Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy Khan Academy English Swedish

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan AcademyYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 2008

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

Let's now expand our knowledge of calculus

Låt oss utöka vår kunskap om kalkulus

to the third dimension.

till tre dimensioner

So first of all, just what does a function look like

Vi börjar med att titta på hur en funktion ser ut

in three dimensions?

i tre dimensioner

And actually we'll go over the different types.

I själva verket kommer vi att titta på tre olika sorters.

Because you can have a line in three dimensions, or kind of

Eftersom man på sätt och vis kan ha en linje i tre dimensioner,

a curve in three dimensions.

en kurva i tre dimensioner.

You can have a surface.

Du kan ha ytor.

You could have a vector field.

Du kan ha vektorfält.

There are different types of representations we'll see,

Vi kommer att se olika sorters representationer,

when we start working with three dimensions.

när vi börjar arbeta med tre dimensioner.

But I think the most intuitive-- and none of these

Men jag tror att den mest intuitiva - och ingen av dem är

are directly intuitive-- I think you have to really be

direkt intuitiv- jag tror att du verkligen måste ha förmågan

able to visualize them.

att visualisera dem.

But the most intuitive, to me at least, is a surface

Men den mest intuitiva, för mig i alla fall, är ytan

in three dimensions.

i tre dimensioner.

And eventually, we can expand this into n dimensions.

Så småningom, kan vi expandera detta till n dimensioner.

But then it becomes very hard to visualize.

Men då blir det väldigt svårt att visualisera.

So we had our traditional x and y-axis before, but

Tidigare har vi använt oss av x och y-axlarna, som

now let's give another dimension of height.

vi nu utökar med ytterligare en dimension, höjd.

Let's say that this is my x-axis-- and I'll draw

Låt oss säga att det här är min x-axel - och jag ritar upp

the positive quadrant.

den positiva kvadranten, 1:a kvadranten.

That's my x-axis.

Det här är min x-axel.

That's the y-axis, and that's the z-axis.

Det är y-axeln och det är z-axeln.

And the convention is to kind of follow the right hand rule,

En gängse regel är att använda högerhandsregeln.

where the x-axis-- taking the cross product of the x-axis

där x-axeln - tar kryssprudukten av x-axeln

with the y-axis-- is equal to the z-axis.

med y-axeln -- är lika med z-axeln.

What do I mean by that?

Vad menar jag med det?

This is x-- those colors really don't go well together.

Det här är x-- dessa färger passar inte så bra ihop.

Det här här z

What do I mean by the cross product?

Vad menar jag med kryssprodukten?

So if this is the unit vector in the x

Om det här är enhetsvektorn i x

direction-- so that's i.

riktningen-- så den kallas i.

Let's say this is a length of 1.

Låt oss säga att den har längden 1

This is in the y-direction, so it's j.

Den här är i y riktningen, så den kallas j.

j, med liten bokstav

And that cap just means it's a unit vector.

Det betyder bara att det är en enhetsvektor.

It's in y-direction, but it has a magnitude of 1.

Den har samma riktning som y och dess storlek är 1.

And I'll use a different color for z.

Jag använder en ny färg för z.

And the unit vector for there is k.

och enhetsvektorn kallas då får k.

And this is just a convention, that i cross j is equal to k.

Sen är det bara en minnesregel att i kryss j = k

And that's just the convention, you know,

Det är bara en minnesregel, förstår du,

for drawing the x-axis.

när man ritar x-axeln.

Do we make increasing x pointing out this way?

Ökar vi x värdet om vi pekar åt det här hållet?

Or do we make increasing x point inwards?

eller minskar vi x värdet om vi pekar inåt?

And this gives us the convention.

och det ger oss minnesregeln

So i goes in this direction.

Så i är riktad i den här riktningen

I'm trying to make sure I can do my hand properly.

Jag försöker säkerhetsställa att jag kan forma min hand på rätt sätt.

So let me draw the cross product.

Låt mig rita ut kryssprodukten.

So if you take the first vector, put your index finger

Ta den första vektorn, rikta in ditt pekfinger

in the direction of the first vector, middle finger in the

i samma riktning som den, långfingret i samma

direction of the second vector, and your other fingers can

riktning som den andra vektorn , de andra fingrarna bryr

do what they need to do.

du dig inte om.

So this is going in the direction of i.

Den här har samma riktning som i,

That is going in the direction of k.

Den har samma riktning som k.

Sorry, of j, right?

Ledsen, som j, eller hur?

In the y-direction.

And then you have your palm of your thumb, and then your thumb

Sen har du tummens handflatedel, och sen tummen

is going to open up in this direction.

som är riktad uppåt, så här.

Your thumb is going to point up, which is

Din tumme är riktad uppåt, vilket är

the direction of k.

i k vektorns riktning.

So that's just a-- good to know, where did that

Det är bara ---en minnesregel. Var kom den

convention come from?

This is kind of called a right-handed coordinate system.

Det kallas på sätt och vis för högerhandens koordinatsystem.

But let's get to the meat and potatoes.

Låt oss titta på det viktiga.

So how do we define a surface in three dimensions?

Hur definierar vi en yta i tre dimensioner?

Well, we can define z as a function of x and y.

Nja, vi kan definiera z som en funktion av x och y.

So let's do that.

Så låt oss göra det.

And just the notation, z is equal to a function of x and y.

Och just beteckningen, z är lika med en funktion av x och y.

And all that means is that if I give you an x-value and a

Det betyder att om jag ger dig ett x-värde och ett

y-value you get a z-value.

y-värde så får du ett x-värde.

And so, I don't know, let's pick one.

Och så, jag vet inte, låt oss välja ut ett.

z is equal to x plus y.

z är likamed x + y

So this z is equal to, I don't know, x squared plus y.

Så z är lika med, jag vet inte, kvadraten av x plus y.

So how do we plot the points on the surface?

Men hur ritar vi ut punkterna på planet?

And I'll show you, actually, computer generated surfaces

Jag kommer att visa dig, egentligen så genererar datorn ytor

that are far more professional looking than anything I

som ser långt mer professionella ut än något som jag

could possibly try to draw.

försöker rita.

So let's say, what's f of-- f of, I don't know, 2 comma 1.

Så låt oss säga, vad är f av -- f av, jag vet inte, 2 komma 1

Well, that would mean x is 2, so it's 2 squared plus 1.

Det skulle kunna innebära att x är 2 så då blir det kvadraten av 2 plus 1

Well, it equals 5.

Vilket innebär att det är likamed 5.

And if we had to plot that point of the surface-- and

Och om vi skulle rita ut den delen av ytan -- och

maybe I'll actually graph this one in a little bit-- we

jag kanske tom ritar ut den här om en liten stund--vi

go along the x-axis 2.

följer x-axeln till 2.

We go along the y-axis 1.

Vi följer y-axeln till 1.

So if you take this point-- this is x is equal

Så om du tar den här punkten - det är x likamed

to y is equal to 1.

And then we go and then we say, well, z is equal to 5.

och när vi går så kan vi säga, z likamed 5

So we can go up here, I don't know, we'd go up 5 units.

Så vi kan gå upp till 5 enheter här

And we would plot that point.

och då kan vi märka ut den punkten

And you would see, if you kept doing that, you

Om du fortsätter så, kommer du att se att du

would plot a surface.

har ritat ut ett plan.

You'd plot a surface.

Du ritade ut ett plan

And let me clean this up a little bit.

Låt mig sudda rent lite

So the natural question that you might want to ask--

Du kanske undrar om

and actually, let me show you a surface.

jag vill visa dig ett plan

I'm afraid that when I manipulate this graph, it'll

Jag är rädd för att när jag manipulerar den här grafen så kommer det att

slow down my computer and I'll start sounding

sakta ner min dator och den kommer att börja låta.

like I'm melting.

precis som om jag smälter

But I'll take that risk.

Men jag tar risken

Just bear with me.

Håll ut tillsammans med mig

So here is a surface I use, using this Java applet grapher.

Det här är ytan jag använder, när jag använder det här Java applets graf

And it's actually free.

och det är gratis.

I'll give you the link for it.

Jag kommer att ge dig länken till det.

But this surface right here, this is-- I'll actually show

Men den här ytan, precis här, den är --jag ska visa

you the graph of this.

It'll start taking the partial derivative.

Jag startar med den här härledningen

Don't worry about this wall.

Var inte orolig för den här väggen

We'll get to this in a second.

Vi kommer att titta på den om någon sekund

But this is a function of x and y.

Men det här är en funktion av x och y

You can see this is the x-axis, the y-axis.

Du kan se att det här är x-axeln, y-axeln

The height is the z-axis.

och höjden är z - axeln

This'll probably really slow down my computer, but you

Det här kommer troligtvis verkligen att sakta ner min dator, men du

can actually rotate it.

kan i själva verket rotera den.

Titta på det här

I don't want to slow.

Jag vill inte sakta ner det.

I don't want to slow things too down while I'm trying

Jag vill inte sakta ner saker medan jag försöker

to do my screen capture.

att göra en skärmdump

Anyway, I think you'd understand, where you pick an

Men jag tror att du förstår, när du väljer ett

x-point, you pick a y-point, and then z-- this surface right

x värde, så ett y värde och sen ett z - så kommer den här ytan

here, without this line intersecting it-- this

upp, utan några linjer som korsar den -- den här

surface right here, is a function of x and y.

ytan är en funktion av x och y

So the question is, well, how do we apply

Så nu till frågan, hur applicerar vi

calculus to surfaces?

kalkyl till ytor

Because-- actually, let me bring that thing out again.

För egentligen, låt mig ta upp det igen.

Because if you look at this surface, if you were to pick

Om du tittar på den här ytan, om du var tvungen att välja

any arbitrary point on this surface, and say, what is

en godtycklig punkt på den här ytan, och säga, vad är

the slope of that surface?

Well, it kind of has no meaning, because you have to

Det har ingen egentlig mening, för du måste

kind of pick a direction.

även välja ut en riktning.

If you said, what is the slope of the tangent line?

Om du sa, vad är tangentens lutning?

Any point on this graph actually has an infinite

så har varje punkt på grafen ett oändligt antal

number of tangent lines.

I mean, think of it this way.

Jag menar, tänk på det på det här sättet.

Take a bowl or something that maybe-- you know, like this.

Ta en bunke, eller något --du vet, som det här.

And then take a, I don't know, a toothpick.

och sen tar du en, jag vet inte, en tandpetare.

And make that toothpick tangent to the bowl, and you can see

och låt tandpetaren vara bunkens tangent så kan du se

that on any point on the bowl, you can just rotate

att oavsett vilken punkt du väljer på bunken så kan du rotera

that toothpick around.

tandpetaren åt alla håll.

So you kind of have to pick the orientation of that toothpick.

Så du måste välja en riktning i vilken tandpetaren ska peka.

So what we're going to learn is when you take a derivative in

Så något vi måste lära oss är att när man ska derivera i

three dimensions, you have to specify the direction that

tre dimensioner så måste man specificera den riktning

you're taking the derivative in.

som man ska derivera i.

And this is why I actually drew this wall here.

Det är därför jag ritade hit den här väggen.

This wall is the equation y is equal to 0.3.

Den här väggens ekvation y är likamed 0,3.

So you can kind of view it.

Så på så sätt kan du se den.

Along this wall, y is a constant, right?

Utefter den här väggen är y en konstant, eller hur?

So if we assume that y is constant, then maybe we could

Om man antar att y är konstant så kanske man kan

take just the derivative with respect to x.

derivera med avseende på bara x

So we would essentially take the slope of this

Så då tar vi kurvans lutning

curve right here.

And let's figure out how to do it.

Nu ska vi bara komma på hur man gör det.

So first of all, what is the equation of this surface?

Allra först, vad är ytans ekvation?

And I just picked one that they had on Wikipedia.

Jag valde bara en som de hade på Wikipedia.

But the equation of that surface is-- and I'm going to

Men ekvationen av ytan är -- jag ska

remove this now, so I don't sound like I'm melting.

flytta på det här först, så det inte låter som jag smälter.

The equation of that surface-- and let me just clear out

Ytans ekvation - låt mig bara rensa bort

everything, just because we'll probably need the extra space.

allting för vi kommer troligtvis att behöva lite extra utrymme.

Go back to the pen tool.

Tillbaka till pennverktyget

The equation is z is equal to x squared plus xy plus y squared.

Ekvationen är z är likamed kvadraten av x adderat med x multiplicerat med y adderat med kvadraten på y

So we said if we want to take a derivative, it's hard to-- you

Så om vi vill derivera, det är svårt -- du

know, you can't just say there is one derivative.

vet, du kan inte bara säga att det finns en derivata

We have to pick a direction.

Vi måste välja ut en riktning

We have to hold everything else constant and take the

Vi måste hålla allt annat konstant och ta

derivative with respect to just one variable.

derivatan med avseende på enbart en variabel

And that is called the partial derivative.

Detta kallas för partiell derivering

I know it sounds fancy, but you'll see.

Jag vet att det låter snobbigt, men du kommer att förstå.

It's actually no harder than taking a regular derivative.

Det är inte svårare än att ta en egentlig derivata

You just have to make sure you remember which variable is a

Du måste bara komma ihåg vilken variabel som är

variable, and which one is a constant.

en variabel och vilken som är en konstant.

So let's say we wanted to hold y constant.

Så låt oss säga att vi låter y vara konstant.

And we just say, for any constant y, how much does z

Och så säger vi, för vilken konstant y som helst, hur mycket kommer z

change with respect to x?

att förändras i förhållande till x?

Then we take the partial derivative-- this

Sen tar vi den partiella derivatan - det här är

is the notation.

You can view it as a d with the top curled.

Du kan se det som ett d med en krok i toppen.

The partial derivative of z with respect to x.

Den partiella derivatan av z med avseende på x

It equals-- all we do is we take this expression-- we take

är likamed -- allt vi gör är att vi tar det här uttrycket--- vi tar

the derivative of x-- and we just assume that y

derivatan av x -- och vi antar helt enkelt att y

is some constant.

So what's the derivative of 2x with respect to x?

Så vad är då derivatan av 2x med avseende på x?

Well, it's just 2x.

Jo, det är ju 2x

What's the derivative of xy with respect to x?

Vad är derivatan av xy med avseende på x?

Well, y is just a number.

Jo det blir y, dvs ett nummer.

It's just a constant.

Det är ju bara en konstant.

Remember, we're taking an implicit derivative here.

Kom ihåg, vi tar deriverar inte med avseende på allt

y is just a constant.

y är bara en konstant

So if you have some constant times x, the derivative of

Så om du har en konstant tid x, så kommer derivatan av

that is just the constant.

det bli konstanten

And then what's the derivative of y squared with respect to x?

Så vad är derivatan av kvadraten av y med avseende på x?

Well, we're assuming y squared is a constant.

Vi antar att kvadraten av y är en konstant.

It's just a number, right? y is just a number.

Det är bara ett nummer, eller hur? y är bara ett nummer

So the derivative of just the number with respect

Så derivera bara det numret med avseende

to x is just 0.

So the derivative of that is 0.

Så derivatorn av det är 0

So the partial derivative of z with respect to x is 2x plus y.

så den partiella derivatorn av z med avseende på x är 2x adderat med y

Now, what does that mean?

Så vad betyder det?

Well, that means if I were-- and actually, let me give you

Det betyder om jag var-- låt mig ge dig

a little notation, before I show you what that means.

lite annat innan jag visar dig vad det betyder

Another way to write this exact same thing is if we wrote that

Ett annat sätt att skriva exakt samma sak skulle vara om vi skrev

f of xy is equal to the same thing-- x squared plus xy plus

f av xy är likamed samma sak -- kvadraten av x adderat med xy adderat med

y squared-- the partial of f with respect to x we could

kvadraten av y -- det partiella av f med avseende på x kan vi

have written as this.

skriva så här.

The partial derivative of f with respect to x-- and still

Den partiella derivatan av f med avseende på x-- och fortfarande

a function of x and y, right?

en funktion av x och y, eller hur?

It still depends on what constant y you're using--

Det beror fortfarande på vilken konstant y du använder--

is equal to 2x plus y. Anyway, I thought it's nice to see that notation. Now, what does this mean? Well, what is the slope of z with respect to x at, say,

är likamed 2x adderat med y

when x is 1 and-- actually, let's pick smaller numbers. When x is equal to, I don't know, when x is equal to 0.2 and y is equal to, I don't know, 0.3. Well, we could use this.

The partial derivative of f, with respect to x, at the point 0.2, 0.3 is equal to 2 times x-- that's 0.4-- plus y-- plus 0.3. So the slope of this function with respect to x at the 0.2,

comma 0.3, is equal to 0.7. Let's see if we can visualize that. So that wall represents the line y is equal to 0.3.

And we want the slope at equal at-- x is equal to 0.2. So this is x is 0.2, right here. So the rate at which the height, or the rate at which z is changing with respect to x, is 0.7.

So every time x increases 1, z will increase by 0.7. So the slope is a little bit less than 1. I think you see that, right? The tangent right here is increasing with increasing

values of x, but a little bit less than 45 degrees. Anyway, I'm all out of time. See you in the next video.

Similar videos:

Divergence 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
341.2K views 965 likes 37 dislikes 11 Aug 200839% match

Partial derivatives 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 652 likes 10 dislikes 09 Aug 200839% match

Polynomial approximation of functions (part 1)
Khan Academy
279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 200838% match

Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201037% match

Double integral 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
857.3K views 3.8K likes 123 dislikes 13 Aug 200836% match

Gradient of a scalar field | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
332.9K views 1.3K likes 56 dislikes 10 Aug 200836% match

Equation of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
455K views 618 likes 44 dislikes 02 Jul 200835% match

Functions (Part III)
Khan Academy
322.7K views 1.1K likes 28 dislikes 18 Mar 200735% match

Simple Differential Equations
Khan Academy
412.4K views 891 likes 48 dislikes 16 Jun 200835% match

Double integrals 5 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
248.9K views 582 likes 14 dislikes 14 Aug 200835% match

Subtraction 2 | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
708.6K views 887 likes 142 dislikes 19 Jan 201035% match

Line integral example 2 (part 1) | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
256.9K views 768 likes 18 dislikes 25 Feb 201035% match

Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200735% match

Introduction to conic sections | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
936K views 4.2K likes 139 dislikes 15 Jun 200934% match

How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201034% match

Basic subtraction | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 1.1K likes 213 dislikes 10 Jul 200834% match

McDonald's® BLUEBERRY MUFFIN Review 🧁🌅 | McCafé® Bakery 👨‍🍳 | Peep THIS Out! 🕵️‍♂️
Peep THIS Out!
3.5K views 156 likes 12 dislikes 30 Oct 202034% match

The derivative of f(x)=x^2 for any x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
721K views 1.6K likes 39 dislikes 02 Nov 200934% match

Integrating factors 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
769.7K views 1.9K likes 128 dislikes 31 Aug 200834% match

Perimeter and area: the basics | Perimeter, area, and volume | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
1.8M views 6.1K likes 849 dislikes 30 Sep 201134% match

What is a differential equation
Khan Academy
2M views 7K likes 287 dislikes 28 Aug 200834% match

Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201134% match

Taking percentages | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
558.2K views 1.1K likes 67 dislikes 11 Apr 200734% match

Gradient 1 | Partial derivatives, gradient, divergence, curl | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
480.4K views 1.9K likes 55 dislikes 09 Aug 200834% match

Triple integrals 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
444.8K views 1.2K likes 38 dislikes 24 Aug 200834% match

Integrating factors 2 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
335.7K views 741 likes 31 dislikes 31 Aug 200833% match

2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 4 | Khan Academy
Khan Academy
397.2K views 785 likes 17 dislikes 01 Sep 200833% match

The Pythagorean theorem intro | Right triangles and trigonometry | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
2.5M views 15.2K likes 825 dislikes 09 Aug 201033% match

Derivative as slope of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.6M views 4.3K likes 146 dislikes 02 Nov 200933% match

Mean value theorem | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
610.7K views 2K likes 52 dislikes 02 Jul 200833% match

Settings Privacy About Contact Donate