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Howto & Style 19.1K views 95 likes 1 dislikes 25 May 2016

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so I've said that if you have a vector

만약 구성 함수 P와 Q를 가지는

field a two-dimensional vector field

벡터장이 있으면

with components P and Q that the

2차원적인 벡터장이 있으면

divergence of this guy the divergence of

스칼라값 함수 x와 y로 이루어진

V which is a scalar valued function of x and Y is by definition the partial derivative of P with respect to X plus the partial derivative of Q with respect

v의 발산은 정의에 의해 x에 대한 P의 편도함수 더하기 y에 대한 Q의 편도함수라고

to Y and there's actually another

제가 전에 말했습니다

notation for divergence that's kind of

사실 이 공식을 외우는 데 도움이 되는

helpful for remembering the formula and

또다른 발산 표현법이 있습니다

what it is is you take this nabla symbol

이게 무엇이냐면

that upside-down triangle that we also

구배를 표현할 때 쓰는 나블라 문자 즉 뒤집어진 삼각형이랑

use for the gradient and imagine taking the dot product between that and your

벡터값 함수를 내적하는

vector valued function and as we did

방법입니다

with the gradient the the loose mnemonic

구배로 진행했듯이

you have for this upside-down triangle

이 뒤집어진 삼각형에 대한 약한 기억을 되살려 보면

as you think of it as a vector full of

편미분 연산자가 가득한

partial differential operators and that

벡터로 생각합니다

that sounds fancy but all it means is

뭔가 엄청나 보이지만

you Tenga have take this partial partial

미소 x 분의 미소를 가지고 하는 겁니다

X a thing that wants to take in a

함수를 가지고

function and take its partial derivative

그것의 편도함수를 만드는 것이죠

and that's its first component and the

이게 첫번째 성분입니다

second component is this partial partial

두번째 성분은 이 미소 y 분의 미소를 말합니다

Y a thing that wants to take in a

함수를 가지고

function and take its partial derivative with respect to Y and you know loosely

y에 대한 편도함수를 취하는 것이죠

this isn't really a vector these aren't

하지만 이게 진짜 벡터가 아니라는 것을 어렴풋이 알고 있습니다

these aren't numbers or functions or

이것들은 숫자나 함수 그런 것이 아니지만

things like that but it's it's something

뭔가 써내려 가면

you can write down and it'll be kind of

기호적으로 도움이 되는 겁니다

helpful symbolically and you imagine taking the dot product with that and you

여기에다가 내적을 하면

know V who has components these scalar

v랑 내적을 합니다

valued functions P of X Y and Q of XY and when you imagine doing this dot

x, y에 대한 P와 Q, 이 스칼라값 함수들을 성분으로 가지는 v와 말입니다

product and you're kind of lining up

내적하는 것을 상상할 때

terms and the first one x the second

아마 이것들을 줄세워서 할 겁니다 첫째 곱하기 둘째 이렇게요

right quote-unquote multiplied because

이 경우에서는 말입니다

in this case when I say this first

이 첫 성분 곱하기 p라고 할 때는

component multiplied by P I really mean you're taking that partial derivative

사실 이 편미분 연산자를 가지고

operator partial partial X and evaluating it at P that's kind of what

이를 p에 대해 취해주는 것입니다

multiplication looks like in this case

이게 이 경우에서의 곱셈이 되는 것이죠

so you take that and as per the dot product you then add what happens if you

그럼 이건 이렇게 되고 내적을 진행해 보면

take this partial operator this partial

이 미분 연산자를 가지고

partial Y and quote-unquote multiply it

이 미소y 분의 미소를

with Q which in the case of an operator

q와 곱해 봅시다

means you kind of give it the function Q

이런 연산자의 경우에서는 연산자에다가 함수 q를 붙여서

and it's going to take its partial

편미분을 하는 것을 의미합니다

derivative so we see we get the same

여기 똑같은 게 이쪽에 있네요

thing over here it's the same formula

우리가 구한 공식과 동일합니다

that we have and it's just kind of a

이건 약간 발산이 무엇인지

nice little you could think of it as a

기억하기 위한 장치라는 면에서

mnemonic device for for remembering what

꽤 괜찮습니다

the divergence is but another nice thing this this can apply to Malta to higher

또 괜찮은 점이 있는데 바로

dimensional functions as well

고차 함수에도 적용할 수 있다는 것입니다

right if we have something that's let's see something that's a vector-valued

만약 어떤 벡터값 함수가

function and it's going to be a

여기 있다면

three-dimensional vector field so it's

참고로 3차원 벡터장입니다

got XY and z is its inputs and its

그럼 x,y,z를 입력받겠죠

output then also has to have three

그리고 출력도 3차원이어야 하니

dimensions so it might be like p q and r

P, Q, R 이런 식으로 될 겁니다

and all of these are functions of x and

이 모든 것은 x와 y에 대한 함수입니다

y so that's p of x and y you know no x

그럼 x와 y에 대한 P, Q인데.. 아 잠시만요 x, y, z이죠?

y&z right so P of XY kind of got in the

2차원 즉 x와 y에 대해서만 하는게 습관이 되었네요

habit of two dimensions there P of XY and Z Q of XY and Z and then R of XY and

그럼 x,y,z에 대한 P, 동일하게 Q와 Z가 이렇게 되겠죠

Z and I haven't talked about three-dimensional divergence but if you

사실 아직 3차원 발산에 대해서 이야기하진 않았습니다

take this and then you imagine doing

하지만 이걸

your nabla dotted with the vector valued

나블라와 벡터값 함수를 내적하는 것으로 생각하면

function it can still make sense and in

충분히 이해가 될 겁니다

this case that nabla you're thinking of

이 경우에서는 나블라가

as having three different components

3개의 서로 다른 성분을 가지는 것으로 생각해야 겠죠

right it's going to be on the one hand this partial partial X I should say

한쪽에는 미소 x 분의 미소

partial X there partial X and the second

여기 미소 x가 와야 합니다

component is partial partial Y and the

두번째 성분은 미소y 분의 미소입니다

last component is partial partial Z and

마지막 성분은 미소z 분의 미소입니다

the ordering of these of the variables

이 변수들의 순서는 그냥

here XY and z is just whatever I have

있는 대로 쓴 것입니다

here so even if they didn't have the

x, y, z라는 이름을 가지고 있지 않더라도

names X Y Z you kind of put them in the

함수에서 표현되는 순서와 동일하게

same order that they show up in your

쓰도록 합니다

function and when you imagine taking the dot product between this and your PE as

이것과 P 함수

a function Q as a function and R as a

Q 함수 그리고 R 함수와

function vector valued vector valued

내적을 한다고 상상하면

output what you'd get and I'll write it over here is um you take that partial

무엇이 얻어질 지 아래에 써보겠습니다

partial X and kind of multiply it with P

미소 x 분의 미소를 P와 곱합니다

which means you're really evaluating at

사실 P에 대해 적용하는 것을 의미하지만요

P partial X here then you add partial partial Y and you're evaluating at Q

여기 미소 x가 해결됬습니다 그럼 이제 미소 y 분의 미소를 더해 보죠

because you're kind of imagining

물론 Q에 취해주는 것이지만

multiplying these second components and

곱한다고 상상하는 것이죠

then you'll add what happens when you

그리고 이제

multiply the way these third components

세번째 성분들을 서로 곱한 걸 더해야 합니다

or that's partial partial Z by that last

또는 미소 z 분의 미소 곱하기 마지막 성분입니다

component and you know I haven't talked

제가 3차원 발산이 있는

about three-dimensional vector fields or

3차원 벡터장에 대해서는

three-dimensional divergence this last

아직 이야기를 하지 않았기 때문에

term maybe it's not a given that you'd

이게 발산 꼴로 나타나는 것에 대해

have as strong an intuition for why this shows up in divergence as the other two

전의 둘에 비해서 직관적으로 이해되지 않울 수 있습니다

but it's actually quite similar you're

하지만 사실 꽤 비슷합니다

thinking about changes to the Z

벡터의 z 성분에 대해 생각하는겁니다

component of a vector as the value Z of

입력 부분의 z값을 말합니다

the input as you kind of moving up

위아래로 움직이고

down in that direction changes but this

그 방향이 바뀌는 것 처럼입니다

pattern will go for even higher

이 패턴은 우리가 시각화하지 못하는

dimensions that we can't visualize four or five 100 whatever you want and that's

다차원, 즉 4, 5, 100차원 등에서도 성립합니다

that's what makes this notation here

이게 이 표현이 쓸모 있는 이유입니다

quite nice is that it encapsulate that

and gives a really compact way of

간단한 패턴이 있다는 것을

describing this formula that it has a

굉장히 압축적으로

simple pattern to it but what otherwise

설명해 줍니다

kind of get out of hand - right see you

다른 방법이었으면 꽤 쓰기 어려웠을 겁니다

다음 영상에서 뵙도록 하겠습니다

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