Binomial Theorem (part 1)YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  393.7K views 1.1K likes 62 dislikes   12 May 2008
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
- Bu videoda, kombinasyonların bir uygulamasını öğreneceğiz.
Ora impareremo un'applicazione delle combinazioni che
Çok kolay kavrayamayabilirsiniz.
probabilmente a prima vista non troverai intuitiva.
Üzerinde düşündükçe, daha çok anlayacaksınız.
Ma piu' ci pensi, piu' ti sembrera' sensata
Umuyorum bu konu da, bundan öncekiler gibi, matematiğin
e si spera che ti fara' apprezzare, di nuovo,
güzelliğini takdir etmenizi sağlar.
la bellezza della matematica.
Bu konuyu öğrenince, "n'nin k'li kombinasyonları" tanımının
E saprai anche perche' --- quando dico le combinazioni di
bir diğer adının neden "binom katsayısı" olduğunu da öğreneceğiz.
n k --- perche' viene anche chiamato coefficiente binomiale.
Çünkü binom teoremini işleyeceğiz.
Perche' copriremo il teorema binomiale.
Binom teoremine geçmeden önce gelin,
Allora prima di darti il teorema binomiale,
bu konunun öneminin ne olduğuna değinelim.
capiamo il motivo per cui e' interessante.
Şunu sileyim.
Fammi cancellare.
Renkleri değiştir.
Inverti colori.
Yapacağımız çarpma işlemi... Ne desem?
Allora se dovessimo moltiplicare --- non lo so.
En iyisi, binomun farklı kuvvetlerini kullanalım.
Beh prendiamo giusto differenti potenze di un binomiale.
Binom, iki terimli bir polinomdur, değil mi?
Un binomiale e' solo un polinomiale con due termini, giusto?
"a artı b" üssü sıfır,
Quindi (a + b) --- beh, (a + b)^0,
1'e eşittir, değil mi?
e' uguale a 1, giusto?
Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti, 1'dir.
Qualsiasi cosa alla 0 e' uguale a 1.
"a artı b" üssü 1. Bu da "a artı b"ye eşittir.
(a + b)^1, beh, e' uguale ad (a + b).
"a artı b"nin karesi de... Bu konuda çok örnek çözmediyseniz,
(a + b)^2 , e' uguale --- e se non sei molto
bu ifadenin karesinin "a kare" artı "b kare"
pratico potresti essere tentato di dire
olduğunu söylersiniz.
a^2 + b^2.
Ama yeterince örnek çözdüyseniz hatanızı hemen düzeltip
Ma dovresti correggerti velocemente e darti uno schiaffo
elinize, başınıza ya da başka bir yerinize bir şaplak atarsınız.
sul polso o sul cervello o da qualche parte se l'hai fatto.
Çünkü bu eşittir; "a artı b" çarpı "a artı b"dir.
Perche' e' (a + b) * (a + b).
Burada dağılma özelliğini kullanabilirsiniz ya da
E poi potremmo usare la proprieta' distributiva, o,
"Cebir 1"de öğrendiyseniz "ilk terimler, son terimler, içtekiler, dıştakiler"
se l'hai imparato in questo modo in Algebra I, potresti
kuralını uygulayabilirsiniz.
usare la proprieta' FOIL.
Eşittir; "a" çarpı "a artı b"
E' uguale ad a * (a + b), giusto?
artı, "b" çarpı "a artı b".
+ b * (a + b).
Eşittir; "a kare" artı "ab" artı "ba" artı "b kare".
Che e' uguale ad a^2 + ab + ba + b^2.
Eşittir; "a kare" artı "2 ab" artı "b kare".
Che e' uguale ad a^2 + 2ab + b^2.
Sizin için bir hatırlatma olmuştur.
Dovrebbe essere un po' un ripasso per te.
İşler şimdi ilginçleşiyor.
E ora diventa un po' piu' interessante.
Bunu işaretleyeyim de unutmayalım.
Quanto fa --- fammelo cerchiare cosi' ce lo ricordiamo.
Bu, "a artı b"nin karesinin eşiti.
Questo e' (a + b)^2.
"a artı b"nin küpü neye eşittir? "a artı b"nin küpü.
Quanto fa (a + b)^3?
İşler karışmaya başladı.
E ora comincia a diventare complicato.
Eşittir; "a artı b" çarpı "a artı b" çarpı "a artı b".
Questo e' uguale ad (a + b) * (a + b) * (a + b).
Ya da bir diğer deyişle, "a artı b"nin karesi,
O un altro modo di vederlo, e' (a+b)^2
çarpı "a artı b"dir.
* (a + b), giusto?
Bunun üssü 3.
Questa e' una potenza di 3.
Bu işaretlediğim "a artı b"nin karesiydi.
Quindi questo era (a + b)^2.
Onu, "a artı b" ile çarparsak,
Quindi se lo moltiplichiamo per (a + b), otteniamo
"a artı b"nin küpünü elde ederiz.
(a + b)^3.
Yapalım.
Facciamolo.
Bu ifadeyi, "a artı b" ile çarpalım. "a artı b"...
Moltiplichiamo questo per (a + b).
İlk önce hepsini "b" ile çarpalım.
Quindi per primo moltiplichiamo tutto per b.
Sonra da... Başka bir renk seçeyim.
Quindi e' b --- fammelo fare in un altro colore.
"a kare b".
a^2b, giusto?
Bu, "a kare" çarpı "b"dir.
Questo e' a^2 * b.
Şimdi de, "2 ab" çarpı "b"yi yazalım.
Ora facciamo 2ab * b.
Artı; "2 a" "b kare".
Quindi piu' 2ab^2, giusto?
"2 ab" çarpı "b" demek.
2ab * b.
Artı; "b küp".
E poi piu' b^3.
"a" çarpı "a kare".
E poi abbiamo a * a.
Bu, "a küp"tür.
Beh e' a^3, giusto?
Hiç "a küp" olmadığı için, ayrı bir yere yazıyorum.
Nessuno di questi coincide con questo, quindi lo mettiamo in un'altra colonna.
"a" çarpı "2 ab".
a * 2ab.
Bu da, 2 "a kare" "b". 2 "a kare" "b".
Beh e' 2(a^2)b.
Bunları çarpınca çıkan sonuç bu: 2 "a kare" "b".
Lo metto qui: 2(a^2)b
Sonra; "a" çarpı "b kare".
E poi a * b^2.
Artı; "a" "b kare".
Beh e' + ab^2, giusto?
Şimdi hepsini toplayalım.
E ora sommiamo tutti questi termini.
Tek yaptığımız, dağılma özelliğini uygulamak oldu.
Usiamo solo di nuovo la proprieta' distributiva, giusto?
Tüm terimleri önce "a" ile çarptık, sonra
Abbiamo moltiplicato a per tutti questi termini e poi sommato
"b" ile çarpıp hepsini topladık.
a b per tutti questi termini.
Hepsini topladık. Sonraki soruda sırayla çarparız.
Se sommiamo il tutto --- provo a farlo in ordine
Neyse.
di --- vediamo.
İlk olarak "a küp"ü yazalım. "a küp".
Mettiamo per primo a^3.
Bunu daha önce yazmıştık.
E poi --- beh in realta' questa cosa ce l'avevamo gia'.
(2 "a kare" "b")yi buraya yazabilirdim.
Questo 2a^2b, l'avrei potuto scrivere qui.
2 "a kare" "b". Çünkü daha önceden "a kare" "b" vardı.
2a^2b, perche' avevo un a^2b qui percio'.
2 "a kare" "b"yi silip buraya yazdım.
Ho solo riscritto qui il 2a^2b.
Ne oldu? ("a küp") artı (2 "a kare" "b") artı ("a kare" "b").
Quindi abbiamo a^3 + 2a^2b + a^2b.
Bu da, 3 "a kare" "b" eder.
Fa 3a^2b.
("2 a" "b kare") artı ("a" "b kare").
E poi 2ab^2 + ab^2.
Bu da, "3 a" "b kare" eder.
E' 2ab^2.
Artı; "b küp".
E poi piu' b^3.
Gördüğünüz gibi, çok zahmetli bir iş.
E come puoi vedere, ci e' voluto un sacco solo per elevare qualcosa
Üstelik yalnızca 3. kuvvetini aldık.
alla terza potenza.
Yeterli zamanımız varsa, şunu da bulabiliriz:
Percio' potremmo --- se avessimo tempo, potremmo capire
"a artı b"nin 4. kuvvetini ya da "a artı b"nin
quant'e' (a + b)^4 o quant'e'
10. kuvvetini.
(a + b)^10.
Ama tahmin edebileceğiniz gibi 10. kuvveti bulmak 1 gün sürer.
Ma come puoi immaginare, ti ci vorrebbe tutto il giorno.
İşte bu yüzden, bir binomun herhangi bir kuvvetini
Quindi non sarebbe carino se ci fosse un modo semplice di calcolare
hesaplamanın kolay bir yolu olsaydı, iyi olmaz mıydı?
quant'e' un binomio elevato ad una potenza arbitraria?
İşte binom teoremi de burada devreye giriyor.
Ed e' qui che entra in gioco il teorema binomiale.
Bu videoda size binom teoremini
E in questo video ti mostrero' cos'e'
göstereceğim.
il teorema binomiale.
Teoremi nasıl uygulayacağınızı
Ti mostrero' come applicarlo.
ve size bir dâhi gözüyle bakmalarını sağlayacak
Ti mostrero' un trucco o una tecnica che ti fara'
bir numara göstereceğim.
sembrare un genio.
Sonraki videoda da, binom teoreminin
E poi nel prossimo video spero di darti
kombinasyonlarla olan ilişkisini
una qualche intuizione del perche' il teorema binomiale
öğretmeyi umuyorum.
coinvolge le combinazioni.
Binom katsayısıyla olan ilişkisini öğreteceğim.
Perche' coinvolge il coefficiente binomiale.
Peki, binom teoremi nedir?
Allora, cos'e' il teorema binomiale?
Önce hepsini sileyim.
Fammi cancellare tutto.
Binom teoreminin, bu tek tek yazarak çözdüklerimiz için
E puoi confermare che il teorema binomiale funziona per
doğru sonuç vereceğini görebilirsiniz.
quelli che abbiamo calcolato, fino ad (a + b)^3.
Tabii kendinize eziyet çektirmek istiyorsanız "a artı b"nin
Potresti calcolarti (a + b)^4 se
4. kuvvetini de böyle yazarak bulabilirsiniz.
ti va di punirti.
Neyse.
Vediamo.
Hepsini sil.
Pulisci immagine.
Rengi değiştir.
Inverti colori.
Binom teoremi der ki: "a artı b"nin ne'inci kuvveti
Allora il teorema binomiale ci dice che (a + b)^9
eşittir... İlk başta biraz karmaşık gelecek
potenza e' uguale a --- e lo soi che ti sembrera' complicato
ama birkaç örnek çözdükten sonra
all'inizio, ma faremo un paio di esempi e vedrai
korkulacak bir şey olmadığını göreceksiniz.
che non e' cosi' spaventoso.
Eşittir; toplam, "k eşittir sıfır"dan "n"ye kadar.
E' uguale alla sommatoria per k che va da 0 a n, giusto?
Bu iki "n", aynı "n".
Questa n e' come questa n.
Terimler, "n'nin k'li kombinasyonu".
Di --- ciascun termine e' n su k, giusto?
k'yi sıfırdan başlayarak n'ye kadar artırıyoruz.
Continueremo ad incrementare k da 0 a
iks üssü "n eksi k", çarpı, "y üssü k".
n --- di x^(n - k) * y^k.
Karmaşık göründüğünü biliyorum ama birkaç
Lo so che sembra complicato ma se facciamo un paio di
güzel örnek çözersek, büyük bölümünü
esempi concreti penso che dovrebbe assumere
anlayacağınızdan eminim.
ragionevole senso.
Affedersiniz.
Quindi dato --- oh, scusa.
Bunlar... Bunlar... Aklım başka yerdeydi galiba.
Questo e' --- questo non e' --- stavo copiando.
Bu "a", bu da "b" olacak.
Questo dovrebbe essere a^(n - k) e questo dovrebbe essere b.
Daha önce "iks artı y"nin
Quello che avevo scritto prima, quello sarebbe
ne'inci kuvvetini yazdım demek ki.
(x + y)^n.
"a artı b"nin ne'inci kuvveti için; "n'nin k'li kombinasyonları",
Se abbiamo (a + b)^n, n su k di ogni termine.
"a üssü" "n eksi k", çarpı "b üssü k".
a^(n - k) * b^k.
Şimdi bunu birkaç örnekte uygulayalım.
Percio' applichiamolo, un paio di esempi concreti.
Değişkenlerin adlarını da değiştiririz.
Potremmo anche scambiare i nomi delle variabili se volessimo
İlla "a" ile "b" olmak zorunda değiller.
dimostrare che non devono essere a e b.
Her şey olabilirler.
Possono essere qualsiasi cosa.
"a artı b"nin... Diğer yolla çözersek
Quindi quanto fa a + b --- facciamone uno che altrimenti
çok zor olacak birini bulalım. "a artı b"nin 4. kuvveti.
avremmo trovato piuttosto difficile --- (a + b)^4.
Binom teoremi bize şunu söylüyor:
Beh, il teoremo binomiale ci dice che, vediamo,
İlk terimi yazmak istersek... Öncelikle n'yi belirleyelim.
il primo termine sara' --- beh, quant'e' n, in primo
Bu soruda "n", 4'tür.
luogo? n in questo caso e' 4.
En iyisi, tüm sayıları yerine yazayım.
E' uguale --- in realta' fammi riempire tutti i numeri.
"k eşittir sıfır"dan 4'e. 4'ün k'li kombinasyonları.
Per k che va da 0 a 4 di 4 su k, giusto?
Burada k'yi artırıyoruz.
Perche' e' che stiamo incrementando.
"a üssü" "4 eksi k".
a^(4 - k).
"b üssü k".
b^k, giusto?
n'nin değerini, binom teoreminde
Ho solo sostituito la n nella definizione
yerine yazdım.
del teorema binomiale.
Peki, bu neye eşittir?
E a quant'e' uguale?
İlk terim, "k eşittir sıfır" için.
Beh il primo termine e' k = 0.
4'ün sıfırlı kombinasyonları.
Quindi e' 4 su 0.
Yani, 4 şey içinden sıfır şey seçeceğim.
Quindi su 4 cose, scelgo lo 0.
Bir sonraki videoda bu konuyu anlatacağım.
E nel prossimo video ti faccio vedere perche' funziona.
"a üssü" "4 eksi k".
Di a^(4 - k).
İlk terimde "k", sıfıra eşit.
Beh il primo termine k e' 0.
Yani, "a üssü 4". "b üssü sıfır" olur, değil mi?
Quindi e' a^4, b^0, giusto?
O da 1'e eşittir. Yazmasak da olur.
Quindi la b. e' 1, quindi la possiamo ignorare.
Sonraki terim nedir?
Percio' quant'e' il prossimo termine?
4'ün 1'li kombinasyonları.
Beh, sara' 4 su 1.
"k" burada 1'e eşit.
E adesso k e' 1.
"4 eksi 1", 3'e eşittir.
Quindi 4 - 1 fa 3.
"a küp".
a^3.
"k", 1'e eşit.
E adesso k e' 1.
Bu, sıfırıncı terimdi.
Stiamo nel --- questo e' il termine alla zero.
Bu, birinci terim.
Questo e' il primo termine.
Yani, b'nin 1. kuvveti olacak. Gördüğünüz gibi, ilerledikçe,
Quindi b alla prima piu' --- quindi come vedi, ogni termine su cui andiamo,
"a"nın yani ilk terimin üssü azalıyor.
il termine a, il primo termine, qualsiasi esso sia, si decrementa.
Üssü "n"den, yani 4'ten başlıyor
Comincia dalla potenza di n, o nella quarta potenza.
ve her bir terimde 1 azalıyor.
E poi ogni termine scende a 1.
İkinci terim, yani "b",
E il secondo termine, il termine b, comincia
sıfırıncı kuvvetten başlıyor,
dalla potenza di zero.
yani 1'den başlıyor.
Quindi comincia da 1.
1 olduğu için yazmadık.
E' per questo che qui non lo vedi.
Sonra her bir terimde artıyor.
E poi ogni termine si incrementa.
Genel kuralı anlamışsınızdır.
Quindi il prossmino --- quindi penso che tu veda lo schema.
4'ün 2'li kombinasyonları; ("a kare" "b kare") artı,
Sara' 4 su 2, a^2 b^2 + 4 su
"4'ün 3'lü kombinasyonları"; ("a" "b küp") artı "4'ün 4'lü kombinasyonları".
3ab^3 + 4 su 4.
Burada "a üssü sıfır" var. O da 1'dir.
Ora abbiamo a^0, quindi e' semplicemente
"b üssü 4".
1, b^4.
Bu binom katsayılarını bulduğumuzda,
Quindi abbiamo fatto se capiamo quanto sono questi
soruyu çözmüş oluruz.
coefficienti binomiali.
Zaten binom teoreminden geldikleri için
Ed e' da qui che provengono, dal
onlara binom katsayısı diyoruz.
teorema binomiale.
Nasıl bulacağınızı hatırlıyorsunuz, değil mi?
Ma ci ricordiamo come si calcola, giusto?
Umarım konunun özünü anlamışsınızdır.
In generale --- e si spera che tu abbia capito.
Ezberlemekle kalmayın.
Non lo dovresti solo imparare a memoria.
n'nin k'li kombinasyonları neye eşittir?
Le combinazioni di n su k dal calcolo combinatorio e' uguale a
n faktöriyel, bölü, k faktöriyel çarpı "n eksi k" faktöriyel. "n eksi k" faktöriyel.
n fattoriale fratto k fattoriale diviso n - k fattoriale.
İlk terimde, 4'ün sıfırlı kombinasyonları nedir?
Quindi in questo caso quant'e' 4 su 0?
Eşittir... Çok zaman alan bir şey olduğunun farkındayım.
E' uguale a --- lo so che sembra che ci stiamo mettendo un sacco di tempo.
Aslında tek tek çarpmaktan çok daha az
Sebbene in realta' ci si metta meno tempo che a
zaman alır.
moltiplicare il tutto.
Birazdan sizi çok şaşırtacak bir kısa yol göstereceğim.
Ma tra un secondo ti mostro un trucco che ti stupira'.
Eşittir; 4 faktöriyel, bölü, sıfır faktöriyel çarpı 4 faktöriyel.
Quindi e' uguale a 4! / 0! per
"4 eksi sıfır", 4'e eşittir. "a üssü 4", artı,
4!, giusto, 4 - 0 fa 4 --- a^4 piu'
4 faktöriyel, bölü, 1 faktöriyel çarpı 3 faktöriyel.
4! / 1! * 3!, giusto?
"4 eksi 1", 3'e eşittir.
4 - 1 fa 3 fattoriale.
("a küp" "b"), artı... Can sıkıcı bir hâl aldığını biliyorum
a^3 b + --- lo so che sto diventando un po'
ama bir soruyu bu şekilde baştan sona çözmemiz
tedioso, ma penso che sia bene fare un problema
çok önemli. Artı; 4'ün 2'li kombinasyonları.
per intero --- piu' 4 su 2.
O da; 4 faktöriyel, bölü, 2 faktöriyel çarpı
E' 4! / 2! *
2 faktöriyel.
2!, giusto?
"4 eksi 2", 2'dir.
4 - 2 fa 2.
("a kare" "b kare"). Artı; 4'ün 3'lü kombinasyonları.
a^2 b^2 + 4 su 3.
Bu da; 4 faktöriyel, bölü, 3 faktöriyel.
E' 4 fattoriale fratto 3 fattoriale.
"4 eksi 3", eşittir, 1 faktöriyel. 1 faktöriyel.
4 - 3 fa 1 fattoriale.
"a" "b küp".
ab^3.
Artı; 4'ün 4'lü kombinasyonları.
E poi le combinazioni di 4 su 4.
Artı; 4 faktöriyel, bölü, 4 faktöriyel çarpı
E' piu' 4 fattoriale fratto 4 fattoriale per 0
sıfır faktöriyel çarpı "b üssü 4".
fattoriale b alla quarta.
Dikkat ederseniz, bu katsayı ile bu katsayı aynı.
E nota: questo coefficiente e' lo stesso di questo coefficiente.
Ayrıca, bu katsayı ile bu katsayı da aynı.
Questo coefficiente e' lo stesso di questo coefficiente e
Bir de ortadaki katsayı var.
questo e' quello nel mezzo.
Şimdi hepsini bulalım.
Quindi calcoliamoli.
Renk değiştireyim.
E cambio colori.
Sıfır faktöriyel, bilmeyenler için söyleyeyim,
Quindi 0 fattoriale, in caso tu non lo sappia, e'
1'e eşittir.
definito come 1.
Bunu tahmin etmek pek kolay değildir çünkü
Che e' un po' poco intuitivo perche'
1 faktöriyel de 1'e eşittir.
anche 1 fattoriale fa 1.
Bunları bilmeniz gerekiyor.
Ma e' una cosa che dovresti sapere.
4 faktöriyel, bölü, sıfır faktöriyel çarpı 4 faktöriyel;
Quindi 4 fattoriale diviso 0 fattoriale per 4 fattoriale.
1'e eşittir.
Questo fa proprio 1.
Yani, ilk terim yalnızca "a üssü 4"tür. Artı; 4 faktöriyel,
Quindi il primo termine e' semplicemente a^4 piu' 4 fattoriale ---
yani, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1; bölü, 3 çarpı 2 çarpı 1.
e' 4 * 3 * 2 * 1 --- diviso 3 * 2 * 1.
Bu da, 4'e eşittir.
Quindi e' uguale a 4.
4 çarpı "a küp" çarpı "b". Artı; 4 faktöriyel...
4a^3 b + 4 fattoriale.
Yani, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1.
E' 4 * 3 * 2 * 1.
Çarparsak 24 eder.
Quindi fa 24, giusto?
Bölü... 2 faktöriyel kaçtır?
Fratto --- quanto fa 2 fattoriale?
2'dir.
Fa semplicemente 2.
"2 çarpı 2", 4 eder.
Quindi 2 * 2 fa 4.
"24 bölü 4" de 6 eder.
Quindi 24 diviso 4 fa 6.
6 çarpı "a kare" çarpı "b kare". Artı... Bu terim ile
Quindi 6a^2 b^2 + beh 4 --- questo termine e'
bu terim aynıdır, değil mi?
lo stesso di questo termine, giusto?
Yalnızca, 1 faktöriyel ile 3 faktöriyelin
Con solo l'1 fattoriale e il 3 fattoriale
yerleri değişmiş.
scambiati.
Bunun neden böyle olduğunu
E potresti volerci pensare per un paio di
düşünürseniz,
secondi sul perche' e' cosi'.
zihninizde bir şeyler yerine oturabilir.
Dovrebbe avere un senso per te.
O hâlde, bu ne olacak? 4 çarpı "a" çarpı "b küp".
Ma wuesto e' --- quindi sara' 4ab^3.
Aslında çok mantıklı, değil mi?
Ed ha senso, giusto?
Düşünsenize, burası "b artı a" olabilirdi.
Perche' questo sarebbe potuto essere semplicemente b + a.
"a artı b" ile "b artı a" aynı şeydir. Burada bir simetri olması
a + b e b + a sono la stessa cosa quindi ha senso
aslında çok mantıklı.
che ci sia una simmetria, giusto?
Görüyorsunuz; (4 "a" "b küp") var; bir de (4 "a küp" "b") var.
Che abbiamo 4ab^3 e abbiamo anche 4a^3 b.
Bu anlattığım aklınızı karıştırdıysa, boş verin.
Ignorami se ti confonde.
Ama aydınlatıcı bulduysanız, o zaman iyi.
Se lo trovi illuminante, meglio.
Son terime geldik.
E poi l'ultimo termine.
4 faktöriyel...
4 fattoriale.
Bu terim ile bu terim birbirinin aynıdır.
Questo termine e' la stessa cosa di questo termine.
1'e eşit olduğunu bulmuştuk.
E abbiamo gia' calcolato che e' uguale a 1.
O hâlde; artı, "b üssü 4".
Quindi b^4.
Görüyorsunuz, bir simetri var.
Quindi ho un po' di simmetria.
Katsayılar 1, 4, 6, 4 ve 1.
I coefficienti sono 1, 4, 6, 4, 1.
İlerideki videolardan birinde, bunların,
E in un video futuro ti mostro che questi in realta'
Paskal Üçgeni'nin terimleri olduğunu göstereceğim.
sono i termini di un Triangolo di Pascal, che e' un'altra strada
Tabii o, matematiğin bambaşka bir sokağı.
da percorrere in matematica.
Bu gördüğünüz, binom teoreminin
Ma ad ogni modo, questa era un'applicazione del
bir uygulamasıydı.
teorema binomiale.
12 dakikayı geçtiğimizi fark ettim.
E ho realizzato che ci ho impiegato 12 minuti.
Sonraki videoda başka örnekler çözeceğim.
Quindi ti faccio altri esempi nel prossimo video.
Görüşmek üzere. -
Ci vediamo presto.
Similar videos:

Binomial Theorem (part 2)
Khan Academy
184.8K views 635 likes 13 dislikes 12 May 200844% match

Binomial theorem | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 9.4K likes 395 dislikes 26 Mar 201441% match

Old separable differential equations introduction | Khan Academy
Khan Academy
834.9K views 2.6K likes 62 dislikes 28 Aug 200840% match



How to use the quadratic formula | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.7M views 8.3K likes 333 dislikes 12 Apr 201040% match



Limit examples w/ brain malfunction on first prob (part 4) | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
675.4K views 2.4K likes 80 dislikes 10 Jun 200839% match


Polynomial division | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.6M views 6.1K likes 243 dislikes 20 Apr 201037% match

Binomial theorem combinatorics connection | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
169.8K views 659 likes 15 dislikes 12 May 200837% match

Multiplying binomials and polynomials | Algebra Basics | Khan Academy
Khan Academy
618K views 3.4K likes 151 dislikes 09 Apr 201036% match


Polynomial approximation of functions (part 1)
Khan Academy
279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 200836% match


Exponent properties involving products | Numbers and operations | 8th grade | Khan Academy
Khan Academy
683K views 798 likes 74 dislikes 08 Apr 201036% match


Partial fraction expansion 2 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
538K views 1.3K likes 26 dislikes 09 Jul 200935% match


Conic Sections: Intro to Circles
Khan Academy
430.6K views 1.9K likes 79 dislikes 15 Jun 200935% match


Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200935% match


Introduction to special products of binomials | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
388.9K views 1.2K likes 79 dislikes 09 Apr 201035% match



The derivative of f(x)=x^2 for any x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
721K views 1.6K likes 39 dislikes 02 Nov 200935% match


Idea behind inverting a 2x2 matrix | Matrices | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 4.2K likes 136 dislikes 08 Jun 200835% match



Conic sections: Intro to hyperbolas | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
565.7K views 1.6K likes 123 dislikes 16 Jun 200935% match


Zero, negative, and fractional exponents | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
665.3K views 2.4K likes 113 dislikes 08 Apr 201035% match



Algebra II: Simplifying Polynomials
Khan Academy
175.3K views 256 likes 36 dislikes 21 Dec 200835% match

Taylor Polynomials
Khan Academy
592.8K views 3.2K likes 118 dislikes 18 Jun 200834% match

Divergence 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
341.2K views 965 likes 37 dislikes 11 Aug 200834% match


Poisson process 2 | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
433.2K views 1.3K likes 64 dislikes 01 Mar 200934% match


Conic sections: Intro to ellipse | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
750.9K views 2.7K likes 92 dislikes 15 Jun 200934% match



Foci of an ellipse | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
561.6K views 1.9K likes 93 dislikes 06 Jul 200934% match


Expected value of binomial distribution | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
543K views 1.4K likes 77 dislikes 26 Feb 200934% match


Statistics: Alternate variance formulas | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
522.4K views 1.5K likes 74 dislikes 25 Jan 200934% match

Binomial Distribution 3
Khan Academy
381.4K views 853 likes 34 dislikes 23 Feb 200934% match

Another example graphing with derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
225.2K views 452 likes 18 dislikes 22 Jan 201034% match


Scientific notation examples | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
444.6K views 524 likes 32 dislikes 02 Nov 200933% match



Laplace transform to solve an equation | Laplace transform | Differential Equations | Khan Academy
Khan Academy
662.4K views 1.9K likes 57 dislikes 05 Sep 200833% match


Settings Privacy About Contact Donate