More Maths Trolling singingbanana Czech English

More Maths TrollingYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 157.1K views 4.1K likes 36 dislikes 04 Apr 2013 Show Contributors 2

singingbanana 228K subscribers United Kingdom YouTube↗

Contributed subtitles

Dutch Angela Flierman

Czech Michaela Kahounová

Click to Play Video

Hello, everyone!

Mám pro vás dneska další video na téma matematického trolení.

I've got another maths trolling video for you today.

Bude poněkud jiné,

It's going to be slightly different

než je video na tohle téma od MinutePhysics,

to the maths trolling video by MinutePhysics,

protože tady bude jiný trik.

because it's going to be a different trick,

A matika bude o něco náročnější, ale to zvládneme!

and the maths is going to be a little bit more hard-core,

Začnu něčím celkem snadným.

but we'll cope! I'm going to start with something quite simple:

Vezmu si součet

I'm going to take the sum

na střídačku kladných a záporných zlomků...

of alternating fractions--

To bude jedna mínus jedna polovina,

So it's going to be one minus a half,

plus jedna třetina, mínus jedna čtvrtina,

plus a third, minus a quarter

plus jedna pětina, mínus jedna šestina, plus...

plus a fifth, minus a sixth, plus--

...a takhle až do nekonečna.

and you do that forever.

Tenhle součet nazvu S.

So I'm going to call that sum of alternating fractions S.

Teď zkusíme spočítat hodnotu S.

Now we're going to try and work out the value of S.

Už hodnotu S znám,

I already know what the value of S is,

ale neřeknu vám ji rovnou.

but I'm not going to tell you straight away.

To si nechám na později.

I'll save that.

Zkusme použít řadu zlomků

Let's use this series

k vypočítání hodnoty S.

to work out the value of S.

Nebudeme je ale přičítat jeden po druhém.

Now, we're not just going to add it term by term.

To by nefungovalo.

That's not going to work!

Takže nejdřív trochu zamíchám pořadím prvků.

So, I'm going to rearrange the terms first.

Vezmu si celou tu řadu

So I'm going to take that series,

a změním pořadí prvků tak,

I'm going to rearrange the terms,

aby vypadalo nějak takhle.

so it looks like this,

Snad v tom vidíte,

and hopefully you can see

že se pořád jedná o tu samou řadu.

that that's exactly the same thing.

Všechny tam jsou,

All the terms are there--

já jsem je pouze přemístil.

I've just rearranged them.

Umístil jsem je speciálním způsobem do závorek.

Now, I've bracketed them

Pokud vidíte první závorku, tak v ní mám

in a special way So, if you can see in the first bracket

jedna mínus jedna polovina,

I've got one minus a half,

což můžu zjednodušit na jednu polovinu.

so I'm going to simplify that down to a half.

Ve druhé závorce mám jedna třetina mínus jedna šestina,

In the second bracket, I've got a third minus a sixth,

což můžu zjednodušit na jednu šestinu,

so I'll just simplify that down, so it's a sixth,

což je správně.

A ve třetí závorce mám

And then in the third bracket,

jedna pětina mínus jedna desetina,

you can see I've got a fifth minus a tenth,

což zase zjednoduším na jednu desetinu.

so I'll simplify that to a tenth,

and you'll do that forever.

Všimněte si, že všechny zbylé zlomky jsou sudé.

Now you might notice that all the fractions are even.

Takže vytknu jednu polovinu,

So I'm going to take out a factor of a half.

což samozřejmě udělat můžu.

I'm allowed to do that.

Když vytknu jednu polovinu,

So I'll take out a factor of a half,

dostanu další součet zlomků,

and what I get is another sum

u kterých se střídá znaménko.

of alternating fractions again.

A to je moje původní řada, to je S.

So that's my original series again--that's S.

Takže mi vychází, že se S rovná polovině S.

So what I've got is S is equal to 1/2 S,

A to dává smysl, pokud se S rovná nule.

which is fine, if S is equal to zero.

S se tedy musí rovnat nule.

So S must be equal to zero.

Problém ale je,

že jsem věděl dopředu, čemu se součet rovná.

I already knew what the sum was equal to.

Součet zlomků se střídajícím se znaménkem

That alternating sum of fractions

se vlastně rovná přirozenému logaritmu dvou.

is actually equal to the natural log of 2.

Pokud si nejste jisti, kolika se přirozený logaritmus dvou rovná,

If you're not familiar with the natural log of 2, don't worry

nevěšte hlavu, je to 0,693.

that's equal to 0.693.

A to se rozhodně nerovná nule.

And it's not equal to zero.

Tenhle vzorec pro výpočet přirozeného logaritmu dvou je správný.

Now, that formula for the natural log of 2 is correct--

Věřte mi, když vám říkám, že se to rovná 0,693.

I'm telling you that is 0.693,

...takže co jsme udělali špatně?

so what's gone wrong?

Tenhle součet zlomků se střídajícím se znaménkem je ve skutečnosti

So this sum of alternating fractions is actually

konvergentní posloupnost.

a convergent series.

A ta posloupnost konverguje k přirozenému logaritmu dvou.

And it's converging to the log of 2.

Pokud vás zajímá, proč konverguje k přirozenému logaritmu dvou,

If you're interested in why it's converging to the log of 2,

tak mám pro vás vzorec pro přirozené logaritmy,

there's actually a formula for natural logs,

který přidám do popisku videa.

which I'll put in the description.

Ale ano, konverguje k nějaké hodnotě.

But, it is--it's converging to a value.

Je to vlastně speciální typ konvergentní posloupnosti.

So it's actually a special type of convergent series.

Říká se jí podmíněná konvergence posloupnosti.

It's called a conditionally convergent series.

Myšlenka je v tom, že tyto posloupnosti konvergují,

The idea is these are series that converge,

ale mají kladné a záporné výrazy.

but they have positive and negative terms.

Pokud proměníte záporné výrazy ve výrazy kladné,

And if you turn the negative terms

tak posloupnost přestane konvergovat.

into positive terms, the series doesn't converge anymore.

V našem příkladě

So, in our example,

jsme měli tento součet zlomků se střídajícím se znaménkem.

we had this sum of alternating fractions.

Pokud všechny záporné zlomky proměníme v kladné zlomky,

If we turn all the negative fractions into positive fractions,

dostaneme obyčejný součet zlomků.

then you just get a sum of fractions,

A tento součet velice pomalu diverguje k nekonečnu.

and that's actually very slowly diverging off to infinity.

Tohle byl jeden ze speciálních typů posloupností.

So it's one of these special types of series.

Tyto speciální posloupnosti

Now, these special series

mají svou větu.

have a theorem.

Jmenuje se Riemannova věta.

It's called Riemann Series Theorem,

Podstata této věty je,

and the idea of the theorem is

že můžete přeházet výrazy v posloupnostech

that you can rearrange the terms

a říct o nich, že se rovnají čemu chcete.

of these series and you can make them equal anything that you want,

Což je úžasné, když nad tím zapřemýšlíte.

which is actually quite amazing when you think about it!

Můžete si vybrat hodnotu,

You can pick a value

můžete přeházet výrazy

you can rearrange the terms,

a můžete říct, že se tyto posloupnosti

and you can make these series

rovnají čemu chcete.

equal anything that you choose.

Ten trik je v tom,

So, the idea is--the trick is,

že skáčete kolem hodnoty (kterou jste si vybrali) čím dál, tím blíže.

you sort of zig-zag towards the value you've picked.

V našem případě

In our example,

jsem skákal kolem

I was zig-zagging towards

poloviny logaritmu dvou,

which is 0.346.

Takže prostě sečtete pár kladných zlomků,

So what you do is you add some positive terms,

takže se dostanete nad výslednou hodnotu (0,346),

so you sort of go over the value you picked--

pak odečtete pár záporných zlomků,

0.346-- then you take away some negative terms

takže se dostanete pod výslednou hodnotu.

so you go below the value,

Pak zase přičtete nějaké kladné zlomky,

then you add some more positive terms

dostanete se nad hodnotu,

so you go a bit above,

odečtete záporné zlomky,

then you take some negative terms,

dostanete se pod hodnotu,

so you go a bit below,

přičtete kladné zlomky,

and add some positive terms,

dostanete se nad hodnotu...

you go a bit above,

Postupně takhle skáčete kolem hodnoty,

and you're very slowly zig-zagging

a dostáváte se blíž a blíž výsledné hodnotě.

closer and closer to the value you've picked.

S tímto speciálním typem posloupností to můžete udělat vždy.

You can always do that for these special types of series.

Tento způsob skákání kolem hodnoty

And this idea of zig-zagging closer and closer

s postupným přibližováním se k hodnotě,

je definice konvergentní posloupnosti.

is exactly the definition of a convergent series.

Můžete přeházet zlomky

So you can rearrange the terms,

a nechat je konvergovat

and you can make them converge

k čemukoliv chcete.

to anything you've picked.

Což je podle mého názoru úžasné.

Which I do think is quite amazing!

Tohle je trochu jiný trik,

Now, this is a different trick

než byl ukázán v trollovacím videu od MinutePhysics.

to that maths trolling video done by MinutePhysics.

Když jsem to video viděl,

When I saw that video,

všiml jsem si komentářů pod ním,

I saw some comments underneath the video

které říkaly: "Řešení tohoto problému

that said, "Oh, the solution to this

najdeme pomocí aplikace Reimannovy věty."

is that it's an application of Riemann's Series Theorem."

Což zní dost dobře,

ale je to špatně!

very clever, but it's wrong!

And I saw that,

a řekl jsem si: "Ha! Někdo na internetu nemá pravdu!

and I thought, "Ha! Someone on the internet is wrong!

Musím ho opravit!"

I must correct them!"

Takže jsem to udělal teď.

So, I've done that now.

Moje práce tady skončila!

My work here is done!

Děkuji za pozornost,

And if you have been,

pokud jste sledovali.

thanks for watching.

Similar videos:

MinutePhysics Maths Trolling (Adding Past Infinity)
singingbanana
379.1K views 10.7K likes 148 dislikes 02 Apr 201337% match

Maths Problem: Two Trains One Fly
singingbanana
21.3K views 147 likes 4 dislikes 19 Jun 201029% match

ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
Numberphile
8.3M views 102.9K likes 0 dislikes 09 Jan 201428% match

Ramanujan Summation
singingbanana
276.5K views 7K likes 106 dislikes 01 May 201626% match

Finding the Right Guitar Tone with the Wrong Gear | Steve Stine | Amp Settings | Guitar Pickups
Steve Stine Guitar Lessons
8.8K views 476 likes 8 dislikes 30 Aug 201926% match

A Review: Mathematical Curiosities
singingbanana
21K views 453 likes 4 dislikes 01 Sep 200926% match

Ordering numeric expressions | Decimals | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
224.6K views 139 likes 20 dislikes 08 Apr 200725% match

VW T5 Windscreen Washer Jets not Working - Fixed
Lurgs How To Guides
23K views 111 likes 14 dislikes 12 Mar 201825% match

A Maths Puzzle: Trains
singingbanana
11.6K views 79 likes 1 dislikes 11 Sep 200925% match

Breuken Optellen
Erno Mijland
10.4K views 19 likes 11 dislikes 14 Dec 201225% match

A Maths Puzzle: Balls
singingbanana
13K views 115 likes 0 dislikes 22 Jul 200924% match

Maths Problem: Two Trains One Fly Solution
singingbanana
24.1K views 261 likes 1 dislikes 23 Jun 201023% match

Maths Puzzle: Back to Black
singingbanana
313K views 4.2K likes 110 dislikes 08 Jan 201222% match

A Maths Problem: Lasso the Earth
singingbanana
24.8K views 157 likes 4 dislikes 20 Feb 200922% match

The Maths of Christmas
singingbanana
25.3K views 358 likes 10 dislikes 19 Dec 200921% match

Simple Maths
singingbanana
63.4K views 634 likes 19 dislikes 15 Apr 201121% match

A Maths Puzzle: The Missing Square
singingbanana
55K views 256 likes 11 dislikes 24 Jan 201021% match

Maths Puzzle: Coins
singingbanana
48.2K views 338 likes 8 dislikes 31 Jan 201121% match

A Maths Puzzle: Find the nine digit number
singingbanana
113.4K views 275 likes 58 dislikes 09 Aug 200920% match

Maths Puzzle: Coins Solution
singingbanana
65.8K views 723 likes 18 dislikes 04 Feb 201120% match

Maths Puzzle: First to get a head solution
singingbanana
25.9K views 368 likes 5 dislikes 28 May 201120% match

Why I Do Maths
singingbanana
20.9K views 546 likes 4 dislikes 07 Nov 200820% match

A Maths Puzzle: Balls, Solution and The Chinese Remainder Theorem
singingbanana
13.9K views 150 likes 5 dislikes 24 Jul 200920% match

Settings Privacy About Contact Donate