Lecture 55 Introduction to Wireless & Cellular Communications English Bangla

Lecture 55YouTube↗ IA↗(long shot)
People & Blogs 1.6K views 6 likes 0 dislikes 05 Oct 2017

Introduction to Wireless & Cellular Communications 4.8K subscribers N/A YouTube↗

শুভ সকাল এবং 55 নম্বর বক্তৃতাতে স্বাগতম,

Good morning and welcome to lecture 55, todays lecture we will be covering a detailed discussion

আজকের বক্তৃতা তে আমরা বিস্তারিত আলোচনায়

on MIMO capacity. A part of this was begin in the previous lecture and todays goal would

আছি MIMO র ক্ষমতা। এর একটি অংশ পূর্ববর্তী বক্তৃতায় শুরু হয়েছিল এবং আজকের এই আলোচনাটি

be to complete that discussion and also to provide a brief introduction to the use of

সম্পন্ন করার লক্ষ্যে কোডিং ব্যবহার এবং একাধিক ট্রান্সমিট সহ একাধিক রিসিভ

coding along with the multiple transmit and receive antennas.

অ্যান্টেনাগুলি গ্রহণ করার জন্য সংক্ষিপ্ত পরিচিতি প্রদান করা হবে।

So, let us the framework is the MIMO framework that we have been looking at the past few

সুতরাং, আমাদের কাঠামোটি হল MIMO কাঠামো যা আমরা গত কয়েকটি বক্তৃতাগুলিতে দেখছি, আমাদের এনটি

lectures we have a set of Nt transmit antennas, follow at the receiver we have Nr receiver

ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাগুলির একটি সেট আছে, আমরা যে রিসিভারে NR রিসিভার অ্যান্টেনা পেয়েছি তার অনুসরণ করি এবং আমাদের প্রচুর পরিমাণে

antennas and we have rich Rayleigh scattering environment and this gives us a MIMO framework

রেলেই(Rayleigh) বিভাজন পরিবেশ রয়েছে এবং এটি আমাদেরকে নিম্নলিখিত সমীকরণের দ্বারা প্রদত্ত MIMO ফ্রেমওয়ার্ক যেখানে আপনি ভেক্টরটি

which is given by the following equation, where you have the receive vector is equal to H times x plus noise and the different dimensions Nt cross 1 Nr sorry n this is Nr cross 1, Nr receive vector Nr across Nt x is got a Nt cross 1 Nt transmit antennas and

পেয়েছেন তা হ'ল এইচ টাইমস এক্স প্লাস গোলমাল(Noise) এবং বিভিন্ন মাত্রার সমান এনটি ক্রস 1 Nr দুঃখিত n এটি N ক্রস 1, Nr ভেক্টর (Vector) Nr জুড়ে Nt x পেয়েছে। এনটি ক্রস 1 এনটি ট্রান্সমিট

অ্যান্টেনা এবং শব্দের ভেক্টর 1 প্রতি আন্টিনা পাবেন যা আবার এনr ক্রস 1 হবে। এই কাঠামোটি দেওয়া হয়েছে আমরা এখন

the noise vector is 1 per receive antenna which will be again Nr cross 1.

প্রেক্ষাপটে ক্ষমতার ক্ষেত্রে তাকানোর

Given this framework we are now trying to look at the case of capacity in the context

চেষ্টা করছি একটি সিস্টেম, যেখানে ট্রান্সমিটারটি রিসিভারের জ্ঞান রাখে না কারণ ট্রান্সমিটারটির চ্যানেল সম্পর্কে

of a system, where the transmitter does not have knowledge of the receiver because in

জ্ঞান থাকলে, তবে আমরা চ্যানেলের একবচন মান বিচ্ছিন্নকরণ(singular value decomposition) করতে পারি

the case were the transmitter has knowledge about channel, then we can do the singular

যা পরে এইগেন বিচ্ছেদ(Eigen decomposition) সৃষ্টি করে

value decomposition of the channel which then creates the Eigen decomposition and then the

এবং তারপরে সমান্তরাল চ্যানেলটি তৈরি করে। ট্রান্সমিটারে প্রিকোডিং ব্যবহার করে এবং

parallel channel transmissions that we can do by using precoding at the transmitter and

রিসিভারের পোস্ট প্রক্রিয়াকরণের পরে আমরা উত্তর দিতে পারি।

then followed by the post processing at the receiver.

এখন, যখন ট্রান্সমিটারে চ্যানেলের কোনও জ্ঞান

Now, in the case when there is no knowledge of the channel at the transmitter, we are

নেই, তখন আমরা এগারোডিক ক্ষমতার(ergodic capacity) রূপে

looking at it more in the form of the ergodic capacity. For that we would like to look at

আরো এটি দেখছি। এর জন্য আমরা এনট্রোপির সংজ্ঞাটি দেখতে চাই এবং এনট্রপি সংজ্ঞায়িত

the definition of entropy and the entropy is defined in or the mutual information is

করা হয় বা পারস্পরিক তথ্যটি Y প্রদত্ত x এর Y বিয়োগ H এর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

defined in terms of H of y minus H of y given x. So, that is the form that we are going

সুতরাং, সেই ফর্মটি আমরা যা দিয়ে কাজ করতে যাচ্ছি, এবং আমরা সেই ঠিকানার

to be working with, and we would like to derive the results based on based on that ok.

উপর ভিত্তি করে ফলাফলগুলি অর্জন করতে চাই। সুতরাং, এখন আমরা গত বক্তৃতায় ২ টি

So, now we did 2 cases in the last lecture, I just like to refresh your memory and using

মামলা করেছি, আমি আপনার মেমরি রিফ্রেশ করতে চাই এবং এটি ব্যবহার করে আমরা আজকের বক্তৃতাটি তৈরি করব। প্রথম

that we will build on today’s lecture. The first of the first of the results was for

ফলাফলের মধ্যে প্রথমটি পিডিএফ(pdf) ব্যবহার করে একটি স্কেলার(scalar) কমপ্লেক্স গাউসিয়ানের(Gaussian)

the case of a scalar complex Gaussian using the pdf and using the expre the understanding

ক্ষেত্রে এবং এনট্রপিটির এক্সপ্রেশনটি পিডিএফের লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মান অনুসারে বোঝার

that the expression for the entropy is given by minus expected value of logarithm base

জন্য এক্সপ্রেস ব্যবহার করে। গাউসিয়ানের(Gaussian) স্কেলার কমপ্লেক্সের জন্য এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে আমরা লগারিদম বেস 2 পিআই

2 of the pdf. Using that expression for a scalar complex Gaussian we got the expression

ই সিগমা স্কয়ারে রূপান্তরিত হয়েছি, সিগমা স্কয়ার্ড গাউসিয়ান র্যান্ডম

to be logarithm base 2 pi e sigma squared, sigma squared is the variance of the Gaussian

ভেরিয়েবলের ভেরিয়েন্স হয় এবং স্কেলার থেকে ভেক্টর ক্ষেত্রে চলে যাওয়ার পরে ভেক্টর সংস্থার এনট্রপি দেওয়া হয় লগারিদম

random variable then moving on from the scalar to the vector case the entropy of the vector

বেস 2 পিআই ই বার আর পি ডিটার্মিন্যান্ট(determinant) পি ই বার R. সুতরাং, ফ্রেমওয়ার্কের

resource is given by logarithm base 2 pi e times R determinant of pi e times R.

সাথে আমরা এখন আমাদের আলোচনা চালিয়ে যেতে চাই এবং এতে তৈরি(build) করতে চাই। সুতরাং,

So, with this as the framework we would now like to continue our discussion and build

এই ফর্মটি নিম্নোক্ত উপায়েও লিখিত হতে পারে, এটি লগারিথম বেস 2 পাই এবং ই পাই

build on that. So, this form can also be written in the following way, this can also be written

উত্থাপিত(power) এন ই পাওয়ার এন এর ডিটার্মিন্যান্ট(determinant) R হিসাবেও লেখা যেতে পারে। সুতরাং, এই অভিব্যক্তিটি দেওয়া হয়েছে যেখানে R n

as logarithm base 2 bringing out the pi and the e pi power N e power N determinant of

মাত্রা এন ক্রস এন R এর মাত্রা। সুতরাং, এই ফর্মটি আমাদের মাঝে মাঝে আমাদের আলোচনায়ও উপকারী। সুতরাং, এখন এই কাঠামোটি

R. So, given this expression where R n is the dimension n cross n is the dimension of

দেওয়া হয়েছে, আসুন আমরা দ্রুত পর্যবেক্ষণ এবং ফলাফলগুলি পেতে পারি। ইনপুট এবং

R. So, this form is also useful for us sometimes in our discussion.

আউটপুটের মধ্যে পারস্পরিক তথ্য, I x ভেক্টর x এবং

So, given this framework now, let us quickly get the key observations and results. The

ভেক্টর y এর মধ্যে এটি y প্রদত্ত x এর ভেক্টর ওয়াই(y) বিয়োগ এনট্রপি এর এনট্রপি

mutual information between the input and the output, I of x vector x and vector y this

দ্বারা প্রদান করা হয়। এটি হ'ল শেষ শ্রেণীতে যা আলোচনা করা হয়েছে তার মূলত পুনরাবৃত্তি করা হয় যা হ'ল H দ্বারা Y বিয়োগটি হ'ল এনট্রোপির

is given by the entropy of the vector y minus entropy of y given x again this are basically

দ্বারা প্রদত্ত শব্দ ভেক্টর। এবং আমরা কয়েকটি ফলাফল দেখিয়েছি যা আমাকে উল্লেখ করে যে এইচটির মাত্রাগুলি হল N ক্রস এনটি যা

repetition of what we are discussed in the last class this is given by H of y minus the

MIMO চ্যানেল উপস্থাপনা। এবং আমরা ভেক্টর Y এর অটোকোরিয়ালেশনে(autocorrelation) আগ্রহী যা H বারগুলি

entropy of the noise vector. And we showed a couple of results let me just mention those

R x বার H হার্মিটিয়ান প্লাস আর এন দ্বারা দেওয়া হয়। এর ফলে আমরা মাত্রিকতার

the dimensions of H are Nr cross Nt that is the MIMO channel representation.

জন্য শেষ বক্তৃতাতে প্রাপ্ত ফলাফলটি পেয়েছি, এটি এনআর(Nr) ক্রস এনআর(Nr) হবে, আবারও এটি এনআর(Nr) ক্রস এনআর এবং আর Y এনআর(Nr) ক্রস

And we are interested in the autocorrelation of the vector y that is given by H times R

এনআর হবে। সুতরাং, এন্ট্রিপিটির অভিব্যক্তিতে এটির পরিবর্তে R Y এর অভিব্যক্তি, আমরা এখন ক্ষমতাটির জন্য একটি অভিব্যক্তি

x times H Hermitian plus R n. This was the result that we had obtained in the last lecture

হিসাবে লিখতে পারি। সুতরাং, এক্স এবং এক্স ভেক্টর y মধ্যে পারস্পরিক তথ্য যা

for dimensionality this would be Nr cross Nr, again this would be Nr cross Nr and R

ধারণক্ষমতা এক্সপ্রেশন, লগারিদম বেস 2 পাই পাওয়ার এনআর এর প্রত্যাশিত মান হিসাবে প্রদান করা যেতে পারে, যা হ'ল নিম্নলিখিত

y would also be Nr cross N r. So, this is the expression for R y substituting this in

ম্যাট্রিক্সের N নির্ধারণকারী শক্তি, H বার Rx H হার্মিটিয়ান প্লাস আর এন নিম্নরূপ লগারিদম জন্য এই প্রথম নির্ধারণকারী

the expression for the entropy, we can now write down an expression for the capacity.

হয়। এবং প্রত্যাশিত মান লগারিদম বেস ২ এর প্রত্যাশিত মানটি হ্রাস করা হতে পারে। সম্ভবত আমি প্রত্যাশিত মানটি

So, the capacity expression that is mutual information between x and y vectors x, can

পাই-পাওয়ারের বাইরের 2 এর বাইরে লগারিথম বেস 2 এর বাইরে রাখি এবং প্রত্যাশনের জন্য বাইরের বন্ধনীটির নির্ণায়ক হয়।

be given as expected value of logarithm base 2 pi power Nr that being the dimension e power

সুতরাং, পূর্ববর্তী স্লাইডে প্রদত্ত ফর্মটি ব্যবহার করে এন্ট্রিপিটির(entropy) এক্সপ্রেশনগুলি এই ফলাফল থেকে সরাসরি প্রাপ্ত করা হয়। সুতরাং, এখন, এটি সহজতর

করা, পারস্পরিক তথ্য দ্বারা বি দ্বারা

Nr determinant of the following matrix, H times r x H Hermitian plus R n this is the

বি দ্বারা ক্ষমতা বা স্বাভাবিকীকরণ ক্ষমতা কিছুই না, তবে লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মূল্যের লগারিদমের একটি পার্থক্য রয়েছে। সুতরাং, এই 2 এর এই অনুপাতটি

first determinant for the logarithm the brackets are as follows. And expected value would be

এইচআর এক্স, এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস আর এন এর নির্ধারক R n এর নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত এবং এটি লগারিদমের(logarithmic)

minus expected value of logarithm base 2 of maybe I just keep the expected value outside

জন্য এবং তারপরে সমগ্র অভিব্যক্তিটির প্রত্যাশিত মানের মধ্যে অভিব্যক্তি। সুতরাং, এই ফর্মটি আমরা আবার কাজ করতে শুরু করব এটি একটি অত্যন্ত কার্যকর

minus logarithm base 2 of pi power Nr e power Nr determinant of R n and the outer bracket

ফলাফল যা আমাদের এখন খুব শক্তিশালী ফলাফল। এখন আমরা ফিরে যাবো এবং গাউসিয়ান ইনপুট সম্পর্কে ধারনা করবো; সুতরাং, যদি আমরা অনুমান করি যে ইনপুট একটি গাউসিয়ান

for the expectation. So, this is the obtained directly from this result writing the expressions for the entropy using the form given in the previous slide.

উৎস যেখানে ভেক্টর উপাদানগুলি স্বাধীন তবে আমরা নিম্নোক্ত মানটি লিখতে পারি। সুতরাং, x হল Nr ক্রস 1 এক্স এনটি 1 জুড়ে,

So, now, simplifying this, the capacity or normalized capacity C by B given by the mutual

এনটি ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাস এটি একটি এনটি ক্রস 1 জটিল গাউসিয়ান ভেক্টর হয়; জটিল গাউসিয়ান শূন্য গড়(mean) ভেক্টর এবং মানগুলি তার আকারের মধ্যে এবং

information is nothing, but expected value of logarithm base 2 of there is a difference

মানগুলি একে অপরের থেকে পৃথক পৃথক জটিল গাউসিয়ান(Gaussian) শূন্য গড়(mean) । সুতরাং, সেই ক্ষেত্রে xx হার্মিটিয়ানের(Hermitian) প্রত্যাশিত মান অনুসারে স্বয়ংসম্পূর্ণতা ম্যাট্রিক্স R x, গসিয়ান

of logarithm. So, this ratio of these 2 it is determinant of H R x, H Hermitian plus R n divided by determinant of R n, and that is the expression within the for the logarithm

র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সিগমা এক্স পরিমান ম্যাট্রিক্সের বর্গের বিভাজন হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং পরিচয় ম্যাট্রিক্সের মাত্রা এনটি হবে কারণ এনটি এন এনটি ক্রস 1 ভেক্টর।

সুতরাং, এটি এখন এই মানটি ব্যবহার করে আরএক্স-এ এক্সপ্রেশন ব্যবহার করে 1-তে 1

and then the expected value of the entire expression.

ব্যবহার করে, গৌসিয়ান ভেক্টরটির ফলাফলের

So, this is the form that we will start to work with again this is a very very useful

জন্য একটি এক্সপ্রেশনের ফলাফলটি ব্যবহার করে আমরা এখন একটি খুব শক্তিশালী ফলাফল

result a very powerful result that we now have. Now if we go back and make the Gaussian

পেয়েছি বলে জানিয়েছে যে স্বাভাবিককরণের প্রত্যাশিত প্রত্যাশিত মানটি লগারিদম বেস

assumption about the input; so, if we assume that the input is a Gaussian source where

2 এর মূলত, আমি R n এর সংজ্ঞাপক উপর R n 1 এর

the vector components are independent then we can write down the following value. So,

নির্ধারক লিখতে যাচ্ছি, আমি R n বিপরীতমুখী নির্ধারণকারী হিসাবে এটি লিখতে যাচ্ছি। সুতরাং, যদি আপনি যে ফর্মটি লিখতে

that is x is a Nr cross 1 x Nt across 1, Nt transmit antennas are there it is an Nt cross

লিখেন তা লিখুন আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটির নির্ধারকটির লগারিদম বেস 2 পেয়েছি H বার R R বার H হার্মিটিয়ানের(Hermitian) প্লাস R n বার R n বিপরীত(inverse)।

1 complex Gaussian vector; complex Gaussian zero mean vector with and the values are its

এই এক্সপ্রেশনটি আমাদের কাছে আছে, তারপরে আমাদের লগারিদম এবং তারপরে প্রত্যাশা মানের জন্য বন্ধনী রয়েছে। এবং মূলত এই অভিব্যক্তিটিকে সহজ করে তুলতে আমরা

মনে করি যে আমরা R n- এর জন্য সিগমা এন

in the form of an and values are independent of each other the components independent complex

স্কয়ারের মত শব্দটি ব্যবহার করতে পারি, যা গোলমালের ভেরিয়েন্স(Noise Variance), এটি একটি Nr ক্রস

Gaussian zero mean. So, in that case the autocorrelation matrix R x given by expected value of x x

1 ভেক্টর, তাদের প্রত্যেকের জন্য স্বাধীন নমুনা গাউসিয়ান(Gaussian)ভেরিয়েবল হয় I বার Nr হবে।।

Hermitian, can be written as the variance of the Gaussian random variables sigma x squared

সুতরাং, এখন যদি আপনি সমীকরণ 3 এবং 4 হিসাবে বলেন এবং এটিকে সমীকরণ 4 এ সমীকরণ 3 হিসাবে

times the identity matrix, and the dimensions of the identity matrix would be Nt because the Nt n Nt cross 1 vector. So, this is the expression for the r x now

প্রতিস্থাপন করেন তবে এটি প্রতিস্থাপিত হলে আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পেতে পারি C দ্বারা B প্রত্যাশিত মান হিসাবে লেখা যেতে পারে সিগমা এন স্কয়ার এইচ এইচ

using this value in one using 2 in 1, using the result for the Gaussian vector in the

হার্মিটিয়ান প্লাস আই এন আর(INr) দ্বারা বর্গিত নির্ণায়ক সিগমা এক্স এর লগারিদম বেস 2 এর মান, এবং লগারিদমের জন্য বন্ধনী এবং

expression for one we now get a very powerful result with says that the normalized capacity

তারপরে প্রত্যাশিত মানের বন্ধনীগুলির জন্য এটি বন্ধনী। সুতরাং, এই অভিব্যক্তিটি আমাদের আছে এবং এইটিকে প্রায়শই একটি MIMO চ্যানেলে লগ ডেটারমিনেন্ট(determinent) ক্ষমতার হিসাবে উল্লেখ

is given by expected value of logarithm base 2, basically I am going to write determinant

করা হয়। আমাদের একটি অভিব্যক্তিটির নির্ধারক এর লগারিদম আছে এবং এটি একটি এমআইএমও(MIMO) চ্যানেল এমআইএমও(MIMO) সিস্টেম

of R n 1 over determinant of R n, I am going to write it as the determinant of R n inverse. So, if you write that in the in the write it in that form we get logarithm base 2 of

MIMO চ্যানেলে লগ ডেটারমিনেন্ট(determinent) ক্ষমতা বলে পরিচিত। এখন এখানে অনেকগুলি আকর্ষণীয় ফলাফল রয়েছে যা আমরা এখানে থেকে অর্জন করতে এবং এমআইএমও(MIMO) চ্যানেলের চরিত্রীকরণ সম্পর্কে

the determinant of the following expression H times R x times H Hermitian plus R n times

আরও ভাল ধারণা পেতে পারি। সুতরাং, সংক্ষেপে শুধু আমরা ধারণাটি তৈরি করছি যে চ্যানেলটি ট্রান্সমিটারে পরিচিত নয় কারণ যদি এটি পরিচিত হয় তবে তা করার সর্বোত্তম

জিনিসটি একক মান বিচ্ছিন্নকরণ করা

R n inverse. This is the expression that we have then we have the brackets for the logarithm

হবে এবং তারপরে পানির জন্য ভরাট করা হবে। ক্ষমতা সর্বোত্তম শক্তি বরাদ্দ। সুতরাং,

and then the expectation value. And basically simplifying this expression we also note that

চ্যানেল ট্রান্সমিটারে পরিচিত হয় না। সুতরাং, তাই, আমরা এরগোডিসি(ergodic) ক্ষমতা অনুমান করবো। এখন আমরা এই অভিব্যক্তিটি অর্জনের ক্ষেত্রেও

we can use the expression for R n as sigma n squared that is the variance of the noise,

নিম্নলিখিত অনুমানটি করেছি যে চ্যানেলের ইনপুট চ্যানেলের জন্য গাউসিয়ান ইনপুটটি হল গসিয়ান বিতরণের উৎস। সুতরাং, এটি

it is a Nr cross 1 vector each of them are independent sample Gaussian variables to this

অনুমান করা হয় যে x এর n, ভেক্টর এক্সটি

would be I times N r. So, now substituting if you call this as equation 3 and 4, substituting equation 4 in 3, then

গাউসিয়ান বলে মনে করা হয়, তার অনুমান অনুযায়ী আমরা আমাদের প্রদত্ত অভিব্যক্তিগুলি সরল করেছি। এবং তৃতীয় অনুমান যে এইচ আর এন ক্রস এন টি এর মাত্রা। সুতরাং, যার মূলত

we get a the following expression we get the following expression that C by B can be written

অর্থ হ'ল এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের পরিধি Nr ক্রস Nr হবে। এখন যদি এইচটি পূর্ণ পদে(full rank) থাকে এবং

as expected value of logarithm base 2 of determinant sigma x squared by sigma n squared H H Hermitian plus I Nr, and this is the brackets for the determinant the brackets for the logarithm

আমাদের Nr এনটি কম বা সমান হয় তবে এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের র্যাঙ্কটি তার পূর্ণ স্থান এইচ এইচ হার্মিটিয়ানও এন র(Nr) হবে। সুতরাং, যেখানে এন আর এনটি এর চেয়ে

কম বা সমান হয়, সেই ক্ষেত্রে যেখানে অ্যান্টেনা প্রাপ্তির সংখ্যা ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাসের চেয়ে কম বা সমান। HH হার্মিটিয়ানের(Hermitian)

and then the expected value. So, this is the expression that we have and this is what is

কে H এর র্যাঙ্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা পেয়েছে। অপরদিকে যদি আপনি

often referred to as the log det capacity of a MIMO channel. We have the logarithm of

H হার্মিটিয়ান বারগুলিতে তাকান তবে H এটিকে এনটি(Nt) ক্রস এনটি অধিকার থাকতে হবে,

the determinant of an expression and this is called the log det capacity of a MIMO channel

এইচ এইচ(HH) এন র(Nr) ক্রস এনটি পেয়েছে, এইচ হার্মিটিয়ান হবে এনটি(Nt) ক্রস এনআর

MIMO system MIMO channel. Now there are several very interesting results that we can derive from here and build on and get a good understanding of the characterization of the MIMO channels.

এবং এই হবে। সুতরাং, এবং যেখানে এন এনটি এর চেয়ে কম বা সমান হয় তখন আমরা দেখি যে এইচ এইচ হার্মিটিয়ান পদটি অভাবযুক্ত কারণ

So, the just to summarize we are making the assumption that the channel is not known at

এটি একটি মাত্রা এনটি আছে, তবে মাত্রাটি ম্যাট্রিক্স এইচ এর মর্যাদা কেবলমাত্র

the transmitter because if it were known then the best thing to do would be to do the single

এনআর এবং তাই এটি একটি র্যাঙ্ক অভাব(rank deficient) হবে। সুতরাং, এই বিন্দুটিকে মনে রাখুন কারণ এটি পরবর্তী আলোচনায় আমাদের

value decomposition the, and then followed by the water filling for the power optimum power allocation. So, channel is not known at the transmitter. So, therefore, we have resorted to estimating the ergodic capacity. Now we have also in in the deriving this expression

সাহায্যের জন্য ফিরে আসবো। ঠিক আছে। সুতরাং, এখন, আমরা এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের(Hermitian) বৈশিষ্ট্য তাকিয়ে এই আলোচনা একটু সামান্য নিতে। সুতরাং, প্রথম

পর্যবেক্ষণ হল এইচ এইচ হার্মিটিয়ান পারমাণবিক মাত্রা এন ক্রস এনআর, কারণ

we have made the following assumption that the input to the channel is a Gaussian input

এইচটি মাত্রা পেয়েছে এন ক্রস এনটি এইচ এইচ হার্মিটিয়ান এন ক্রস এনআর হবে।

to channel is the source is has Gaussian distribution. So, it is assumed that is x of n, the vector

দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণটি হঠাৎ করেই হরমিটিয়ান প্রকৃতির হার্মিটিয়ান দ্বারা গঠন করা হয়, এটির গঠন অনুসারে আপনি যদি হার্মিটিয়ান

x is assumed to be Gaussian under that assumption we have simplified the expressions that we

হন তবে আপনি একই অভিব্যক্তিটি ফিরে পাবেন এবং আরও

have given. And third assumption is that the dimensions of H r Nr cross N t. So, which

গুরুত্বপূর্ণ যে দ্বিতীয় বা তৃতীয়টি যা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তা হল এইচ এইচ হার্মিটিয়ান ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট, ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট একটি ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স

basically means that the dimensions of H H Hermitian will be Nr cross Nr. Now if H is

সংজ্ঞা নিশ্চিত করা হয়। সুতরাং, তাই, আমি এটি লিখব না, কিন্তু মূলত যখন আপনার এই ফর্মটি থাকে, এর অর্থ এই যে ইগেনালিউস ল্যাম্বা(eigenvalues lambda) i সব প্রকৃত মান ইতিবাচক

আধা নির্দিষ্ট মানে হল যে তারা সমস্ত

full rank and we have Nr is less than or equal to Nt, then the rank of H H Hermitian its

প্রকৃত মূল্যবান এবং কারণ তারাও এর চেয়ে বড় বা সমান। 0, এই 2 বৈশিষ্ট্য একটি ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিফলিত হয়। এখন, আমরা একই যুক্তি

ব্যবহার করতে পারি যেমন আমরা এইচ এইচ

full rank H H Hermitian will be also N r. So, in the case where Nr is less than or equal

হার্মিটিয়ানের ইতিবাচক আধা সংজ্ঞায়িত সম্পত্তি দেখানোর জন্য ব্যবহার করেছি, আমরা বলতে পারি যে এইচ হার্মিটিয়ান

to Nt, the case where the number of receive antennas is less than or equal to the transmit

এইচও ইতিবাচক অর্ধেক নিশ্চিত, আবার বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যগুলি কার্যকর। সুতরাং, আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ যা আমাদের

antennas. H H Hermitian has got the dimensionality that is consistent with the rank of H. On

মনে রাখতে সাহায্য করে তা হল, যদি ল্যাম্বা

the other hand if you have to look at H Hermitian times H this would have dimensions n Nt cross

আমি, আমি l এর মধ্য দিয়ে একের সমান হয়, তাহলে শূন্য ইজেনভেটার এগেন মান (eigenvalues)এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের নন জিরো(nonzero) শূন্য

Nt right, H H is got Nr cross Nt, H Hermitian would be Nt cross Nr and this. So, and in

মান। এখন H এর র্যাঙ্কটি যদি এল হয়, তাহলে এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের অজারোজেনগুলির একটি সেট থাকবে এবং এইগুলি নন জিরো(nonzero) এগেন মান (eigenvalues)। আমরা এই সেটটি দেখিয়ে দিতে

the case where n is less than or equal to Nt we will find that H H Hermitian is rank

পারি যে এই সেটটি অজারিজও ইজেনভালুগুলিকে এইচ হার্মিটিয়ান এইচ-এর অজেনাভিত্তিক ইজেনভ্যালুয়েস হিসাবেও দেখাতে পারে। অতএব, কিছু অত্যন্ত আকর্ষণীয় কাঠামো

deficient because it has a dimension Nt whereas, the dimension the rank of that is of the matrix H is only Nr and therefore, this would be a rank deficient. So, keep this point in mind

রয়েছে যা এইচ এইচ হার্মিটিয়ান এবং এইচ হার্মিটিয়ানের H হার্মিটিয়ানের মধ্যে সম্পত্তির উপস্থিত রয়েছে। এখন, যেখানে আছে এই লগ-ডিট ক্ষমতাকে

ব্যাখ্যা করার জন্য আমাদের কাছে নিম্নলিখিত

because this will come back to a help us in the subsequent discussions.

সম্পত্তিটিতে কি আসে যায় যা আমি বিশ্বাস করি? এখন আপনি কিছু ইতিবাচক ধ্রুবক আলফা

Ok. So, now, let us take this discussion a little bit forward by looking at the properties

বার এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের(Hermitian) অভিব্যক্তি তাকান আছে। সুতরাং, এটি একটি ইতিবাচক বাস্তব স্কলার প্রকৃত মূল্যবান স্কেলার, একটি আলফা বার এইচ এইচ হার্মিটিয়ান এবং এইচ এইচ হার্মিটিয়ানকে

of H H Hermitian. So, the first observation is that the dimensions of H H Hermitian dimension

মাত্রা পেয়েছে এন ক্রস এনআর বার প্লাস আমি এন আর এন পরিচয় ম্যাট্রিক্সের। সুতরাং, মূলত আমরা এই সম্পত্তি কি বুঝতে চাই। কারণ আপনি যদি পূর্ববর্তী স্লাইডটি

are Nr cross Nr, because H has got dimension Nr cross Nt H H Hermitian would be Nr cross

দেখতে চান তবে এই এক্সটি লজ ডিট ক্ষমতাতে প্রদর্শিত হয়। সুতরাং, আমি এটিটিকে সমীকরণ হিসাবে এক হিসাবে কল করব, আমি এটিকে

Nr. The second observation a very important one is then H H Hermitian is by nature Hermitian

বানাতে যাচ্ছি এবং কিছু অন্তর্দৃষ্টি আঁকতে যাচ্ছি। প্রথম ধাপ হ'ল এইচটির একক মান বিচ্ছিন্নতা দেখানো, এখন আবার

by virtue of its structure, if you take Hermitian of it you get back the same expression and

আমরা চ্যানেলটি ট্রান্সমিটারে পরিচিত না এমন ক্ষেত্রে দেখছি। সুতরাং, আমরা এই এক্সপ্রেশনটির

more importantly the second or the third properties what is most important H H Hermitian is positive

সম্পত্তির বোঝার চেষ্টা করছি না যা ট্রান্সমিটারে প্রিকোডিং করার চেষ্টা করে না। সুতরাং, যদি আপনি নিম্নোক্ত সম্পত্তিটি

semi definite, positive semi definite the definition of a positive semi definite matrix

সিগমা বার ভি হার্মিটিয়ানের সাথে করেন তবে এটি হ'ল আমরা আগে দেখেছি এমন একবচন মূল্য সংকোচনের পরে আমরা বলতে পারি যে এইচ

is known are to use. So, therefore, I will not write it down, but basically when you have this form, it means that the eigenvalues lambda i are all real value positive semi

এইচ হার্মিটিয়ান আপনি যদি বিকল্পটি ব্যবহার করেন তবে সেটি হ'ল আপনার টাইম সিগমা স্কয়ার বার ইউ হার্মিটিয়ান এবং আমরা ঐক্যবদ্ধ ম্যাট্রিক্সের সম্পত্তি

definite means they are all real valued and because and they are also greater than or

থেকেও জানি যা আপনি হার্মিটিয়ানের সাথে পরিচয় ম্যাট্রিক্স এবং এটির ক্রস Nr ক্রস

equal to 0, these 2 are the properties reflected by a positive semi definite matrix.

হবে। সুতরাং, যদি আমি সমীকরণ 2 এবং সমীকরণ 3 হিসাবে এটি কল করি তবে আমি

Now, we can also using the same reasoning as we used to show the positive semi definite

2 এবং 3 এ প্রতিস্থাপন করি। সুতরাং, 2 এবং 3 কে প্রতিস্থাপিত করে আমরা নিম্নোক্ত

property of H H Hermitian, we can also say that H Hermitian H is also positive semi definite

অভিব্যক্তিটি পেয়েছি যে আলফা এইচ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস I Nr এর নির্ধারককে লেখা যেতে পারে নিম্নোক্ত ফর্মটিতে এটি আলফা ইউ সিগমা এর হার্টিটিয়ান

again these are useful properties when we go into to the analysis. So, another important observation which is helpful for us to note is that if the if lambda i, i is equal to

বর্গ প্লাস এবং uu হার্মিটিয়ানের হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এই ফর্মটি আমরা অবশ্যই করব, যা আমাদের কাছে এই এক্সপ্রেশনগুলিকে সরল করে তুলবে তা

কিছুই না, তবে আপনার বন্ধনী আলফা বারের

one through l are the non zero eigenvector Eigen values are the non zero Eigen values

সিগমা স্কয়ার প্লাস INr বার হার্মিটিয়ানের মধ্যে u নির্ধারক। সুতরাং, মূলত আমাদের তিনটি ম্যাট্রিক্সের একাধিক গুণ আছে এবং আপনি এই অভিব্যক্তিটির নির্ধারক(determinent) চাইছেন,

of H H Hermitian. Now what does this mean the if the rank of H is l, then H H Hermitian

এর নির্ণায়ক যা নির্ধারণকারীর পণ্য হতে পারে আমরা জানি যে uuu হার্মিটিয়ানের নির্ধারক যদি আমি uu হার্মিটিয়ানের নির্ধারক গ্রহণ করি তবে আমি এটি একের

will have a set of nonzero eigenvalues and these are the nonzero eigenvalues. We can show that these this set are also the nonzero eigenvalues also the nonzero eigenvalues of

সমান হতে হবে কারণ এটি পরিচয় ম্যাট্রিক্সের(identity matrix) নির্ধারক। সুতরাং, এটি আলফা সিগমা স্কোয়ার প্লাস আই এন আর এর নির্ধারক হিসাবে লেখা যেতে পারে, এটি একটি খুব কার্যকর

H Hermitian H. So, there are some very interesting structures that are property are present between

এবং আকর্ষণীয় ফলাফল থেকে এক ধাপ দূরে। এবং আলফা সিগমা স্কোয়ার প্লাস I Nr এর নির্ণায়ক নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে কল্পনা করা যেতে

H H Hermitian and H Hermitian of H Hermitian times H.

পারে: এটি একটি কৌণিক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, যেখানে প্রথম এন্ট্রি আলফা(alpha) সিগমা এক

Now, where does this come into play in the following property which I believe is the

বর্গাকার প্লাস 1 এবং এর মধ্যে দ্বিতীয়

very useful one for us to interpret the log det capacity? Now if you have to look at the

তির্যক এন্ট্রি আলফা সিগমা 2 বর্গাকার প্লাস 1. আলফা সিগমা এল স্কয়ারে প্লাস

expression determinant of some positive constant alpha times H H Hermitian. So, this is a positive

1 এর সমস্ত উপায় যেখানে L ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের(rank) সাথে বা নন জিরো(non zero) একক মানের সংখ্যাগুলির সাথে সংশ্লিষ্ট,

real scalar real valued scalar, a alpha times H H Hermitian and H H Hermitian has got dimensions

এবং এটি যে হবে এবং এটি পণ্য দ্বারা দেওয়া হবে i 1 এর সমান এল এলফা সিগমা 1 দিয়ে স্কয়ার করছি। 1. সুতরাং, আলফা এইচ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস INr ফলাফলের সংজ্ঞায়িতকারী

Nr cross Nr times plus I of Nr identity matrix of N r. So, basically we would like to understand

সারাংশ সংক্ষেপে সারসংক্ষেপটি লিখতে পারি কারণ এই অভিব্যক্তিটির N ম্যাট্রিক্স এইচ আলফা সিগমা I প্লাস 1 ঠিক আছে। এখন, সম্পত্তির সর্বশেষ বৈশিষ্ট্যগুলি এখন

ভিন্ন অভিব্যক্তি দেখায়, এইচ এইচ হার্মিটিয়ানের

what is the property of this. Because this x is this identical expression appears in

পরিবর্তে আলফা এর নির্ধারক এখন এখন H হারম্যাটিয়ান বারগুলি দেখতে চান

the log det capacity if you have to look at the previous slide. So, I will call this as

H এইটির একটি মাত্রিকতা রয়েছে যা এনটি ক্রস

a equation one, I am going to sort of build on this and draw some insights. The first step is to look at the singular value decomposition of H, now again the we are looking at the case where the channel is not known at the transmitter. So, we are

এন টি। সুতরাং, এই প্লাস I এনটি হবে। আমি আপনাকে একই গণিত ধাপগুলির সাথে সহজ করে তুলতে চাই, যা আমরা আগে করেছি এবং আপনি দেখিয়ে দিতে পারেন যে এটি আমার

trying to understand the property of this expression not necessarily trying to do precoding at the transmitter. So, if you have to do the following property u sigma times v Hermitian, that is the singular value decomposition that we have seen before then we can say that H

পণ্যটির সমান। আমি 1 এল আলফা সিগমা 1 স্কোয়ার প্লাস 1 এর সমান। কেস। সুতরাং, অন্য কথায় আমরা নিম্নোক্ত ফলাফলটি লিখতে পারি যে আলফা এইচ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস INt ডিফারেন্ট্যান্ট

আলফা এইচ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস INr ডিগ্রিধারী

H Hermitian if you substitute will be of the form u times sigma squared times u Hermitian

হিসাবে লেখা যেতে পারে যা আমরা 5 থেকে 6 এবং অবশ্যই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে পেয়েছি। আমরা

and we also know from the property of the unitary matrices that u times u Hermitian

সিলভেস্টার ডিপ্রিন্টিন্ট তত্ত্ব হিসাবে পরিচিত রৈখিক বীজগণিত ফলাফলের আমাদের জ্ঞান থেকে এটি পেয়েছি এবং এটি করার জন্য পদক্ষেপগুলি

is the identity matrix and that will have the dimensions of Nr cross Nr. So, if I call this as equation 2 and equation 3 then if I substitute 2 and 3 in 1. So, substituting

দেখিয়েছি: সিলেভেস্টার ডিপ্রিন্ট্যান্ট তত্ত্বটি নিম্নোক্ত বিষয়গুলি বলেছে, যদি আপনার কাছে আমার মতামত প্রকাশকারী থাকে । প্লাস এবি। যদি আপনার আই(I) প্লাস

এবি এর একটি অভিব্যক্তি নির্ধারণ করে এবং

2 and 3 in one we get the following expression that the determinant of alpha H H Hermitian

ম্যাট্রিক্স অপারেশন AB এবং বিএ সংজ্ঞায়িত থাকে তবে আমরা এটি লিখতে পারি যে এটি প্লাস বিএ এর সংজ্ঞাপূর্ণ সমান, বিএ অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করা উচিত এবং পরিচয় ম্যাট্রিক্সের

plus I nr can be written in the in the following form that it can be written as determinant

মাত্রাগুলি অবশ্যই আসুন এবি এবং বিএ এর মাত্রা। সুতরাং, এই ফর্মটি দেওয়া হলে আমরা একটি সিলেভেস্টার নির্ধারণকারী(Sylvester determinant) তত্ত্ব ব্যবহার

of alpha u sigma squared u Hermitian plus u u Hermitian. This is the form that we would

করে এটি অর্জন করা হয়, এবং এটি পূর্বের ফলাফলে আমরা যা দেখেছি তার অনুরূপ। সুতরাং, এটি হল ফলাফল বা এইগুলি ম্যাট্রিক্স এইচ

do then of course, simplifying the expressions that we have this is nothing, but determinant

এর প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং HH হার্মিটিয়ানের(Hermitian) এবং H হার্মিটিয়ানের(Hermitian) H ফর্মগুলি বার H হবে।

of u within the bracket alpha times sigma squared plus I Nr times u Hermitian. So, basically

এখন কেন আমরা এটিকে গ্রহণ করার জন্য অনেক প্রচেষ্টা করেছি? নিচেরগুলোর জন্য. এবং দেখি তার কী লাভ। সুতরাং, লগ ডিট(log det)

we have multiple multiplication of three matrices and you want the determinant of that of this

ক্ষমতা(capacity); একটি MIMO চ্যানেলের জন্য লগ ডিট ক্ষমতা আমরা নিম্নোক্ত ফর্মটিতে

expression, determinant of this which would be the product of the determinants we know

লিখতে পারি: লগ ডিট(log det) ক্ষমতা(capacity)টি আমরা যা সংজ্ঞায়িত করেছি তা হল সি দ্বারা বি

that determinant of u u u Hermitian if I take the determinant of u u Hermitian, then I get this to be equal to one because that is the determinant of the identity matrix. So, this

সিগমা এন স্কয়ার্ড এইচ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস ইন স্কয়ার দ্বারা বর্গ (squared) সিগমা এক্স এর নির্ধারক এর লগারিদম বেস 2 এর

can be written as the determinant of alpha sigma squared plus I Nr, one step away from

প্রত্যাশিত মানের সমান । সুতরাং, নির্ধারক এই ফর্মের জন্য লগারিদমটি পরবর্তী বন্ধনীটির বাইরে এবং তারপর প্রত্যাশিত মান এখন এটি একটি ফর্ম যেখানে আমরা HH হার্মিটিয়ানের(Hermitian)

a very useful and interesting result.

ব্যবহার করছি। সুতরাং, এই ক্রম এনআর(Nr) জুড়ে

And the determinant of alpha sigma squared plus I Nr can be visualized in the following

এনআর(Nr) হয়। এখন এটি এমন একটি ফর্ম যা আমাদের সাথে কাজ করার জন্য খুবই উপকারী, যখন আমরা র্যাঙ্কের ক্ষেত্রে সীমিত ক্ষেত্রে

way: it is the determinant of a diagonal matrix, where the first entry is alpha sigma one squared

অ্যান্টেনা প্রাপ্তির অ্যান্টেনাস মাত্রা অর্জন করি। সুতরাং, যখন এনটি এনআর এর চেয়ে বড় বা সমান হবে তখন এটি ঘটবে

plus 1 and in the second diagonal entry is alpha sigma 2 squared plus 1. All the way

কারণ সেই ক্ষেত্রে NR ছোট মাত্রা এবং অযৌক্তিক একক মানের সংখ্যা এবং সেইজন্য

to alpha sigma L squared plus 1 where L corresponds to the rank of the matrix or the number of

এইচ এইচ(HH) হারম্যাটিয়ানের ক্ষেত্রে সীমিত কেস হতে চলেছে। Nr জুড়ে Nr ফর্ম আমাদের সাথে

nonzero singular values, and that that would be and this would be given by product of i

কাজ করার জন্য একটি ভাল AH অভিব্যক্তি। সুতরাং, এটিকে আমি অভিব্যক্তি A হিসাবে বলি, লগ ডিট ক্ষমতা এক্সপ্রেশন এ। এখন

equal to 1 through L alpha sigma i squared plus 1. So, the summary summarizing the result

এর বিকল্প রূপটি সি দ্বারা দেওয়া যেতে পারে যেমন বি দ্বারা বি সমমানের সিগারেট x বর্গ (squared) দ্বারা সিগমা x বর্গ (squared) এর লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মানের

determinant of alpha H H Hermitian plus I Nr determinant of this expression can be written

সমান। এইচ এইচ হারম্যাটিয়ান বার এইচ, প্লাস আমি এনটি এখন শুধু আমাকে বন্ধনী আঁকা যাক, এই নির্ধারক(determinent) হয়, এই লগারিদম এবং

down as the product with the number of terms correspond to the rank of the matrix H alpha sigma i squared plus 1 ok. Now, the last of the properties now look at

প্রত্যাশিত মান। এখন এই ক্ষেত্রে আমরা এইচ এইচটিএমটিয়ান টাইম এইচ এক্সপ্রেশন যা ক্রমিক এনটি ক্রস এনটি এর CA এর সমান, এবং যখন এটি Nr এর চেয়ে কম থাকে তখন এটি সীমিত

different expression, determinant of alpha instead of H H Hermitian now would like to

মাত্রা হবে। অন্য কথায়, যখন অ্যান্টেনা প্রাপ্তির সংখ্যা ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাসের সংখ্যা থেকে বেশি হয় তখন এটি ফর্ম

look at H Hermitian times H this would this has a dimensionality which is Nt cross N t.

হতে পারে এবং আমরা এইটিকে লগ ডিট ক্ষমতার ফর্ম বি রূপে কল করব। এখন, তারা একে অপরের

So, this will be plus I Nt. I would like you to try simplifying this along the same math

থেকে আলাদা? কোন অর্থে নয়, কারণ আমরা এখনই দেখিয়েছি যে এই অভিব্যক্তিটির নির্ধারক

steps that we have done previously and you can show that this is equal to product of

এটির নির্ধারক হিসাবে একই। সুতরাং, মূলত যখন আমরা সিলেভেস্টার ডিপ্রিন্টিন্ট তত্ত্ব

i is equal to 1 through l alpha sigma i squared plus 1 again the same result as in the previous

বা এইচ ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে নির্ণায়কদের দিকে তাকিয়ে দেখি, আমরা ইতিমধ্যে দেখিয়েছি যে এই 2টি নির্ধারণকারীর মূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে সমান রূপ। সুতরাং,

case. So, in other words we can write down the following result that the determinant

অতএব, ক্ষমতাটি এখনও একই, কিন্তু এটি আমাদের কীভাবে সহায়তা করে, তা মাত্রাটির আলোকে

of alpha H H Hermitian plus I Nt can be written as the determinant of alpha H H Hermitian

অভিব্যক্তিগুলি বোঝার এবং ব্যাখ্যা করা এবং এ কারণে আমাদের 2 টি ফর্ম রয়েছে। এক যখন এনআর ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাসের সংখ্যার

plus INr right that is what we have obtained from properties 5 and 6 and of course, we

চেয়ে বড় হয় তখন এন্টেনা প্রাপ্তির সংখ্যাটির চেয়ে বেশি বা সমান হয় এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে যখন সংক্রমণের অ্যান্টেনাস

have gone through and shown the steps for doing this this could have also been obtained

সংখ্যাটি কম পরিমাণে অ্যান্টেনা পায় বা অ্যান্টেনা পান তার চেয়ে বেশি হয়

from our knowledge of linear algebra result known as the Sylvester determinant theorem:

সংখ্যা অ্যান্টেনা প্রেরণ। এখন, এর কারণ আপনার জন্যগুলি দুটি বিশেষ

the Sylvester determinant theorem is states the following, states that if you have the

ক্ষেত্রে অধ্যয়ন এবং এই আমাদের এবং আকর্ষণীয় বিশেষ ক্ষেত্রে খুব দরকারী। সুতরাং, বিশেষ কেস নম্বর এক, কারণ আমরা

expression determinant of I plus AB. If you have a expression determinant of I plus AB

যা অধ্যয়ন করেছি তা শক্তিশালী করব এবং আমরা প্রাপ্ত আগের ফলাফলগুলির সাথে সম্পর্কযুক্ত হব। সুতরাং, বিশেষ ক্ষেত্রে, 2 বিশেষ ক্ষেত্রে আমরা দেখতে

and provided that the matrix operation AB and BA are defined then we can write it down

চাই, প্রথমটি প্রাপ্তির বৈচিত্র্য। এখন এই ক্ষেত্রে আমরা প্রধানত সিগন্যালের জোরালোতা

that this is equal to determinant of I plus BA, BA must be defined and the dimensions of the identity matrix are come in with the dimensionality of a of AB and BA.

উন্নত করার জন্য বৈচিত্র্য ব্যবহার করছি, যেখানে আমরা প্রেরিত সিগন্যালটি বেছে নেওয়ার জন্য একাধিক অ্যাকটিনা ব্যবহার করি। সুতরাং, যখন আমরা প্রাপ্ত

সংকেতগুলিকে একত্রিত করি তখন আমরা দেখতে পারি যে ফেইডিং প্রভাবটি স্বাধীন ফেইডিং আপলোডকারী

So, given this form then we using a Sylvester determinant theorem this is the result that

একাধিক কপিগুলির মাধ্যমে হ্রাস করা হয়। সুতরাং, প্রাপ্তির একাধিক প্রাপ্তি

is obtained, and this is identical to what we have observed in the previous result as

প্রাপক এন্টেনা থেকে পান। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে যেখানে আপনি 1 সমান অ্যান্টেনাস ট্রান্সমিশন

well. So, this is result or these are the properties of the main of the matrix H and

সংখ্যা আছে, প্রাপ্ত সংখ্যা অ্যান্টেনা সংখ্যা সাধারণত 3 3 4 কোন সংখ্যা বেশী।

the forms H H Hermitian and H Hermitian times H. Now why did we take so, much effort to

এবং যেহেতু আমাদের ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা সংখ্যা থেকে বেশি সংখ্যক অ্যান্টেনা

do this? For the following.

পাওয়া যায়, তাই আমাদের সূত্র বি

And let us see what is the benefit of that. So, the log det capacity; log det capacity

দেখতে হবে; লগ ডিট ক্ষমতার সূত্র আমরা সংস্করণ বি দেখতে হবে; এবং সংস্করণটি

for a MIMO channel we can write down in the following form: the log det capacity that we have defined is C by B is equal to expected value of logarithm base 2 of determinant of

বলছে যে সিগমা এন স্কয়ার্ড এইচ হার্মিটিয়ান বার এইচ দ্বারা স্কয়ারকৃত সিগমা ডিস্ট্রিক্টের লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মূল্যটি দ্বারা ক্ষমতাটি দেওয়া হয়, প্লাস INt যে সমস্ত বন্ধনী

sigma x squared by sigma n squared H H Hermitian plus IN r. So, the determinant is for this

যা আমাদের আছে তা বন্ধ করে দেব। যেহেতু এটি একটি প্রাপ্ত বৈচিত্র্য সিস্টেম তাই আমি আপনাকে চ্যানেল ম্যাট্রিক্স ট্রান্সমিশন মত দেখতে কি কল্পনা করতে সাহায্য করতে

form the logarithm is for the out of the next bracket and then the expected value now this

চাই। সুতরাং, চ্যানেল ম্যাট্রিক্সের একটি খুব আকর্ষণীয় কাঠামো রয়েছে, এটি হ'ল এইচআরের দৈর্ঘ্য সর্বদা Nr ক্রস এনটি হয়, যেহেতু

is a form where we are using H H Hermitian. So, this is of the of the order Nr across

Nt আমাদের এই বিশেষ ক্ষেত্রে Nr ক্রস 1 অ্যান্টেনা আছে। সুতরাং, সাধারণ ক্ষেত্রে আমি এই বিশেষ ক্ষেত্রে এনr ক্রস এনটি পেয়েছিলাম

Nr. Now this is a form that is very useful for us to work with when we have the receive antennas dimensionality of the receive antennas as the limiting case in terms of the rank.

যেখানে শুধুমাত্র একটি ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা এবং এনআর রিসিভার অ্যান্টেনা ছিল, এবং এক্সপ্রেসটি হ'ল প্রথম 11 টি সংকেত পেয়ে প্রথম সংকেতটি প্রেরিত সিগন্যাল

So, this will happen when Nt is greater than or equal to Nr right because in that case Nr is the smaller dimension and that is going to be the limiting case in terms of the number of nonzero singular values and therefore, H H Hermitian, which is of the form Nr across

পেয়েছিল। অ্যান্টেনা, এবং দ্বিতীয় সূচক প্রাপ্ত এন্টেনা হয় । সুতরাং, মূলত আমাদের যা আছে H21 h31 এইচ এন ক্রস 1 এর সমস্ত উপায়। সুতরাং, মূলত একটি

ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা আছে এবং লক্ষ্য করুন

Nr is a good ah expression for us to work with.

আমাদের hij আছে এবং যখন আমাদের এই সূচকগুলি

So, let me call this as expression A, log det capacity expression A. Now the alternate

থাকে তখন j ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা থেকে ith এন্টেনা পাওয়া যায় এবং শুধুমাত্র একটি প্রেরণ করা হয়। সুতরাং, তাই,

form of this is can be given as C by B is equal to expected value of logarithm base

আমাদের জন্য এইমাত্র একটি কলাম আছে এবং যখন আমরা H হার্মিটিয়ানের(Hermitian) H কে আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ

2 of the determinant of sigma x squared by sigma n squared H H Hermitian times H, plus I Nt now the let me just draw the brackets, this is the determinant, this is the logarithm

করে তুলি তখনও সেই অভিব্যক্তিটি লিখুন। যদি আপনি এইচ হার্মিটিয়ান এইচ করেন তবে আমরা কি সমষ্টিটি 1 সমান করব তা হল 1 থেকে Nr মডুলাস(modulas) hi কমা(coma) 1 মডুলাস(modulas) বর্গ

and the expected value. Now in this case we are having the expression H Hermitian times

(squared) । সুতরাং, এই H হার্মিটিয়ানের(Hermitian) H এর অভিব্যক্তি হবে। এখন আমরা যে ফলাফলটি পেয়েছি তাতে এই ফলাফলটি প্রতিস্থাপিত করা হয় নির্ণয়কারীর লগারিদম বেস 2 এর মানের

H which is of the ca of the dimensions Nt cross Nt, and this will be the limiting dimension when we have Nt less than Nr. In other words when the number of receive antennas is greater

প্রত্যাশিত; এখন এই এইচ হার্মিটিয়ান এইচ স্কেলার(scalar) হয়। সুতরাং, এই একটি স্কেলার(scalar) হয়। সুতরাং, আমি এনটি এনটি এর ভিতরে অভিব্যক্তি তাই এক, যে। সুতরাং, সিগমা

than the number of transmit antennas this would be the form and we will call this as

এন স্কয়ার দ্বারা বর্গিত 1 প্লাস সিগমা এক্স এর নির্ণায়ক I এনটি 1 হিসাবে বেরিয়ে আসার নির্দেশটি বিনিময় করেছি, এটি একটি সমীকরণ

the form B of the log det capacity. Now, are they different from each other? In

হিসাবে i 1 সমান হতে সমান, সমীকরণ হ'ল i

a sense no, because we can we have just now shown that the determinant of this expression

কমা 1 এর পরিমান বর্গক্ষেত্রের লগারিদম এবং প্রত্যাশিত মান ঠিক আছে | সুতরাং, এটি সেই অভিব্যক্তি সেই যা আমরা পেয়েছি । এখন আমি আলোচনা করার নিম্নলিখিত দৃষ্টিভঙ্গির

is the same as the determinant of this. So, basically when we look at the determinants

জন্য আপনাকে খুব সতর্কতার সাথে অর্থ প্রদান করতে চাই। এখন সাধারণ ক্ষেত্রে

using a Sylvester determinant theorem or the properties of the H matrix, we have already

ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা সংখ্যা এনটি, এবং সংশ্লেষের পার্থক্য যদি প্রতিটি অ্যান্টেনাসে

shown that this these 2 are equivalent forms in terms of the value of the determinant.

প্রেরিত হয়। সুতরাং, সিগমা এক্স স্কয়ার

So, therefore, the capacity still the same, but what it helps us is to understand and

হয়। সুতরাং, এই ট্রান্সমিটার এ একক বৈকল্পিক। সুতরাং, এটি অ্যান্টেনাগুলির সংখ্যা এবং আপনি

interpret the expressions in light of the dimensionality and that is why we have 2 form.

এটিকে মনে করতে পারেন যে প্রতি অ্যান্টেনা প্রতি অ্যান্টেনা এবং সিগমা এন স্কোয়ারে

One when the case where Nr is greater than the number of transmit antennas is greater

প্রেরিত সংকেত প্রেরিত সংকেতটির এই শক্তিটি

than or equal to the number of receive antennas and the second case is when that number of

গোলমালের ভেরিয়েন্স(noise variance) বা গোলমালের শক্তির শব্দের বৈচিত্র্য(noise power noise variance )। সুতরাং,

transmit antennas is less than the number receive antennas or the receive antennas being

এই দেওয়া মোট সংকেত সংকেত শক্তি এনটি বার সিগমা এক্স বর্গক্ষেত্র, প্রতিটি অ্যান্টেনা

more than the number transmit antennas. Now, the reason for this is to for us to study two special cases and these are very very

সিগমা এন স্কয়ার মধ্যে মোট শব্দ শক্তি। এখন, এই সংক্রমণের পরিমাণের উপর ভিত্তি করে গোলমাল অনুপাতের সংকেত যা প্রতিটি

useful for us and interesting special cases. So, special case number one, because they

প্রাপ্ত অ্যান্টেনা শব্দটি ভাগ করে দেখায়, এবং আমরা এসএনআর পরিবর্তনশীল হিসাবে

will reinforce what we have studied and also correlate with the earlier results that we

পরিবর্তনশীল রৌ(rho) পদে প্রতিনিধিত্ব করতে চাই। এখন আমাদের ক্ষেত্রে এনটি 1 সমান

have obtain. So, special cases, 2 special cases that we would like to look at, first

হবে। সুতরাং, এনটি 1 সমান হলে, রৌ(rho) সিগমা এন বর্গক্ষেত্রের সমান x বর্গ (squared) সমান।

one is diversity on receive. Now this is the case where we were using diversity primarily

সুতরাং, এই পরামিতিটি আর কিছুই নয় এবং আমাদের পক্ষে এই অভিব্যক্তিটিকে

to improve the robustness of the signal, where we use multiple receive antennas to pick up

চিহ্নিত করতে সক্ষম হওয়া খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং, আমরা এটি নিম্নলিখিত ফর্ম

the transmitted signal. So, that when we combine the received signals we would then see that

লিখতে হবে। সুতরাং এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ ফর্মের সংজ্ঞাপক এর লগারিদম বেস 2 এর

the effect of fading is mitigated through the multiple copies which are picking up independent fading. So, diversity on receive multiple receive antennas at the receiver. So, this

প্রত্যাশিত মানের সমান, এবং গুরুত্বপূর্ণ ফর্মটি 1 প্লাস NR বারে রৌ(rho) বার 1 হতে হবে Nr সুমেশন(summation) দ্বারা 1 সমান 1 ম Nr মডুলাস(modulas) হাই কমা 1 পুরো বর্গক্ষেত্র এবং বন্ধনীগুলির

would be the case where you would have number of transmit antennas equal to 1, number of

মধ্যে রাখা এটি নির্ধারণকারী, লগারিদমের জন্য অভিব্যক্তি,

receive antennas is greater than one typically 2 3 4 any numbers. And since we have the number of receive antennas greater than the number of transmit antennas,

এবং তারপরে প্রত্যাশিত মানের জন্য অভিব্যক্তি। সুতরাং, আমরা যা করেছি তা মূলত রৌ(rho) এর পরিপ্রেক্ষিতে এই অভিব্যক্তিটি লিপিবদ্ধ করা হয়েছে

we would have to look at formula B; formula in the log det capacity we will look at the

এবং আমরা Nr এবং 1 দ্বারা Nr এবং এটি একটি খুব

version B; and the version says that the capacity is given by expected value of logarithm base

নির্দিষ্ট উদ্দেশ্যের জন্যও উপস্থাপিত করেছি। কারণ এন এন দ্বারা গুণিত একটি এনটেনার SNR এর সময়, এটি আমাকে বলে যে

2 of the determinant of sigma x squared by sigma n squared H Hermitian times H, plus

এটি অ্যারে লাভ। অ্যারে লাভ আপনাকে বলে যে যখন এন এন এন এন্টেনা পায় তখন এটি n এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা আমার কার্যকরী

I Nt close all the brackets that is the expression that we have. Now since this is a receive

SNR কে বুস্ট করা হয়। Nr বার দ্বারা একই টোকেন 1 দ্বারা এই সংক্ষেপটি আমরা বৈচিত্র্য

diversity system I would like you to help visualize what the transm the channel matrix

লাভ হিসাবে উল্লেখ করবে ঠিক কি। আমাদের

looks like. So, the channel matrix has a very interesting structure it is a n the dimensions of H r are always Nr cross Nt, since Nt is one we have an Nr cross 1 antenna in in this

পূর্বের আলোচনার কথা যদি আপনি মনে করেন, তবে আমরা বৈচিত্র্য লাভ হিসাবে উল্লেখ করেছি, এখন বৈচিত্র্য লাভ আসে কারণ এটি সংকেতটির শক্তিকে গড় হিসাবে গড়ায়

না তবে এই পরিমাণটি সমান 1 তবে সমান সময়ে

particular case. So, in the general case I just got Nr cross Nt in this particular case where there was only one transmit antenna and Nr receiver antennas, and the expression

কারণ এই সংকেত স্তরগুলি আপনি যা পাচ্ছেন তা হ্রাস করা হয় যখন ফেডিং(fading) উপস্থিত থাকে তখন শক্তিশালী সংকেতগুলির সুবিধা

would be h 11 the first index being the received signal received the first one being the transmitted

পাওয়া যায় । সুতরাং, এটি বৈচিত্র্য লাভ। সুতরাং, আমরা দেখতে পাই যে এমআইএমও চ্যানেলের লগ ডিট ক্ষমতার জন্য আমরা যে অভিব্যক্তিটি পেয়েছি তা সরাসরি পাওয়া যায়, আমরা

signal antenna, and the and the second index being the received antenna.

যখন ডাইভারসিটিটি ব্যবহার করি তখন আমরা যে অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করেছি তা

So, basically what we have is h21 h31 all the way to H Nr cross 1. So, basically there

সরাসরি সম্পর্কযুক্ত হয় কারণ আমরা যখন বৈচিত্র্য গ্রহণ করতাম তখন কি ছিল এটা? এটি মূলত আমরা একটি স্কেলার(scalar) 1 প্লাস আউট ছেড়ে দিতে পারেন। সুতরাং,

is one transmit antenna and Nr receive antennas and notice when we have h i j these indices it is from the jth transmit antenna to the ith receive antenna and there is only one

নির্ণায়ক সত্যিই একটি পার্থক্য করে না আমরা এই ছেড়ে দিতে পারেন। সুতরাং, এটি কিছুই না, তবে আনুমানিক বৈচিত্র্য লাভের জন্য অভিব্যক্তি দ্বারা SNR প্রদত্ত

transmit antenna. So, therefore, we have only one column for this and when we do H Hermitian

বৈচিত্র্য প্রাপ্তির উপর 1 টি প্লাস এসএনআর এর লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মূল্য যেখানে আপনার অ্যারে লাভ প্লাস বৈচিত্র্য লাভ আছে এবং এটি ঠিক যা আমরা আগে অর্জন

H important for us just write down that expression also. If you do H Hermitian H what we will

করেছি এবং এখন আমাদের এক্সপ্রেশনগুলি এমন এক্সপ্রেশনগুলির সাথে মিলেছে যা আমরা

get is summation i equal to 1 to Nr mod h i comma 1 modulo square. So, this would be

আগে পেয়েছি যেখানে এসএনআর বৈচিত্র্য ঠিক আছে সেক্ষেত্রে কার্যকর SNR বৈচিত্র্য প্রাপ্ত প্রসঙ্গে । সুতরাং, ডাইভারসিটি (diversity)সম্পূর্ণভাবে

লগ ডিট ক্ষমতার পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করে এবং

the expression for H Hermitian H. Now substituting this result in the expression what we get

দেখায় এবং দেখায় যে এটির অভিব্যক্তিটির সাথে আমরা আগে মিলিত করেছি। এখন আমরা

is expected value of logarithm base 2 of the determinant; now this H Hermitian H is the

দ্বিতীয় বিশেষ ক্ষেত্রে এই সামান্য বিট বিকাশ করতে চাই, দ্বিতীয় বিশেষ ক্ষেত্রে বৈচিত্র্য প্রেরণ করা হয়। সুতরাং, বিশেষ কেস

scalar. So, this is a scalar. So, the expression inside I Nt n t is one therefore, that is

নম্বর 2 এবং এটি বৈচিত্র্য প্রেরণের জন্য হবে। এখন আপনি ট্রান্সমিট বৈচিত্র্য জানেন

also. So, determinant of 1 plus sigma x squared by sigma n squared I have interchange the

হিসাবে একটি ক্ষেত্রে যেখানে আমরা একাধিক ট্রান্সমিটার আছে, কিন্তু সম্ভবত শুধুমাত্র এক রিসিভার। সুতরাং, এন এনটি 1 এর সমান

order I Nt comes out as 1, this one becomes summation i equal to 1 through Nr, summation

একের অধিক, আমরা সেই বিশেষ ক্ষেত্রে নেব। সুতরাং, সেই ক্ষেত্রে H এর মাত্রা 1 ক্রস

h of i comma 1 magnitude square logarithm of this and expected value ok. So, this is

এনটি এবং তাই, এই কাঠামোর উপর ভিত্তি করে আমরা লগআউট ক্ষমতার জন্য সূত্র A ব্যবহার করব, কারণ এটি সেই ক্ষেত্রে অনুরূপ, যখন এন্টেনা

the expression that we have. Now I would like you to pay following a very

প্রেরণের সংখ্যা বৃহত্তর হয় প্রাপক অ্যান্টেনা সংখ্যা তুলনায়। সুতরাং, এই সূত্রের অধীন আমরা সি দ্বারা

careful attention for the following aspect of the discussion. Now in the general case the number of transmit antennas is Nt, and if the variance of the signal transmitted

বি পেতে পারি, সিগমা এন স্কয়ারেড এইচএ এইচ হার্মিটিয়ান প্লাস আমি এনআর দ্বারা সগমা এক্স স্কয়ারের লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মানের সমান। সুতরাং, এই লগারিদমটি আমি

in each of the antennas. So, is sigma x squared. So, this is the single variance at transmitter.

নির্ধারণ করতে ভুলে গেছি যে এটি নির্ধারণ করতে হবে। সুতরাং, এটি এক্সপ্রেশনগুলির

So, this is the number of antennas and you can think of this as these power of the signal

নির্ধারক এর লগারিদম বেস 2, এবং আমি এটি বিভিন্ন রং দিয়ে লিখি, এই ফর্মের লগারিদমটির সংজ্ঞায়িতকারী এবং এই ফর্মটি আমাদের

transmitted of the signal transmitted per antenna per antenna and sigma n square is

কাছে রয়েছে। B. এখন আমি লিখতে চাই এইচ মত দেখায় কি নিচে। এইচ এক একটি এন্টেনা একাধিক প্রেরণ অ্যান্টেনা প্রাপ্ত। সুতরাং, এটি এইচ 11 প্রথম অ্যন্টেনা প্রথম প্রেরণ অ্যান্টেনা

the noise variance or the noise power noise variance. So, given this the total transmitted

প্রেরণ, এইচ 12 দ্বিতীয় ট্রান্সমিশন অ্যান্টেনা প্রথম এন্টেনা এইচ 1 কমা এনটি ট্রান্সমিট এনটিএন এনটি থেকে প্রথম এন্টেনা প্রেরণ থেকে সব প্রাপ্ত প্রাপ্ত।

এবং যদি আমরা এখন HH হার্মিটিয়ানের(Hermitian)

signal power is Nt times sigma x square, the total noise power in each antenna sigma n

করি তবে এটি হ'ল এনটি মোড এইচ 1 কোমা আই মড স্কয়ারের মাধ্যমে সমান সমান হতে পারে।

squared. Now, this is the signal to noise ratio based

সুতরাং, এইচ এইচ হার্মিটিয়ান নিম্নলিখিত ফর্ম

on the total transmitted power that each of the receive antenna sees divided by the noise,

নেয়। সুতরাং, এখানে এই এক্সপ্রেশন ব্যবহার করে আমরা এখন বুঝতে পারি যে এটি নিম্নোক্ত

and this we would like to represent in terms of the variable rho as the SNR variable. Now

অভিব্যক্তিটির সংজ্ঞাপক এর লগারিদম বেস 2 এর প্রত্যাশিত মানের সমান, যেখানে এটি 1 প্লাস সিগমা x বর্গ(squared) দ্বারা সিগমা n বর্গ(squared)

in our case Nt happens to be equal to 1. So, with Nt equal to 1, then rho is equal to sigma x squared by sigma n square. So, this parameter is nothing but rho and it very important for

হয় আমি N এর জন্য অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করেছি সিগমা এক্স স্কয়ার দ্বারা প্রথম স্থানে সিগমা এক্স বর্গক্ষেত্রের মধ্যে আসুন, এটি সমীকরণের সমান হবে, আমি 1 এনটি

মডুলাস(modulas) এইচ 1 কমা দ্বারা পরিমাপ করব। এখন, এই একটি স্কেলার(scalar) যে লক্ষ্য করুন। সুতরাং, আমরা এই অভিব্যক্তিটি সহজ করে তুলতে পারি

us to be able to characterize this expression. So, we will write it in the following form.

যে এটি লগারিদম এবং তারপরে বাইরের বাইরের প্রত্যাশিত মান, এবং আমরা এটি দেখাতে

So this is equal to expected value of logarithm base 2 of the determinant of a very important

পারি কারণ এটি একটি স্কেলার কারণ নির্ধারণকারী ভূমিকা পালন করে না। সুতরাং, নিচের ফর্মটিতে এটি লেখা যেতে পারে, এটি 1 প্লাসের

form, and the important form comes out to be 1 plus Nr times rho times 1 by Nr summation

লগারিদম বেস 2 এর মূল্যের প্রত্যাশিত; লক্ষ্য করুন যে যদি আমি এখন সিগমা এক্স স্কয়ারটি rho রূপে সিগমা এন স্কোয়ারে লিখতে চাই, তাহলে

i equal to 1 through Nr mod h i comma 1 whole square and the put in the brackets this is the expression for the determinant, the expression for the logarithm, and then the expected value

আমরা জানি যে rho nt বার(times) সিগমা x বর্গ(squared) দ্বারা সিগমা এন স্কয়ারে সমান। সুতরাং, সিগমা এক্স স্কয়ার দ্বারা সিগমা এন স্কোয়ারটি এনটি বিভক্ত rho হিসাবে লেখা যেতে পারে।

outside. So, what we have done is basically written this expression in terms of rho, and

সুতরাং, এটি এখন 1 প্লাস র্যাও হিসাবে লেখা যেতে পারে, 1 বার এনটি টাইম সংক্ষেপে আমি 1 এনটি মডেম এইচ 1 কমা আই পরিমান বর্গ মাধ্যমে 1 সমান। সুতরাং, বন্ধ বন্ধনী

we have also introduced the Nr and 1 by Nr and it is for a very specific purpose. Because

এবং তারপর আপনি প্রত্যাশা মান পেতে পারেন । এখন খুব গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যে আমরা স্মরণ

Nr times rho the SNR of one antenna multiplied by Nr, this tells me that this is the array

করি যখন আমরা বৈচিত্র্য প্রেরণ সম্পর্কে কথা বলি তখন আমরা বলেছি যে ট্রান্সমিট

gain. Array gain tells you that when I have Nr receive antennas it is like boosting my effective SNR by a factor of n. By the same token 1 by Nr times this summation

বৈচিত্র্য সিস্টেমগুলির অ্যারে লাভ নেই। লক্ষ্য করুন যে এখানে এসএনআর কোন অ্যারে লাভ নেই, কোন অ্যারে লাভ নেই তবে বৈচিত্র্য সিস্টেম প্রেরণ বৈচিত্র্য লাভ অর্জন করতে পারে।

সুতরাং, যদি আপনি লক্ষ্য করেন যে এই

is precisely what we would refer to as diversity gain. If you remember our earlier discussions this is what we referred to as the diversity gain, now the diversity gain comes in because

অভিব্যক্তিটি দেখায় বা দেখায় যে বৈচিত্র্যের জন্য কোন বিন্যাস লাভ নেই তবে বৈচিত্র্য লাভ উপস্থিত রয়েছে। সুতরাং, আমরা আমাদের বৈচিত্র্য প্রেরণ করার ক্ষেত্রে এই

not because it shifts the energy of the signal on average this quantity is equal to 1, but

ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ফলাফলগুলির আমাদের বোঝার ও উৎপাদনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

at given time because these signal levels are fluctuating what you are getting is the

তাই, ভাল জিনিসটি যা আমরা তৈরি করেছি

benefit of the stronger signals when there is fading is present. So, that is the diversity

তা হল লগ ডিট ক্ষমতা হিসাবে 2 বিশেষ ক্ষেত্রে

gain. So, we are able to see that the expression that we get for the log det capacity of a MIMO channel, on receive directly correlates to the expression that we have obtained when

সন্ধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; এক বৈচিত্র্য প্রাপ্তির সাথে অন্যটি প্রেরণ করে বৈচিত্র্য প্রেরণ করে এবং উভয় ক্ষেত্রেই আমরা দেখিয়েছি যে ফলাফলটি আমরা আগে

we were using receive diversity because when we were using receive diversity, what was

যা অর্জন করেছি তার সাথে সম্পূর্ণরূপে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সুতরাং, আমরা যা করেছি

it? It was basically we can leave out the this is a scalar 1 plus. So, the determinant

তা সংক্ষিপ্ত করে একটি MIMO চ্যানেলের ক্ষেত্রে, আমাকে প্রথম অঙ্কনে ফিরে

really does not make a difference we can leave out this. So, this is nothing, but expected value of logarithm base 2 of 1 plus SNR on receive diversity where SNR is given by the

যেতে দিন। আমরা নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশন Y হল এইচ এক্স প্লাস এন এর সমান, যখন আমরা ট্রান্সমিটারে চ্যানেলটি জানি আমরা সমান্তরাল বিচ্ছেদ(parallel decomposition) করতে সক্ষম হয়েছি। আমাদের ক্ষেত্রে

যখন ট্রান্সমিটারে চ্যানেলের জ্ঞান

expression for a receive diversity system, where you have array gain plus diversity gain

না থাকে তখন আমরা ক্ষয়ক্ষতির ক্ষমতা অনুমান করেছি। আমরা এক্সপ্রেশনটির দুটি সংস্করণ পেয়েছি যখন ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাসের সংখ্যা অ্যান্টেনা প্রাপ্তির সংখ্যা

ছাড়িয়ে গেছে, এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে,

and this is exactly what we had obtained earlier and our expressions now are matching the expressions

যখন আমরা NR এর সমান 1 হলে কেবলমাত্র বৈচিত্র্য

that we had obtained previously where the SNR is the effective SNR in the context of

প্রেরণ করি এবং আপনার একাধিক ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা থাকে। অন্যদিকে একটি বিকল্প

receive diversity ok. So, diversity on receive completely explained

সংস্করণ(alternate version )যা আমাদেরকে একই সংখ্যাসূচক মান দেয়, কিন্তু এনটিটি তুলনায় কম

in terms of the log det capacity, and showing and shown that it matches the expression that

নয় এমন ক্ষেত্রে আমাদের অভিব্যক্তিটির সাথে অভিব্যক্তিটি আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ।

we have derived earlier. Now we would like to develop this little bit more for the second

এই ক্ষেত্রে যখন আপনি বৈচিত্র্য পেয়েছেন এবং আমরা দেখিয়েছি যে এই ক্ষেত্রেও এটি সম্পূর্ণরূপে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেখানে আপনি সর্বোচ্চ অনুপাতটি এক্সপ্রেশন

special case, the second special case is transmit diversity.

টাইপ মিশ্রন করেন। সুতরাং, 2 বিশেষ ক্ষেত্রে

So, special case number 2 and this will be for transmit diversity. Now as you know transmit diversity is a is a case where we have multiple transmitters, but possibly only one receiver.

এবং তারপরে অবশেষে আমরা এখন এই চূড়ান্ত অভিব্যক্তিটি পেয়েছি। সুতরাং, আমরা এখন এমআইএমও চ্যানেলের ক্ষমতার পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের আলোচনা শেষ করতে চাই। এখন গুরুত্বপূর্ণ

উপাদানগুলির মধ্যে একটি হল কিভাবে আমরা কোডিং(coding) এবং একাধিক অ্যান্টেনাগুলিকে

So, n Nt is greater than one Nr equal to 1 we will take that particular case. So, in

একত্রিত করি এবং এটি আমাদের আলোচনার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। সুতরাং, আমাকে এই বিশেষ বিভাগের চূড়ান্ত

that case the dimensionality of H is 1 cross Nt and the so, based on this structure we will use the formula A for the log det capacity, because that is the one that corresponds to

অংশটি পরিচয় করিয়ে দিতে, যেখানে আমরা MIMO সংক্রমণ এবং কোডিং ঠিক দেখতে চাই। এবং এটি আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ অংশ এবং এটি এমন একটি বিষয় যা আপনার কাছে

ঘনিষ্ঠভাবে মনোযোগ দিতে হবে তা খুবই

the case when the number of transmit antennas greater than the number of receive antennas.

গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং, আসুন কিছু MIMO ট্রান্সমিশন প্লাস কোডিং দেখুন। আসুন আমরা কয়েকটি

So, under this sum under this formula we get C by B equal to expected value of logarithm base 2 of sigma x squared by sigma n squared H H Hermitian plus I Nr. So, this is the logarithm

সাধারণ উদাহরণ গ্রহণ করি, কিন্তু এর আগে আমাকে সংকেত পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক। সুতরাং, যদি আপনার নিম্নলিখিত দৃশ্যকল্পটি থাকে তবে আমার এনটি ট্রান্সমিট অ্যান্টেনা

রয়েছে যা এনটিএন নম্বর 1 প্রেরণ করে, একইভাবে এনটি নম্বর অ্যান্টেনা প্রেরণ

I have forgotten to write the determinant I need to shift this. So, it is logarithm

করার সমস্ত উপায়, এবং আমরা অনুমান করি যে আমাদের কেবলমাত্র সংকেতটির সরলীকরণের জন্য কেবলমাত্র একমাত্র অ্যান্টেনা পেয়েছে । সুতরাং, প্রথমটি

অ্যান্টেনা পায় এবং এটি আমাদের জানাবে যে চ্যানেলগুলি এখন আমি কেবলমাত্র একটি

base 2 of the determinant of the expressions, and let me just write it with different colours,

সূচকের পরিপ্রেক্ষিতে এটি লিখতে পারি এটি হল চ্যানেল এইচ 1, এবং এই প্রতিটি অ্যান্টেনা আমাকে একটি চ্যানেল দেবে এবং এটি চ্যানেল

determinant of this form logarithm of this and

এইচ এনটি। এখন আমি এন ইনপুট বিভিন্ন সেট প্রেরণ করবো । সুতরাং, মূলত ইনপুট নম্বর এক ইনপুট 1 এটি প্রতিটি সময় ইনস্ট্যান্সের

this is the form that we have of the expression B. Now I would like to write down what H looks like. H is one receive antenna multiple transmit antennas. So, it looks like h11 first transmit

জন্য ইনপুট এনটি হবে। সুতরাং, অন্য কথায় আমরা ম্যাট্রিক্স(matrix) লিখতে যাচ্ছি যেখানে আমি অ্যান্টেনা 1 এ প্রেরণ করেছি তা নির্দেশ করে যাচ্ছি, আমি অ্যান্টেনা 2

antenna to the first receive antenna, h12 second transmit antenna to the first receive antenna all the way to h1 comma Nt from transmit antenna Nt to the first receive antenna. And if we now do H H Hermitian this comes out to be equal to summation i equal to one

এ প্রেরণ করেছি যা অ্যান্টেনা এনটি এবং এক্স অক্ষের সব পথের সময় হবে এটি সময় সমান হবে 1, এন সমান 2 এবং তাই হতে থাকে । সুতরাং, এটি এক্সটেনশান

through Nt mod h 1 comma i mod square. So, H H Hermitian takes the following form. So,

1 এ ইনস্ট্যান্ট 1 থেকে তাত্ক্ষণিক 1 এ এক্সটেনশানযুক্ত এক্স, অ্যান্টেন 1 থেকে এক্স তাত্ক্ষণিক সংখ্যা 2 এ এবং যদি এন টাইম ইনস্ট্যান্স n বড় হাতের অক্ষরের

using this expressions in here we now obtain that this is equal to expected value of logarithm

সমান n হয় তবে এটি অ্যান্টেনা থেকে 1 পর্যন্ত তাত্ক্ষণিক হওয়া উচিত এন। একইভাবে

base 2 of the determinant of the following expression, where it is 1 plus sigma x squared

অ্যান্টেনা 2 থেকে এটি x 2 কমা 1, x 2 কমা 2, x 2 কমা এন এবং সবশেষে, আমরা Nt কমা 1 Nt কমা 2

by sigma n squared again I have use the expression for Nr to come into the first place sigma

টি এনটি কমা এন-এর সমস্ত উপায়ে দেখি। সুতরাং, এটি আমাদের ম্যাট্রিক্স যা যুক্ত(combine)

x square by sigma n square this will be equal to summation i equal to 1 through Nt mod h1

সমস্ত প্রেরিত সংকেত সংগ্রহ করে। সুতরাং, এই সমগ্র ভেক্টরটি তাত্ক্ষণিক নম্বর 1 এ প্রেরিত হয় এবং পরবর্তী এবং ভেক্টরটি

comma i magnitude squared. Now, notice that this is also a scalar. So,

তাত্ক্ষণিক সময়ে 2 এবং প্রেরিত হয়। সুতরাং, উপর এবং তাই ব্লক পর্যন্ত। সুতরাং, আমরা এখন এই ম্যাট্রিক্সটি

then we can simplify this expression this is determinant this is the logarithm and then

যা এনটি ক্রস এন, এটি সময় অন্তর সংখ্যার

outer is the expected value, and we can show that because it is a scalar the determinant

সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং আমরা এটি ব্লকের ব্লক দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্য হিসাবে উল্লেখ করতে পারি। সুতরাং, এন এনটিএনএ এবং ব্লকের

does not play role. So, this can be written in the following form, this is expected value

দৈর্ঘ্য এন। সুতরাং, আমরা যে প্রেরণ করি এই ম্যাট্রিক্সটি আমরা যা প্রেরণ করছি

of logarithm base 2 of 1 plus; notice that if I were to now wanting to write this sigma

তা কোড শব্দ হিসাবে আমরা উল্লেখ করি; সুতরাং, কোড শব্দ বা তথ্য প্রেরণ করা

x square by sigma n square in the form of rho then we know that rho is equal to Nt times

হচ্ছে যে। এখন কিভাবে এই ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাচ্ছে? এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ উপাদান এবং এটি আমাদেরকে যা বিভিন্ন বিষয়গুলি

sigma x squared by sigma n squared. So, sigma x squared by sigma n squared can be written

আমরা দেখতে যাচ্ছি তা দিতে যাচ্ছি। তাই, রিসিভারে আমরা যে ফর্মটি লিখতে

as rho divided by Nt. So, this can be now written as 1 plus rho, 1 by Nt times summation

আগ্রহী তা ইনপুট আউটপুট সম্পর্ক, যা আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে লিখতে পারি। সুতরাং, আসুন আমরা দেখি কিছু ক্ষেত্রে কীভাবে আমরা ইতিমধ্যে অধ্যয়ন করেছি। সুতরাং,

প্রথমে আলমৌতি মামলাটি(Alamouti case) দেখুন। আলমৌতি

i equal to 1 through Nt mod h1 comma i magnitude square.

কেস এক যেখানে আমরা 2 ম 2 ম্যাট্রিক্স

So, close bracket and then you get the expectation. Now very important result that we if you recall when we talked about transmit diversity we said that transmit diversity systems will

হিসাবে এই ম্যাট্রিক্সটি প্রেরণ করি, আমরা এন্টিনা থেকে S1 টি প্রতীক প্রেরণ করি, এবং তাত্ক্ষণিক সময়ে 2 আমরা S2 প্রেরণ করি। সুতরাং, এই অ্যান্টেনা 1 এবং এটি অ্যান্টেনা

not have array gain. Notice that the SNR here is no array gain, there is no array gain but

2, এবং আমরা বিয়োগ S2 কংজুগেটে(conjugate) এবং S1 কংজুগেটে(conjugate) প্রেরণ করে এবং তারপর এই

transmit diversity systems can achieve the diversity gain. So, if you notice that this

পুনরাবৃত্তি। সুতরাং, এই কোড শব্দ বা কোড ম্যাট্রিক্স প্রেরিত হয়। সুতরাং, যদি

expression allows or shows that there is a provision for the diversity gain no array gain, but diversity gain is present. So, this is also consistent with our understanding

আপনি এটি বর্ণনা করতে থাকেন তবে আলমৌতি কেসটি এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে আমাদের 2 সমান এনটি সমান এবং 2 বারের ক্ষেত্রে এন 2 সমান

and derivation of the results that we had obtained for the case when we have only transmit diversity. So, the good thing is whatever we have derived

চিহ্নের সমান সংখ্যক ট্রান্সমিশন সমান সংখ্যক ট্রান্সমিট সমান। সুতরাং, 2 ট্রান্সমিট অ্যান্টেনাস 2 সময় দৃষ্টান্ত 2 স্বতন্ত্র প্রতীক প্রেরণ করা

as the log det capacity can be used to derive look at 2 special cases; one with receive diversity the other one with transmit diversity and in both cases we have shown that the results

হয়। সুতরাং, সেই সময়, যা সময় সংখ্যার দ্বারা প্রেরিত প্রতীকগুলির সংখ্যা 1 এর সমান। সুতরাং, আলমৌতি কেস এমন একটি ক্ষেত্রে

are completely consistent with what we had derived earlier. So, to summarize what we

যেখানে আপনার হারের কোড রয়েছে যেখানে আপনি 2 বারের বারে 2 টি চিহ্ন প্রেরণ

have done is in the case of a MIMO channel, let me go back to the first drawing. We have

করছেন, এবং আপনি আলমুটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে উপস্থিত দ্বিতীয় অর্ডার বৈচিত্র্য অর্জন করতে সক্ষম হন। এখন অনুরূপ কেস,

the following expression y is equal to H x plus n, when we know the channel at the transmitter

কিন্তু আমরা পুনরাবৃত্তি কোড যখন একটি সহজ এক; এর অর্থ হল, প্রথমত আমরা অ্যান্টেনাতে

we been able to do the parallel decomposition. When we have the case where we do not have

প্রতীকটি এন্টেনা 2 তে কোনও প্রেরণ করি না, এবং তারপর আমরা পরের তাত্ক্ষণিক

knowledge of the channel at the transmitter then we have estimated the ergodic capacity.

সময়ে অ্যান্টেনা থেকে একই প্রতীক

We have obtained 2 versions of the expression one when the number of transmit antennas exceeds

প্রেরণ করি এবং অ্যান্টেনা 1 এ কিছুই না। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স S1 হবে এবং অ্যান্টেনা

the number of receive antennas this is a special case, when we have just transmit diversity

2 এ তাত্ক্ষণিক সময়ে 2। সুতরাং, এটি অ্যান্টেনা

when Nr is equal to 1 and you have multiple transmit antennas.

সংক্রমণের সংক্রমণ, এটি অ্যান্টেনা জোড়া

On the other hand there is an alternate version which gives us exactly the same numerical value, but the expression is more consistent with our intuition for the case where Nt is

ট্রান্সমিশন সময় তাত্ক্ষণিক নম্বর, এন্টেনা 2 এ কোনটিই না এবং তারপরে দ্বিতীয় বার অ্যান্টেনা 1 এবং S1 এ তাত্ক্ষণিক কিছুই নেই। সুতরাং, মূলত আপনার

less than Nr. This the case when you have receive diversity and we have shown that this

কাছে আছে সম্পন্ন পুনরাবৃত্তি সংক্রমণ

also is completely consistent with the case where you do maximal ratio combining type

1 এবং অ্যান্টেনা 2 এ সংক্রমণ। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে আমাদের 2 সমান অ্যান্টেনা

of expressions. So, the 2 special cases and then finally that we now have this final expression.

ট্রান্সমিশন সংখ্যা, 2 সমান ব্লক দৈর্ঘ্যের বার বার সংখ্যা, প্রেরিত প্রতীকগুলির সংখ্যা

So, with we would now like to conclude our discussion in terms of the capacity of the MIMO channels. Now one of the important elements is how do we combine coding and multiple antennas

1 সমান। সুতরাং, এটি হল আলমৌতি পরিকল্পনার মতো কার্যকর নয় কারণ এটি এক অর্ধেক মাত্র অর্জন করেছে, তবে অবশ্যই, একই বৈচিত্র্য দ্বিতীয় ক্রম বৈচিত্র্য রয়েছে। সুতরাং,

and that is a very important element in our discussion. So, let me introduce the final part of this particular section, where we would like to

সংক্ষেপে আমরা যা করার চেষ্টা করছি তা হল আমরা যতটা সম্ভব উচ্চ হার চাই এবং একইসাথে ভাল বৈচিত্র্য পদ্ধতি অর্জন করতে

look at MIMO transmission and coding ok.

চাই। সুতরাং, এখন, আমরা যা করতে চাই তা খুব দ্রুত এবং খুব সংক্ষিপ্তভাবে

And it is a very important result important section for us and definitely something that

বিস্ফোরণ কৌশল নামে পরিচিত সবচেয়ে জনপ্রিয় কৌশলগুলির ধারণাটি উপস্থাপন করে। সুতরাং, বিস্ফোরণ আর্কিটেকচারগুলি(blast

you should pay close attention to. So, let us look at some of the MIMO transmission plus coding. Let us take a couple of simple examples, but before that let me introduce the notation.

architectures) ল্যাবগুলি আকাশের স্থানের সময় আর্কিটেকচারগুলিকে ঘিরে ফেলে। এখন এই ছিল যে আর্কিটেকচার ছিল। তাই 1996 সালে বেল ল্যাব গবেষকদের দ্বারা গবেষণায় এটিকে বিস্ফোরণের

অর্থ দাঁড় করা হয়েছিল। এদের মধ্যে অনেকেই

So, if you have the the following scenario, I have Nt transmit antennas that is transmit

1996 সালে ফসচিনির একটি প্রবন্ধ উপস্থাপন করেছিলেন। এখন এখানে কিছু মৌলিক অনুমান এবং একটি বিস্ফোরণের পদ্ধতির গঠন রয়েছে। সুতরাং, আমাদের ইনপুট ডেটা

antenna number 1, similarly all way to transmit number antenna number Nt, and let us assume

আছে বলে ধরে নেওয়া যাক যে এটি বাইনারি তথ্য এবং আমাদের 4 টি অ্যান্টেনা রয়েছে। সুতরাং, আমরা 4 এর ফাংশন দ্বারা একটি ডিমাল্টিপ্লেক্সিং(demultiplexing) করতে যাচ্ছি; 1 ডেমাল্টিপ্লেক্স

that we are having only one receive antenna just for simplification of the notation. So, the first receive antenna and this will tell us that the channels now I can write

4 হয়। সুতরাং, আমরা 4 সমান্তরাল শাখার ডেমাল্টিপ্লেক্সার থেকে বের হব 1 টি 4 ডেমুলিপ্লেক্সার। সুতরাং, এই একটি ডিমাল্টিপ্লেক্সিং(demultiplexing) হয়। এখন এই প্রতিটি

it in terms of just one index this is channel h 1, and the each of these antennas will give

সাব স্ট্রিমগুলির প্রক্রিয়া করা হচ্ছে যা এনকোডিং এবং মডুলেশনয়ের সংমিশ্রণ দ্বারা প্রক্রিয়া করা হচ্ছে। সুতরাং, এটি মডিউলেশন

me a channel and this is channel h Nt. Now if I were to transmit the different sets of

ব্লক নম্বর 1 এনকোডিং হয় এবং তারপরে আমাদের মডিউলেশন ব্লক নম্বর 2 ব্লক নম্বর 3 এবং

n inputs. So, basically input number one input 1 this would be input Nt for each of the time

ব্লক নম্বর 4 এনকোডিং আছে। লক্ষ্য করুন আমরা ইতোমধ্যে স্ট্রিমগুলিকে পৃথক করেছি এবং এই প্রতিটি স্ট্রিমগুলি আমরা অন্যদের থেকে স্বাধীনকরণ মডিউলিং এনকোডিং করি এবং

instances. So, in other words we are going to write down the matrix where I indicate

সাধারণত আমরা এনকোডিং বা কনভোলিউশনাল কোড

what I have transmitted on antenna 1,what I have transmitted on antenna 2 all the way

হিসাবে এনকোডিং পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।

to antenna Nt and the x axis will be the time this is time n equal to 1, n equal to 2 and

সুতরাং, এটি প্রচলিত কোডিং উদাহরণ হিসাবে আমরা ক্রান্তীয় কোডগুলি বা ব্লক কোডগুলির যে কোনও স্ট্যান্ডার্ড কোডগুলির সাথে পরিচিত হব। সুতরাং, আমরা স্ট্যান্ডার্ড

কোডগুলি ব্যবহার করছি এবং আমরা একাধিক

so on. So, this is x of the signal transmitted at

প্রবাহে ডেটা আলাদা করেছি, এবং আমরা বিভিন্ন অ্যান্টেনাগুলির মধ্য দিয়ে প্রেরণ

from antenna 1 at time instant 1, x from antenna 1 at time instant number 2 and if there are n time instances n is equal to uppercase n this should be from antenna 1 up to time instant

করব। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে যেখানে আমরা 4 অ্যান্টেনা 1 এর গঠন 4 এর জন্য গঠন করেছি এবং আমরা দেখব যে মাঝখানে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ

n. Similarly from antenna 2 it will be x 2 comma 1, x 2 comma 2, all the way to x 2 comma

ব্লক রয়েছে যা আমাদের জন্য বেল ল্যাবসের কাঠামোর অংশ হিসাবে উপকারী। সুতরাং, এটি এমন ব্যবস্থা যা আমরা অ্যান্টেনা

n and finally, when we look at Nt comma 1 Nt comma 2 all the way to x of Nt comma n.

প্রেরণ করেছি এবং এটি এমন একটি ফর্ম যা একটি চক্রযুক্ত সমিতি যা মূলত এটি একটি সুইচের মত যা একটি অ্যান্টেনা থেকে ইনপুট সংকেতগুলি অন্য দিকে সরিয়ে

So, this is our the matrix which comb which collects all the transmitted signals. So, this entire vector is transmitted at time instant number 1 and the next and vector transmitted

রাখে। সুতরাং, এই সাইক্লিক অ্যাসোসিয়েশন(cyclic association.) বলা হয়। সুতরাং, বৃত্তাকার সুইচ(circular switch )এবং আমরা ট্রান্সমিশন যখন আসলে কি কি প্রদর্শন

at time instant 2 and. So, on and so forth up to n block. So, we now have this matrix which is Nt cross n, this corresponds to the number of time intervals and we can also refer to it as the block length length of the block. So, Nt antennas and block length equal to n. So, this matrix that we transmit is what we refer to as the

করবে। সুতরাং, মূলত এমআইএমও সংক্রমণের সহজ রূপগুলির মধ্যে একটি হল বিস্ফোরণ কৌশল যা প্রথম 1996 সালে চালু করা হয়েছিল, দেখায় যে আমরা খুব উচ্চ বর্ণালী দক্ষতা

code word that we are transmitting; so, the code word or the information that is being transmitted. Now how is this matrix going to be generated? That is a very key element and that is what is going to give us the different cases that we are going to be looking at. So, at the receiver what we can write down in the form that we are interested in is the

অর্জন করতে পারব। আসলে, এমনকি আপনি দেখিয়েছেন যে প্রতি সেকেন্ডে 40 বিট প্রতি সেকেন্ডের উচ্চতা অর্জন করতে পারেন, এই কাঠামো ব্যবহার করে খুব উচ্চ বর্ণালী

input output relationship, which we can then write down in the following manner. So, let us see how to look at some of the cases that we have already studied. So, first let us look at the Alamouti case. Alamouti case is one where we transmit this matrix

দক্ষতা। এখন আমরা যা করতে চাই তা এখানে

as a 2 by 2 matrix, we transmit symbol S1 from antenna one, and in the time instant 2 we transmit S2 and. So, this is antenna 1 and this is antenna 2, and we transmit minus S2 conjugate and S1 conjugate and then this repeats. So, this is the code word or the code matrix that is transmitted. So, if you were to describe this the Alamouti case is

থেকে বাছাই করা এবং মূলত এই এনকোডিং প্রক্রিয়াটি কীভাবে বর্ণনা করা হয় তা এই চকচকে সমিতি কী এবং এটি কীভাবে বৈচিত্র্যের

a case where we have Nt equal to 2 and in 2 time instances n equal to 2 number of symbols

সুবিধা পাওয়ার ক্ষেত্রে সিস্টেমের কর্মক্ষমতা

transmitted is equal to 2 number of transmit ok. So, 2 transmit antennas 2 time instances 2 distinct symbols are transmitted. So, therefore, the rate which is the number of symbols transmitted by the number of time instances is equal to

অর্জনের ক্ষেত্রে এটি উপকৃত হয়? , কিন্তু আমাদের ডেটা হার বাড়ানো যা আমাদের

1. So, the Alamouti case is a case where you have a rate one code where you are transmitting

জন্য উচ্চতর বর্ণালী দক্ষতা অর্জন করবে

2 symbols over 2 time instances, and you are able to achieve the second order diversity that we have shown is present in the case of an Alamouti system. Now similar case, but a simpler one when we do repetition code; that means, first we transmit the symbol on antenna one nothing on antenna 2, and we then in the next instant of time we transmit the

যা এখানে আমরা দেখেছি। সুতরাং, টমোরোভা বক্তৃতা স্পেস টাইম কোডগুলির বিষয়ে একটি সংক্ষিপ্ত ভূমিকা বা সংক্ষিপ্ত ভূমিকা

same symbol from antenna 2 and nothing on antenna 1. So, in this case the matrix would be S1 and nothing on antenna 2 at time instant 2. So, this is antenna ones transmission, this is antenna twos transmission time instant number one nothing on antenna 2 and then second time instant nothing on antenna 1 and S1 on antenna 2.

পালন করবে, এবং আমি শুধু যেটি ব্যবহার করেছি তা বেশ কয়েকটি মার্জিত মেথ পদ্ধতির(elegant

So, basically you have done repetition transmission on 1 and transmission on antenna 2. So, in this case we have number of transmit antennas equal to 2, number of time instances of block length equal to 2, number of symbols transmitted is equal to 1. So, this is not as efficient as the Alamouti scheme because this one achieved only a rate of one half, but of course, has

meth

the same diversity second order diversity. So, in a nutshell what we are trying to do is we would like to have the rate as high as possible and at the same time achieve good diversity methods. So, now, what we would like to do is very quickly and very briefly introduce the concept of what is one of the most popular techniques called the blast techniques.

So, the blast architectures bell labs layered space time architectures. Now these were the architectures that were. So, this is what stands for blast this was introduced in 1996 by researchers at bell labs several of them one of the pioneering papers was by Foschini in 1996. Now, here are some of the basic assumptions

and the structure of a blast method. So, we have input data let us assume that this is binary data and we have 4 antennas. So, we are going to do a demultiplexing in by factor of 4; 1 is to 4 demultiplex. So, we will get 4 parallel branches coming out of the demultiplexer 1 is to 4 demultiplexer. So, this is a demux. Now each of these are going to be processed

each of these sub streams is going to be processed by an combination of encoding and modulation. So, this is encoding modulation block number 1, and then we have encoding modulation block number 2 block number 3 and block number 4. Notice we have already segregated the streams and each of these streams are we do modulation encoding independent of the others, and typically

we can use encoding or if encoding methods such as convolutional codes. So, it is conventional coding as example will be convolutional codes or block codes any of the standard codes that we are familiar with. So, we are using standard codes and we have separated of the data into multiple streams, and we will transmit through the

methods )উল্লেখ এবং আমরা যে শক্তিশালী ফলাফলগুলি

different antennas. So, this is the case where we have design the structure for 4 antennas 1 is to 4 and we will see that there is a very important block in the middle which is useful for us in as part of the bell labs structure. So, this is the arrangement that we have transmit antennas and this is a form of something that does cyclic association

অর্জন করতে পারি তা উল্লেখ করেছি এমআইএমও ফ্রেমওয়ার্কের উপর নির্মিত স্পেস

basically it is like a switch that keeps shifting the input signals from one antenna to the other. So, this is called cyclic association. So, like circular switch and we will show

what that actually does when we do the transmission. So, basically one of the simple forms of the MIMO transmission is the blast technique which was first introduced in 1996, showed that we could achieve very very high spectral efficiencies. In fact, was even shown that you can have achieved as high as 40 bits per second per hertz, very very high spectral efficiencies

টাইম কোড, আমরা যে আমরা অধ্যয়নরত। সুতরাং, এমআইএমও প্রযুক্তিতে আমাদের

using this structure. Now what we would like to do is pick it up from here and basically describe what is the encoding process what is this this cyclic association and how does it benefit as in terms of achieving the performance of the system, in terms of getting the diversity benefit, but also getting increase data rates which is what will achieve for us the high

আলোচনা শেষ হবে, এবং তারপর পরবর্তী বিষয়

spectral efficiency that we are seen here ok. So, the tomorrows lecture will be a brief introduction or brief introduction to the

topic of the space time codes, and just an I just mention of what are some of the elegant meth methods that I use, and the powerful results that we can achieve with the space time codes which are built on the MIMO framework, that we are we have been studying. So, that will conclude our discussion on MIMO techniques, and then move as into the next topic which

হিসাবে যা সরানো হবে অফডম(OFDM) কৌশল।

will be OFDM techniques. Thank you.

ধন্যবাদ.