Multivariable chain rule intuition Khan Academy Arabic English

Multivariable chain rule intuitionYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 63.4K views 377 likes 12 dislikes 20 May 2016

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

تعرفتم في الفيديو السابق على قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات.

- [Voiceover] So in the last video, I introduced this

multi-variable chain rule and here I want to

وسيقدم هذا الفيديو المزيد من الشرح عنها.

explain a loose intuition for why it's true,

why you would expect something like this to happen.

So the way you think about an expression like this,

لديكم هنا دالة متعددة المتغيرات،

you have this multi-variable function

وقد قمتم بتعويض بعض القيم فيها.

f of xy and you're plugging things in,

لهذا الدالة مدخلات ثنائية الأبعاد،

but just that function itself, you'll be

ويمكن التعبير عن ذلك من خلال النظام الإحداثي،

thinking of taking a two dimensional space

you know here's our xy plane,

أما المخرجات فيمكن التعبير عنها باستخدام خط الأعداد.

and then mapping it to, you know, just a real number line

and I'll think of this as f, as the output.

وكما ترون، فالدالة تنقل المدخلات ثنائية الأبعاد من

So somehow our whole function takes things from

هنا إلى خط الأعداد.

this two dimensional space and plugs it onto this output.

يمكن اعتبار T على أنها خط أعدادٍ أيضًا.

T you're thinking of just another

حيث تقوم الدالتين X وY

number line up here, so t, and then

you've got separate functions here,

بنقل المدخلات من هنا إلى هنا.

you know x of t and y of t.

X of t and y of t.

Each of which take that same value for

a specific input, you know it's not that

they're acting on different inputs,

إن × من بعض المدخلات الأخرى t وy من بعض المدخلات الأخرى

x of some other input t and y of some other input,

إنها نفسها ومن ثم تتحرك

it's the same one and then they move that

إلى مكان آخر من مجال المخرجات

somewhere to this output space

التي تتقدم بحد ذاتها

which itself get's moved over.

وبهذه الطريقة أنت تفكر بها

And in this way you're thinking of it

على أنها مجرد وظيفة واحدة متغيرة

as just a single variable function

تنطلق من t ويخرج عنها في النهاية f

that goes from t and ultimately outputs f

إن الأمر مجرد أن هناك أمور ثنائية الأبعاد

it's just that there's multi-dimensional stuff

تحدث ما بين ذلك والآن إذا ما بدأنا

happening in between and now if we start

بالتفكير حول المشتق منها

thinking about the derivative of it -

ماذا يعني ذلك بانسبة إلى

what does that mean, what does that mean for the

مفهوم الصورة التي تمر أمامنا هنا؟

conception of the picture that we have going on here?

حسناً، ذلك الجزء الأسفل، dt

Well, that bottom part, that dt

أنت تفكر به على أنه تغيير طفيف من t، صحيح؟

you're thinking of as a tiny change to t, right?

أنت تفكر به على أنه نوع من الدفعة البسيطة

So you're thinking of it as kind of a nudge,

سوف أرسمها بشكل خط كبير هنا

I'll draw it as a sizable line here

مثل التحرك من بعض المدخلات الأصلية

for like moving from some original input over,

ولكن بشكل أساسي قد تفكر بها على أنها

but you might in principal think of it as a

دفعة طفيفة جداً جداً في t

very, very tiny nudge in t.

وهنا قد نقول بأنها سوف تحرك

And over here you'd say well, that's gonna move

المخرجات الوسيطة على السطح xy

your intermediary output in the xy plane

سوف تتحرك بقدر معين

to, you know maybe it'll move it in some amount,

مرة أخرى تخيل بأن هذه دفعة طفيفة جداً

again imagine this is a very small nudge,

سوف أعطيها حجماً هنا

I'm going to give it some size here

كي أتمكن من الكتابة عليها

just so I can write into it and

ومهما كانت الدفعة الطفيفة في مجال المخرجات

then whatever that nudge in the output space

فهي دفعة طفيفة باتجاه ما

right, it's a nudge in some direction

وسوف تتوافق مع بعض التغيرات في f

that's going to correspond to some change in f.

بعض التغييرات تعتمد على الخواص المتباينة

Some change based on the differential properties

للوظيفة متعددة المتغيرات لحد ذاتها

of the multi-variable function itself.

وإذا فكرنا بهذا التغير

And if we think about this, this change

فيمكن قسمته إلى مكونات

you might break it into components

والقول بأن هذه النقلة لها نوع من dx

and say this shift here has some kind of dx,

نوع من النقلة في اتجاه x

some kind of shift in the x direction

ونوع من dy، نقلة في اتجاه y

and some kind of dy, some shift in the y direction.

ولكن يمكننا فعلياً إيجاد السبب حول ما يجب أن يكونوا

But you can actually reason about what these should be

لأنها ليست مجرد تغير عشوائي في x

coz it's not just an arbitrary change in x

أو تغير عشوائي فيy

or an arbitrary change in y,

إنه ناتج عن dt

it's the one that was caused by dt.

إذاً يمكنني القول بأن dx

So if I go over here, I might say that dx

هي بسبب dt والمعنى بشكل كامل

is caused by that dt and the whole meaning

من المشتق، المعنى كاملاً

of the derivative, the whole meaning

من المشتق متعدد المتغيرات

of the single variable derivative

سيكون عندما نأخذ dx dt

would be that when we take dx dt,

هذا هو العامل الذي يخبرنا

this is the factor that tells us, you know,

بالدفعة الطفيفة فبها، من يغير ذلك

a tiny nudge in t, how much does that change

من المكون x وإذا أردت يمكنك

the x component and if you want you could

أن تفكر بها على أنها نوع من إلغاء dts

think of this as kind of cancelling out the dts

ويبقى معك x، ولكنك في الواقع تقول

and you're just left with x, but really you're saying

هناك دفعة طفيفة في t وينتج منها

there's a tiny nudge in t and that results in a

تغييراً في x وهذا المشتق هو

change in x and this derivative is what

ما يخبرنا بالنسبة بين هذين الحجمين

tells you the ratio between those sizes.

وبشكل مشابه، ذلك التغيير في y هنا

And similarly, that change in y here,

that change in y is gonna be somehow

سوف يكون نسبياً إلى التغير في t

proportional to the change in t

وتعطى تلك النسبة

and that proportion is given by the

من المشتق من y بالنسبة إلىt

derivative of y with respect to t

وتلك هي كامل النقطة من المشتق

that's the whole point of the derivative,

بالنسبة إلى t، ومرة أخرى

no no, with respect to t and again

يمكنك أن تفكر بها على أنها

you can kind of think of it as if

إلغاء ل ts ولذلك

you're cancelling out the ts and

نكتب بشكل كسر

this is why the fractional writing,

دليل لايبنيتس مساعد جيد هنا

this Leibniz notation is actually pretty helpful.

وقد يقول الناس بأن علماء الرياضيات

You know, people will say, oh mathematicians would

سوف يهزون رؤوسهم لهذه الفكرة

like, share their heads at the idea of

في التعامل مع الكسور، ولكنها

treating these like fractions, but not only is it

ليست مجرد طريقة مفيدة

a useful thing to do coz it is a

إنها تذكير جيد، إنها انعكاس لما

helpful mnemonic, it's reflective of what you're

سوف تفعله عند قيامك بجدل رسمي

gonna do when you make a very formal argument.

واعتقد بأنني سأقوم بذلك في العروض القادمة

And I think I'll do that in one of the following videos,

سوف أصف ذلك بطريقة رسمية جداً

I'll describe this in a very, a much more formal way

وهو أمر محكم أكثر

that's a little bit more airtight than the

من مجرد التلويح بدفعة طفيفة

kind of hand-waving nudging around.

ولكن المبرهنة التي تخرج بها من مجرد

But the intuition you get from just writing

كتابة هذا هو كسر وهو بشكل أساسي الانتقال

this is a fraction is basically the scaffolding

من ذلك الجدل الرسمي، إلى أمر من اللطيف القيام به

for that formal argument, so it's a

لا اعتقد بأن علماء الرياضيات

fine thing to do, I don't think mathematicians

يعزون رؤوسهم كل مرة

are shaking their heads every time that a

يقوم فيها طالب أو معلم بذلك.

student or a teacher does this.

ولكن على أي حال، يعطيك هذا بشكل ما

But anyway, so this is kind of gives you

ما هي dx وما هي dy

what that dx is, what that dy is

ثم هنا إذا كنت تقول

and then over here if you're saying

كم يغير ذلك من المخرجات النهائية من f؟

how much does that change the ultimate output of the f?

يمكنك القول حسناً إن الدفعة الطفيفة من حجم dx هنا

You could say, well, your nudge of size dx over here,

لا بدّ أنك تتساءل كم تغير من المخرجات من f

you're wondering how much that changes the output of f,

هذا هو معنى المشتق الجزئي.

that's the meaning of the partial derivative, right.

لو قلنا بأنه لدينا المشتق الجزئي

If we say we have the partial derivative

بالنسبة إلى x، ماذا يعني ذلك

with respect to x, what that means,

إذا أخذت دفعة طفيفة من حجم x

is that if you take a tiny nudge of size x

فإنها تعطيك النسبة بين ذلك

this is giving you the ratio between that

والتغير النهائي في المخرجات التي تريد.

and the ultimate change to the output that you want.

يمكنك أن تفكر بها على أنها جزئي من x

You could think of it like this partial x

تُلغى مع dx إذا أردت

is cancelling out with that dx if you wanted

أو يمكنك القول إنها دفعة طفيفة في x

or you could just say, this is a tiny nudge in x,

وينتج عنها تغييراً في f

this is going to result in some change in f -

لست متأكدا منه ولكن معنى

I'm not sure what - but the meaning of

المشتق هو النسبة بين هذين الاثنين

the derivative is the ratio between those two

وهذا ما يوضح لك الأمر.

and that's what lets you figure it out.

وبشكل مشابه يمكن أن نطلق عليه التغير في f

And similarly, you might call this the change in f

الناتج من x، أو بسبب x

caused by x, like, due to x.

ين أن أقول بسبب dx.

Due to, I should say to dx.

ولكن هذا ليس التغير الوحيد في قيمة f

But that's not the only thing changing the value of f right?

ليس التغير الوحيد الذي يطرأ

That's not the only change happening

في مجال المدخلات، يجب أن يكون هناك تغييراً آخر في f

in the input space, you also have another change in f

ويمكن القول عنه بسبب dy

and this one I might say is due to dy.

بسبب تلك النقلة الصغيره في y وما ستكون

Due to that tiny shift in y and what that's gonna be

نعلم بأنها ستكون نسبية لتلك

we know it's going to be proportional to that

النقلة الصغيره في y والثابت النسبي

tiny shift in y and the proportionality constant -

هذا هو معنى المشتق الجزئي

this is the meaning of the partial derivative,

وعندما تدفع y بطريقة ما

that when you nudge y in some way it

ينتج عنها نوع من الدفعة الطفيفة في f والنسبة

results in some kind of nudge in f and the ratio

بين هذين الاثنين هي ما يعطيها المشتق.

between those two is what the derivative gives.

وفي النهاية، إذا جمعنا الكل

So ultimately, if you put this all together

ما ستقوله بأن هناك أمرين مختلفين

what you'd say is there's two different things

يسببان التغيير النهائي في f.

causing an ultimate change to f.

إذا جمعنا هذه الأمور معا وتريد

So if you put these together, and you

معرفة مجمل التغير في f

want to know what the total change in f is -

سانتقل إلى هنا واقول

so I might go over here and say

إن التغير المجمل في f، واحد منهم سببه

the total change in f, one of them is caused

الجزئي f، الجزئي x ويمكنني أن أضربها

by partial f, partial x - and I can multiply it

ب dxهنا، ولكن في الواقع، نعلم بأن dx

by dx here, but really, we know that dx,

التغير هناك كان بالتالي بسبب dt

the change there was in turn caused by dt

لذلك بالتالي السبب فيه كان التغير

so that in turn is caused by the change

في المكون x والذي كان السبب فيه هو dt.

in the x component that was due to dt.

وقد كان ذلك بالطبع هو حجم dt

That was of course of size dt.

ثم والأسباب مشابهة لهذه التغييرات في الإتجاه y

And then for similar reasons, the other way

that this changes in the y direction

هو الجزئي من f بالنسبة إلى y

is a partial of f with respect to y

ولكن ما سبب النقلة الأولية في y،

but what caused that initial shift in y,

ستقول كان ذلك نقلة في y وكانت بسبب t،

you'd say that was a shift in y that was due to t,

وحجم dy dt مضروباً في dt، قد تفكر بها

and that size is dy dt times dt, you could think of it.

إذا الدفعة الطفيفة في t تؤدي إلى تغير في y،

So slight nudge in t causes a change in y,

والتغير في y يسبب التغير في f

that change in y causes the change in f

وعندما تجمعهم معاً

and when you add those two together that's

هو كل ما يجري، هذا كل

everything that's going on, that's everything

ا يؤثر في التغيير النهائي في f.

that influences the ultimate change in f.

إذا أخذنا كامل التعبير

So then if you take this whole expression

وقسمنا كل شيء على dt

and you divide everything out by dt

أي نمحيها من هذا الطرف

so you know, kind of erase it from this side

ونضعها هنا dt

and put it over here, dt,

هذه هي قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات

this is your multi-variable chain rule,

وبالطبع لقد كتبت نفس الأمر ثانية

and of course I've just written the same thing again

ولكن آمل أن يوضح ذلك بعضاـ من المبرهنة

but hopefully this gives a little bit on intuition

حول كيف نشكل الدفعات الطفيفة المختلفة

for how you're composing different nudges

ولماذا عليك أن تفكر بها بهذه الطريقة.

and why you wanna think about it that way.

بالطبع يمكنك رؤية ذلك، وترى

Of course, you can see this, and you see

الجزئي f يلغى مع dx

the partial f kind of cancels out with that dx

وهذا الجزئي y يلغى مع dy

and this partial y kind of cancels out with that dy

ويتبقى لدينا أمرين مختلفين

and you're left with the two different things

يشكلان التغير في x

that constitute a change in x,

ونعلم بأن هذا التغير جزئياً في f

you know this one is only partially the change in f,

وهذا أيضاً تغييراً جزئياً في f

this is also partially the change in f,

ولكن معاً يعطوا التغير النهائي في f

but together they give the ultimate change in f

واعتقد بأن ذلك يعطي سبباً قوياً

and I think that gives a very strong reason,

إذا قسمناه بهذا الشكل، لماذا هي حقيقة.

if you break it down like that, why this should be true.

Similar videos:

Multivariable chain rule
Khan Academy
161.4K views 671 likes 24 dislikes 20 May 2016100% match

Vector form of the multivariable chain rule
Khan Academy
36.1K views 99 likes 3 dislikes 20 May 201683% match

Multivariable functions | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
922.4K views 6.3K likes 78 dislikes 05 May 201675% match

Representing points in 3d | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
182K views 660 likes 17 dislikes 05 May 201669% match

Curvature formula, part 1
Khan Academy
114.6K views 448 likes 26 dislikes 20 May 201667% match

Transformations, part 2 | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
60.9K views 265 likes 4 dislikes 05 May 201667% match

Transformations, part 1 | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
96.3K views 317 likes 5 dislikes 05 May 201667% match

Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
198.6K views 931 likes 24 dislikes 05 May 201657% match

Curvature intuition
Khan Academy
78K views 502 likes 18 dislikes 20 May 201657% match

Contour plots | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
176.6K views 1.1K likes 13 dislikes 05 May 201632% match

Parametric surfaces | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
126.2K views 460 likes 8 dislikes 05 May 201629% match

Worked example: Derivative of cos_(x) using the chain rule | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
153.9K views 68 likes 8 dislikes 21 Jul 201629% match

Vector fields, introduction | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
190K views 876 likes 30 dislikes 05 May 201628% match

Partial derivatives, introduction
Khan Academy
836.1K views 6.5K likes 294 dislikes 11 May 201628% match

Parametric curves | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
194.1K views 610 likes 22 dislikes 05 May 201628% match

Partial derivative of a parametric surface, part 2
Khan Academy
12.4K views 59 likes 2 dislikes 24 May 201627% match

Partial derivatives of vector fields
Khan Academy
30.8K views 181 likes 4 dislikes 24 May 201626% match

Area of parallelograms intuition | Algebra I | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
868.4K views 2.1K likes 320 dislikes 04 Sep 201524% match

Area of triangles intuition | Algebra I | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
915.7K views 1.3K likes 250 dislikes 04 Sep 201524% match

Feedback
Khan Academy
172.1K views 713 likes 48 dislikes 25 Jul 201624% match

Impedance
Khan Academy
188.2K views 849 likes 71 dislikes 05 Aug 201624% match

Gradient and graphs
Khan Academy
189.1K views 1K likes 17 dislikes 11 May 201622% match

Conventional current
Khan Academy
243.9K views 878 likes 77 dislikes 17 Jun 201622% match

Biology overview
Khan Academy
569.4K views 875 likes 33 dislikes 14 Mar 201622% match

Equivalent ratios
Khan Academy
247.5K views 393 likes 67 dislikes 27 Oct 201722% match

Trp operon
Khan Academy
313K views 2K likes 64 dislikes 23 Jun 201622% match

Eulers formula
Khan Academy
343.3K views 2.6K likes 171 dislikes 04 Aug 201622% match

What is an operational amplifier?
Khan Academy
705.4K views 6.5K likes 190 dislikes 25 Jul 201622% match

Lac operon
Khan Academy
599.9K views 6.1K likes 92 dislikes 23 Jun 201622% match

Ratios for recipes
Khan Academy
167.9K views 156 likes 22 dislikes 27 Oct 201722% match

Settings Privacy About Contact Donate