Problems with Periodic Orbits - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  363.9K views 7.9K likes 87 dislikes   01 Mar 2017
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[Professor Masur]: But I thought I would mention one other
Pero pensé que podría mencionar otro
problem that arises that you can ask
problema que surge cuando preguntas
about polygons. You could ask is there
respecto a polígonos, tú podrías preguntar: ¿Existe algo
what's called a periodic orbit? When I
llamado órbita periódica?, cuando
say orbit, that might be "start off at
digo órbita, y eso puede comenzar en
a point, you bounce off the walls and
un punto y vas rebotando contra los lados y
after some long number of times; can you
luego de un gran número de veces, siempre puedes
always find a path that repeats itself?"
encontrar un camino que se repite
So let me give one very, very classical
Así que, déjame darte un ejemplo muy muy clásico
example of that and that goes back to
de esto, asociado a un
the square – if you start, let's say on the
cuadrado: Si tu empiezas, digamos, desde
bottom, and move off at a right angle,
la base y te mueves con un ángulo de 90°
90 degrees, you move to the top. Now when you
tú te mueves hasta la parte de arriba del cuadrado, y cuando
get to the top, because these are
llegas allí, dado que estas (líneas) son
parallel, this angle is also 90 degrees,
paralelas, este ángulo también es de 90°
and so the billiard path says you
así que, como indica el camino del billar, tú
rebound where angle of reflection equals
rebotarás con un ángulo de reflexión que es igual
angle of incidence, and that means that
al ángulo de incidencia y eso significa que
when you come to the side you will
cuando vienes contra un lado
bounce off exactly the way that you came
rebotarás exáctamente de la misma manera que tu
in; you will come to the side and
llegaste, llegarás a un lado y
bounce right back. You come back along
rebotarás y volverás a lo largo
this line and then you will bounce and…
de esta línea y luego rebotarás
repeat yourself – so that's what's called
repetídamente, es lo que se llama
periodic. There are other periodic lines.
de forma periódica. Existen otras líneas periodicas,
So, for example, you could start at a
por ejemplo, podrías comenzar con
45-degree angle, everything would be
un ángulo de 45°, todo sería 45°
45 degrees, and you would come back right
y volverías justamente
where you started and then repeat
al punto desde donde comenzaste
yourself. In fact, if you started any
y todo volvería a repetirse, de hecho, si comienzas en cualquier
point, at any angle that is a rational
punto, con cualquier ángulo, existe un número racional
number – a quotient of two integers –if you started with an angle of 27 degrees
- un cuociente de dos números enteros si comienzas con un ángulo de 27°
starting here, you will come back after a certain number of bounces.
comenzando aquí, tú volverías luego de
That's true for a square; and, in fact, one can prove
un cierto número de rebotes, eso es cierto para un cuadrado y, de hecho, se puede probar
for any rational polygon, were all the angles are fractions of 180 degrees,
para cualquier polígono racional donde todos los ángulos corresponden a una fracción de 180°
or P over Q times 180 degrees,
P/Q x 180°
again I like to write it like that,
de nuevo, me gusta escribirlo
you can always find a periodic orbit.
así, siempre puedes encontrar una órbita
[Brady]: From any point? [Professor Masur]: No not from any point.
periodica [Brady]: ¿Para cualquier punto? [Profesor Masur]: No, no para cualquier
There's some periodic orbit, from somewhere.
Existen algunas órbitas periódicas
Some periodic orbit from somewhere.
desde algunos lugares, algunas órbitas periódicas
There might be; so there will be
desde algunos lugares, podrían haber, entonces habrán
some direct… Some point, in some
para algunos puntos en algunas
direction, where there will be a periodic orbit.
direcciones donde existirá una órbita
[Brady:] For example on this side there are none, but there is one sitting over here somewhere.
periódica, por ejemplo, aquí no hay ninguna, pero si comiendo desde aquí
[Professor Masur:] Well usually what happens if… It, it…
Bueno, usualmente lo que ocurre es que en la mayoría
In most cases, that… That's possible;
de los casos, eso es posible,
in fact you can always find periodic
de hecho, siempre puedes encontrar órbitas
orbits that will hit every side. In most
periódicas que golpean cada lado, en la mayoría de los
cases a periodic orbit will hit a side.
casos una órbita periódica golpeará el lado
There might be other points on that side,
podrían haber otros puntos en ese mismo lado
where the orbit in that same direction, is not periodic. So in other words, you start at a point on a side and move in a direction
donde la órbita, en esa misma dirección, no es periódica, en otras palabras, tú comienzas con un punto en un lado y te mueves con
it might close up, meaning periodic,
una dirección, podría cerrarse, lo que significa que sería
but if you move the point a little bit and headed off in the same direction,
periódica, pero si mueves el punto tan solo un poco y lo encaminas en la misma
what could happen is that it isn't periodic;
dirección lo que ocurre es que
what might happen is it hits a corner
ya no es periódica. Lo que podría ocurrir es que
and then you don't know what to do.
golpee una esquina y luego no sabes
That's different from the square. In the square no matter where I
qué hacer. Eso es distinto en un cuadrado, en un cuadrado, no importa dónde
started, if I went at 45 degrees, it would be periodic,
comiences, si lo hago en 45° podría
but in a general,
ser periodico, pero en un polígono
rational polygon that may not be the case.
racional general eso podría no ser
I want to talk about triangles now
el caso. Ahora quiero hablar de triángulos
that are not necessarily rational, but just triangles. If they are acute,
los cuáles no son necesariamente racionales, pero solo triángulos, si son "agudos",
which means all of the angles are 90 degrees or less,
lo que significa que todos sus ángulos son
what you could do is: you could take the vertex of the triangle and drop a perpendicular down to the opposite side to get a point,
de 90° o menos, lo que podrías hacer es que podrías tomar un vértice del triángulo y trazar una línea perpendicular hasta el lado opuesto y luego
and then drop this perpendicular down to the opposite side and get a point so these are right angles.
trazar esta línea perpendicular hasta el lado opuesto, así que estos
This triangle joining those points gives a periodic
son ángulos recto. Este triángulo uniendo esos puntos, nos da una
orbit; meaning if I start here I go to
órbita periódica, lo que significa que si yo comienzo aquí y voy
the line towards here this angle will
a lo largo de esta línea, este ángulo será
equal that angle and I'll bounce like that.
igual que éste ángulo y rebotaré, así,
And then i'll get to this point and
y luego llegaré hasta este punto
this angle will equal this angle and
y este ángulo será igual a este ángulo y
I'll bounce like that.
rebotaré de esta forma y volveré
And I come back, this angle equal this angle, and I'll repeat myself.
con este ángulo que es igual a este otro ángulo y
This example was has been known for hundreds of years.
repetiré esto. Este ejemplo ha sido conocido desde hace cientos de años
I don't think it was ever thought of as billiards, but anybody in high school or
No sé si fue a través del billar, pero cualquiera en secundaria o
even junior high could do this in… In trigonometry.
en primaria podría hacer esto en
When you do obtuse triangles,
trigonometría. Cuando tienes un triángulo obtuso
you can't drop a perpendicular because if I started at this vertex and drop the perpendicular,
no puedes trazar una línea perpendicular porque si comienzo en este vértice y trazo la
it wouldn't be on that side.
perpendicular no caería sobre
That's because this angle is bigger than 90 degrees and, in fact,
este lado, porque este ángulo es mayor que 90° y, de hecho, para
for something as very simple as in a
algo tan simple como un
triangle, obtuse triangle, one does not
triángulo, un triángulo obtuso, uno no puede
know whether there are periodic orbits.
saber si existen o no órbitas periódicas
So this is a famous unsolved problem in
Así que este es un famoso problema no resuelto en
the subject of, what this is called is, dynamical systems.
un campo que es llamado
Well so again if the obtuse triangle is rational,
sistemas dinámicos. Bueno, entonces de nuevo, dado que el triángulo obtuso es racional, entonces existen
then there are periodic orbits.
órbitas periodicas, entonces estoy hablando acerca de
So I'm talking about obtuse triangles. I think I gave an example –
triángulos obtusos Creo que di un ejemplo
90 times square root of two – that particular one I would
90° x sqrt(2), ese triángulo en particular, no sería
not be able to tell you if it had a periodic orbit.
capaz de decirte si tiene o no órbitas
There are some…
periodicas. Hay
Some reason where people, by very, very hard
motivos, donde personas, a través de un trabajo
work, have shown where if this angle is less than a hundred degrees,
muy duro, han demostrado que si este ángulo es menor que 100°, entonces existe
then there are periodic orbits. But that was very,
una órbita periodica, pero ese fue un trabajo
very hard work and if it was a hundred and ten degrees;
realmente duro, pero también existe el de 110°,
again I'm assuming not rational;
de nuevo, esto asumiendo que no son
then we don't know the answer.
racionales entonces no conocemos la respuesta, si son
If it's rational we always know, if all the
racionales nosotros siempre conoceremos todos
angles, if this is a hundred and eleven,
los ángulos. Si este es 111°
and this is 36.
y este es 36°
What's left? 33 degrees there will be.
lo que queda es 33°, y habrá una órbita periodica, pero
But if one of the angles is an irrational
si uno de los ángulos es un número
number then we don't know.
irracional, entonces no sabemos.
[Brady:] So what, does greatness await if someone can crack that?
Así que, ¿cuál es la grandeza si alguien logra resolverlos?
[Professor Masur:] Well, it's… It's um…
Bueno, hay un, ummm, hay un
There is a very prominent, one of the most prominent
muy destacado, uno de los más detacados
mathematicians in the United States or
matemáticos en los Estados Unidos
in the world in the subject of
o en el mundo en el campo de
dynamical systems whose name is
los sistemas dinámicos cuyo nombre es
Professor Katok at Penn State has
Profesor Katok en Penn State y ha
listed this as one of the five
trabajado en los cinco
outstanding problems in dynamical systems. —But really there's nothing you
principales problemas en sistemas dinámicos. Pero, de verdad, no hay nada que tu
could do. You can try desperately to
puedas hacer, puedes tratar de resolverlo con desesperación,
solve it, but if it hasn't been solved
pero si no ha sido resuelto
for a hundred years, you probably aren't going to.
en 400 años, probablemente tú tampoco lo harás.
And you know it's only given to one
Y, ya sabes, es por así decirlo, la capacidad
person, so to speak, to solve a particular
de resolver estos problemas solo es
one of these problems. So we're used to
dada a una persona en particular, así que estamos
it and here's an atmosphere of resignation.
acostumbrados a esto y a la atmósfera de resignación, ya sabes...
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