queste linee rendono tali
lovely arcs before they just abruptly
bellissimi archi prima che bruscamente
stopped
fermato
don't you want to just you know continue
non vuoi semplicemente sapere, continua
those arcs in fact you can imagine how
quegli archi infatti puoi immaginare come
some altered version of the function
qualche versione modificata della funzione
with the definition that extends into
con la definizione che si estende
this left half of the plane might be
questa metà sinistra dell'aereo potrebbe essere
able to complete this picture with
in grado di completare questa immagine con
something that's quite pretty
qualcosa che è abbastanza carina
well this is exactly what mathematicians
bene questo è esattamente ciò che i matematici
working with complex functions do! They
funziona con funzioni complesse! Essi
continue the function beyond the
continua la funzione oltre il
original domain where was defined now as
dominio originale dove è stato definito ora come
soon as we branch over into inputs where
appena ci dirammo in input dove
the real part is less than 1 this
la parte reale è meno di 1 questo
infinite sum that we originally used to
somma infinita a cui eravamo abituati in origine
define the function doesn't make sense
definire la funzione non ha senso
anymore you'll get nonsense like adding
più non avrai senso come aggiungere
1 + 2 + 3 + 4 on a non up to infinity
1 + 2 + 3 + 4 su un valore non fino a infinito
But just looking at this transformed
Ma solo guardando questo trasformato
version of the right half of the plane
versione della metà destra dell'aereo
where the some does make sense it's just
dove alcuni hanno senso è giusto
begging us to extend the set of points
chiedendoci di estendere il set di punti
that were considering as inputs even if
che stavano considerando come input anche se
that means defining the extended
ciò significa definire l'esteso
function in some way that doesn't
funzione in qualche modo che non lo fa
necessarily use that sum of course that
necessariamente usare quella somma ovviamente
leaves us with the question how would
ci lascia con la domanda come lo farebbe
you define that function on the rest of
si definisce quella funzione sul resto di
the plane? You might think that you could extend it
l'aereo? Potresti pensare di poterlo estendere
any number of ways maybe you define an
un numero qualsiasi di modi che potresti definire un
extension that makes it so the point at say...
estensione che rende così il punto di dire ...
s = -1 moves over to
s = -1 si sposta su
-1/12 but maybe you squiggle on
-1/12 ma forse ti diverti
some extension that makes it land on any
qualche estensione che lo fa atterrare su qualsiasi
other value
altro valore
I mean as soon as you open yourself up
Voglio dire non appena ti apri
to the idea of defining the function
all'idea di definire la funzione
differently for values outside that
diversamente per valori al di fuori di questo
domain of convergence that is not based
dominio di convergenza che non è basato
on this infinite sum the world is your
su questa somma infinita il mondo è tuo
oyster and you can have any number of
oyster e puoi avere un numero qualsiasi di
extensions right? Well not exactly I mean
estensioni giusto? Beh, non esattamente intendo
yes you can give any child a marker and
sì, puoi dare a qualsiasi bambino un pennarello e
have them extend these lines any which
farli estendere queste linee qualsiasi
way but if you add on the restriction
modo, ma se si aggiunge la restrizione
that this new extended function has to
che questa nuova funzione estesa deve
have a derivative everywhere it locks us
avere un derivato ovunque ci blocchi
into one and only one possible extension
in una sola e unica estensione possibile
I know I know... I said that you wouldn't
So che lo so ... Ho detto che non lo faresti
need to know about derivatives for this
bisogno di sapere su derivati ​​per questo
video and even if you do know calculus
video e anche se conosci il calcolo
maybe you have yet to learn how to
forse devi ancora imparare come
interpret derivatives for complex
interpretare derivati ​​per complessi
functions but luckily for us there is a
funziona ma fortunatamente per noi c'è un
very nice geometric intuition that you
molto bella intuizione geometrica che tu
can keep in mind for when I say a phrase
può tenere a mente quando dico una frase
like has a derivative everywhere here to
come ha un derivato ovunque qui a
show you what I mean let's look back at
mostraci cosa intendo guardiamo indietro
that f(s) = s² example
quell'esempio di f (s) = s²
again we think of this function as a
di nuovo pensiamo a questa funzione come a
transformation moving every point s of
trasformazione muovendo ogni punto s di
the complex plane over to the point s²
il piano complesso sopra al punto s²
for those of you who know
per quelli di voi che lo sanno
calculus you know that you can take the
calcolo sai che puoi prendere il
derivative of this function at any given
derivata di questa funzione in qualsiasi dato
input but there's an interesting
input ma c'è un interessante
property of that transformation that
proprietà di quella trasformazione
turns out to be related and almost
risulta essere correlato e quasi
equivalent to that fact if you look at
equivalente a questo fatto se si guarda
any two lines in the input space that
qualsiasi due righe nello spazio di input che
intersect at some angle and consider
intersecano in qualche angolazione e considerano
what they turn into after the
cosa trasformano in dopo il
transformation they will still intersect
trasformazione si intersecheranno ancora
each other at that same angle.
l'un l'altro con la stessa angolazione.
The lines might get curved and that's okay but the
Le linee potrebbero essere curve e va bene, ma il
important part is that the angle at
la parte importante è che l'angolo a
which they intersect remains unchanged
che intersecano rimane invariato
and this is true for any pair of lines
e questo è vero per ogni coppia di linee
that you choose!
che tu scelga!
So when I say a function has a
Quindi quando dico che una funzione ha un
derivative everywhere I want you to
derivativo ovunque io voglia che tu
think about this angle preserving
pensa a questo angolo di conservazione
property that anytime two lines
proprietà che in qualsiasi momento due linee
intersect the angle between them remains
interseca l'angolo tra loro rimane
unchanged after the transformation at a
invariato dopo la trasformazione in a
glance this is easiest to appreciate by
colpo d'occhio è più facile da apprezzare
noticing how all of the curves that the
notando come tutte le curve che il
gridlines turn into still intersect each
le linee della griglia si trasformano in ancora intersecano ciascuna
other at right angles.
altro ad angolo retto.
Complex functions
Funzioni complesse
that have a derivative everywhere are
che hanno un derivato ovunque lo sono
called analytic so you can think of this
chiamato analitico in modo che tu possa pensare a questo
term analytic as meaning angle
termine analitico come angolo di significato
preserving admittedly i'm lying to a
preservando, ammetto che sto mentendo a
little here but only a little bit a
poco qui ma solo un pò a
slight caveat for those of you who want
un piccolo avvertimento per quelli di voi che vogliono
the full details is that inputs where
i dettagli completi sono quegli input dove
the derivative of a function is 0
la derivata di una funzione è 0
instead of angle being preserved they
invece dell'angolo che si sta conservando loro
get multiplied by some integer, but those points are
moltiplicato per alcuni interi, ma quei punti sono
by far the minority and for almost all
di gran lunga la minoranza e per quasi tutti
inputs to an analytic function angles
input per gli angoli di una funzione analitica
are preserved
sono conservati
so when I say analytic you think angle
quindi quando dico analitico tu pensi che l'angolo
preserving I think that's a fine
preservando penso che sia una multa
intuition to have
intuizione da avere
now if you think about it for a moment
ora se ci pensi per un momento
and this is the point that i really want
e questo è il punto che voglio davvero
you to appreciate this is a very
per apprezzare questo è molto
restrictive property the angle between
proprietà restrittive l'angolo tra
any pair of intersecting lines has to
qualsiasi coppia di linee intersecanti deve
remain unchanged and yet pretty much any
rimangono invariati e tuttavia praticamente nessuno
function out there that has a name
funziona là fuori che ha un nome
turns out to be analytic the field of
risulta essere analitico il campo di
complex analysis which Riemann helped to
analisi complessa a cui Riemann ha contribuito
establish in its modern form is almost
stabilire nella sua forma moderna è quasi
entirely about leveraging the properties
interamente su come sfruttare le proprietà
of analytic functions to understand
di funzioni analitiche da capire
results in patterns and other fields of
risultati in modelli e altri campi di
math and science. The zeta function
matematica e scienze. La funzione zeta
defined by this infinite sum on the
definito da questa somma infinita sul
right half of the plane is an analytic
la metà destra dell'aereo è un'analitica
function notice how all of these curves
funzione notare come tutte queste curve
that the gridlines turn into still
che le linee della griglia si trasformano in ferme
intersect each other at right angles
si intersecano l'un l'altro ad angolo retto
so the surprising fact about complex
quindi il fatto sorprendente sul complesso
functions is that if you want to extend
funzioni è che se si desidera estendere
an analytic function beyond the domain
una funzione analitica oltre il dominio
where was originally defined for example
dove è stato originariamente definito per esempio
extending this zeta function into the
estendendo questa funzione zeta nel
left half of the plane then if you
lasciato metà dell'aereo quindi se tu
require that the new extended function
richiede che la nuova funzione estesa
still be analytic that is that it still
essere ancora analitico che è ancora così
preserves angles everywhere
conserva gli angoli ovunque
it forces you into only one possible
ti costringe a solo uno possibile
extension if one exists at all
estensione se ne esiste uno
it's kind of like an infinite continuous
è un po 'come un infinito continuo
jigsaw puzzle for this requirement of
jigsaw puzzle per questo requisito di
preserving angles walks you into one and
preservare gli angoli ti porta in uno e
only one choice for how to extend it
una sola scelta su come estenderlo
this process of extending an analytic
questo processo di estensione di un'analitica
function in the only way possible that
funziona nel solo modo possibile
still analytic is called as you may have
ancora l'analitica è chiamata come tu potresti avere
guessed "analytic continuation" so that's
indovinato "continuazione analitica" così è
how the full Riemann's zeta function is
come è la funzione zeta di Riemann
defined for values of s on the right
definito per i valori di s sulla destra
half of the plane where the real part is
metà dell'aereo dove si trova la parte reale
greater than one just plug them into
più di uno basta collegarli
this sum and see where it converges and
questa somma e vedere dove converge e
that convergence might look like some
quella convergenza potrebbe assomigliare ad alcuni
kind of spiral since raising each of
tipo di spirale da quando innalza ciascuno di
these terms to a complex power has the
questi termini per un potere complesso hanno il
effect of rotating each one then for the
effetto di rotazione di ciascuno quindi per il
rest of the plane we know that there
resto dell'aereo sappiamo che lì
exists one and only one way to extend
esiste un solo modo per estendere
this definition so that the function
questa definizione in modo che la funzione
will still be analytic that is so that
sarà ancora analitico che è così
it still preserves angles at every
conserva ancora gli angoli ad ogni
single point so we just say that by
punto singolo, quindi diciamo semplicemente questo
definition the zeta function on the left
definizione della funzione zeta a sinistra
half of the plane is whatever that
metà dell'aereo è qualunque cosa
extension happens to be and that's a
estensione sembra essere e questo è un
valid definition because there's only
definizione valida perché c'è solo
one possible analytic continuation
una possibile continuazione analitica
notice that's a very implicit definition
notare che è una definizione molto implicita
it just says use the solution of this
dice solo usare la soluzione di questo
jigsaw puzzle which through more
jigsaw puzzle che attraverso più
abstract derivation we know must exist
la derivazione astratta che conosciamo deve esistere
but it doesn't specify exactly how to
ma non specifica esattamente come
solve it
risolvilo
mathematicians have a pretty good grasp
i matematici hanno una buona conoscenza
on what this extension looks like but
su come appare questa estensione ma
some important parts of that remain a
alcune parti importanti di questo rimangono a
mystery
mistero
a million-dollar mystery in fact let's
un mistero da un milione di dollari, infatti
actually take a moment and talk about
in realtà prendere un momento e parlare
the Riemann hypothesis the
l'ipotesi di Riemann il
million-dollar problem
problema da un milione di dollari
the places where this function equals
i luoghi in cui questa funzione è uguale
zero turn out to be quite important that
lo zero risulta essere piuttosto importante
is
è
which points get mapped onto the origin
quali punti vengono mappati sull'origine
after the transformation one thing we
dopo la trasformazione una cosa noi
know about this extension is that the
sapere di questa estensione è che il
negative even numbers get map to 0 these
i numeri pari negativi ottengono la mappa a 0 questi
are commonly called the trivial zeros
sono comunemente chiamati gli zeri banali
the name here stems from a long-standing
il nome qui deriva da una lunga data
tradition of mathematicians to call
tradizione dei matematici da chiamare
things trivial when they understand
cose banali quando capiscono
quite well even when it's a fact that is
abbastanza bene anche quando è un dato di fatto
not at all obvious from the outset we
non del tutto ovvio fin dall'inizio
also know that the rest of the points
anche sapere che il resto dei punti
that get map to 0 sit somewhere in this
che ottiene la mappa per 0 sedersi da qualche parte in questo
vertical strip called the critical strip
striscia verticale chiamata la striscia critica
and the specific placement of those
e il posizionamento specifico di quelli
non-trivial zeros encodes a surprising
gli zeri non banali codificano una sorpresa
information about prime numbers it's
informazioni sui numeri primi è
actually pretty interesting why this
in realtà piuttosto interessante perché questo
function carry so much information about
la funzione porta così tante informazioni su
primes and I definitely think i'll make
primi e penso che sicuramente lo farò
a video about that later on but right
un video a riguardo, ma a destra
now things are long enough so I'll leave
ora le cose sono abbastanza lunghe quindi me ne vado
it unexplained Riemann hypothesized that
è inspiegabile che Riemann lo abbia ipotizzato
all of these non-trivial zeros sit right
tutti questi zeri non banali stanno bene
in the middle of the strip on the line
nel mezzo della striscia sulla linea
of numbers s who's real part is
dei numeri s chi è la parte reale è
one-half this is called the critical
metà di questo è chiamato il critico
line if that's true it gives us a
linea se è vero che ci dà un
remarkably tight grasp on the pattern of
afferrare notevolmente stretto sul modello di
prime numbers as well as many other
numeri primi e molti altri
patterns in math stem from this now so
i modelli in matematica derivano da questo ora così
far when I shown what the zeta function
lontano quando ho mostrato ciò che la funzione zeta
looks like I've only shown what it does
sembra che abbia mostrato solo ciò che fa
to the portion of the grid on the screen
alla porzione della griglia sullo schermo
and that kind of under sells its
e quel tipo di sotto vende il suo
complexity so if I were to highlight
complessità quindi se dovessi evidenziare
this critical line and apply the
questa linea critica e applicare il
transformation it might not seem to
trasformazione che potrebbe non sembrare
cross the origin at all however use with
incrociare l'origine comunque con
the transformed version of more and more
la versione trasformata di sempre di più
of that line looks like
di quella linea sembra
notice how its passing through the
nota come sta passando attraverso il
number zero many many times if you can
numero zero molte volte se puoi
prove that all of the non-trivial zeros
dimostrare che tutti gli zeri non banali
sit somewhere on this line the clay math
siedi da qualche parte su questa linea la matematica della creta
Institute gives you 1 million dollars
L'istituto ti dà 1 milione di dollari
and you'd also be proving hundreds if
e potresti anche provare centinaia se
not thousands of modern math results
non migliaia di risultati matematici moderni
that have already been shown contingent
che sono già stati mostrati contingenti
on this hypothesis being true
su questa ipotesi è vero
another thing we know about this
un'altra cosa che sappiamo di questo
extended function is that map's the
la funzione estesa è che la mappa è la
point -1 over to negative -1/12
punto -1 oltre a negativo -1/12
and if you plug this into the original
e se lo si collega all'originale
sum it looks like we're saying 1 + 2 + 3 + 4
somma sembra che stiamo dicendo 1 + 2 + 3 + 4
on and on up to infinity equals
on e on fino all'infinito è uguale
-1/12 now they might seem
-1/12 ora potrebbero sembrare
disingenuous to still call this is a sum
disonesto per chiamare ancora questa è una somma
since the definition of the zeta
poiché la definizione della zeta
function on the left half of the plane
funzione sulla metà sinistra del piano
is not defined directly from this sum
non è definito direttamente da questa somma
instead it comes from analytically
invece viene da analiticamente
continuing this own beyond the domain
continuando al di là del dominio
where it converges that is solving the
dove converge che sta risolvendo il
jigsaw puzzle that began on the right
jigsaw puzzle che è iniziato sulla destra
half of the plane that said you have to
metà dell'aereo che ha detto che devi
admit that the uniqueness of this
ammettere che l'unicità di questo
analytic continuation the fact that the
continuazione analitica il fatto che il
jigsaw puzzle has only one solution is
il puzzle ha una sola soluzione
very suggestive of some intrinsic
molto suggestivo di alcuni intrinseci
connection between these extended values
connessione tra questi valori estesi
and the original sum the last animation
e la somma originale l'ultima animazione
and this is actually pretty cool i'm
e questo è davvero carino, lo sono
going to show you guys what the
andando a mostrarvi ragazzi cosa
derivative of the zeta function looks
la derivata della funzione zeta sembra
like but before that it matters to me to
come prima ma per me è importante
let you guys know who's making these
Fai sapere a chi sta facendo questi
videos possible
video possibili
first and foremost there's the viewers
prima di tutto ci sono gli spettatori
like you supporting directly on patreon
come sostenere direttamente su Patreon
and this particular video was also
e anche questo particolare video era
supported in part by audible.com which
supportato in parte da audible.com che
provides audio books and other audio
fornisce libri audio e altri audio
materials actually use audible almost
i materiali effettivamente usano quasi udibili
every day and I have for a while now if
ogni giorno e ho un po 'di tempo se
you don't already have listening to
non hai già ascoltato
literature as one of your habits whether
letteratura come una delle tue abitudini sia
that's why you're commuting or jogging
è per questo che stai pendolarismo o jogging
or cooking or whatever it can be a real
o cucinare o qualunque cosa possa essere reale
life-changer one particularly good book
un cambio di vita un libro particolarmente buono
that i recently listen to is the art of
che di recente ascolto è l'arte di
learning by Josh Waitzkin which I got
imparare da Josh Waitzkin che ho ottenuto
due to a very emphatic recommendation of
a causa di una raccomandazione molto enfatica di
my brother and it's one that I think you
mio fratello ed è uno che ti penso
guys would like a lot Josh Waitzkin the
ragazzi vorrebbero molto Josh Waitzkin il
author was a national chess champion
l'autore era un campione nazionale di scacchi
throughout his childhood and later in
durante la sua infanzia e dopo
life he took up the martial art tai-chi-chuan and
la vita ha preso l'arte marziale tai-chi-chuan e
became a world champion in just a few
è diventato un campione del mondo in pochi
years
anni
so the man knows what it takes to learn
quindi l'uomo sa cosa serve per imparare
and I found a lot of what he says about
e ho trovato molto di quello che dice
chest and taichi translates pretty
petto e taichi si traducono in modo carino
meaningfully to learning math as well
significativamente anche per l'apprendimento della matematica
especially what he says about starting
specialmente quello che dice sull'avvio
with the endgame you can listen to the
con il gioco finale puoi ascoltare il
art of learning or any other audio book
arte dell'apprendimento o qualsiasi altro libro audio
for free by visiting audible.com/3blue1brown
gratuitamente visitando audible.com/3blue1brown
going to that URL gives
andando a quell'URL dà
you a one month free trial and it lets
una prova gratuita di un mese e lascia
audible know that you came from me which
udibile sapere che sei venuto da me quale
encourages them to support future videos
li incoraggia a sostenere i video futuri
like this one again it's a product i've
come questo è di nuovo un prodotto che ho
used for a while now and it's one that i
usato per un po 'ora ed è uno che io
am more than happy to recommend alright
sono più che felice di raccomandare bene
here's that final animation what the
ecco quell'animazione finale che cos'è
derivative of the zeta function looks like
la derivata della funzione zeta è simile
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