Why do colliding blocks compute pi? 3Blue1Brown Japanese Turkish

Why do colliding blocks compute pi?YouTube↗ IA↗(long shot)
Education 4.6M views 138K likes 20 Jan 2019 Show Contributors 8

3Blue1Brown 8.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

Spanish RomCed

Portuguese Kronologos

raphael18811

Vietnamese UCyON8zkRix2epiCtInV67Og

Turkish Orhun

Chinese (Taiwan) RawBeef

Serbian Aleksandar Milinković

Spanish (Latin America) SteleexLS

前回、パズルをお出ししました。この準備段階では摩擦力は全くなく

Bir önceki videoda sizlere bir bulmaca bırakmıştım. Bulmaca sürtünmenin bulunmadığı ve

衝突はすべて完全弾性、つまりエネルギー損失がないとする理想的な世界において

tüm çarpışmaların esnek olduğu, yani enerji kaybı yaşanmadığı ideal bir dünyada yaşanıyordu.

2つのブロックが滑っているとする。一方が最初は止まっていた小さいほうへ滑って、

Bir cisim daha küçük durağan bir cisme doğru hareket ettiriliyor

後ろに壁があり小ブロックはそこで跳ね返り

ve arkasında da bir duvar bulunuyor. Bu sayede küçük cisim büyüğün yönünü değiştirip

大ブロックを壁から遠ざけるだけの運動量を跳ね返すまで反射し続ける。

ona yetişemeyeceği kadar hızlandırana dek ileri geri sekiyor.

もし1つ目のブロックの質量が2つ目のブロックの質量の100の何乗倍ならば

Eğer ilk cismin kütlesi ikincinin kütlesinin 100'ün bir kuvvetiyle çarpımıysa,

例えば100万倍のとき、驚愕の事実が浮かび上がる。

misal 1.000.000 katı ise, hayrete düşürücü bir sonuç ortaya çıktı. Toplam çarpışma sayısı,

衝突回数の総数は、2つ目のブロックと壁との衝突も含めて円周率の何桁までの数に等しくなるこの例では3141回衝突する。

iki cisim arasındaki ve cisimle duvar arasındakiler dâhil olmak üzere, pi'nin ilk basamaklarıyla aynı. Bu örnekte çarpışma sayısı 3.141.

質量差が1兆倍だとするならば向こう側に行くまで314万1592回衝突するだろう。

Eğer ilk cisim 1 trilyon katı olsaydı, 3.141.592 çarpışma olacaktı

そのほとんどは一瞬にして起こる。

ve neredeyse hepsi anlık bir patlama edasıyla gerçekleşecekti.

一瞬の予期せぬ出来事といえば前回の動画から短時間でたくさんの方が

Anlık patlamalardan bahsetmişken, videoyu yayınladığımızdan beri birçok kişiler çözümlerini,

解法、試行、シミュレーションをシェアしてくれました。どれも素晴らしいです。

uğraşlarını ve simülasyonlarını paylaştılar ki bu harika.

（説明欄にお気に入りを載せました）

(En beğendiklerimi açıklama kısmında bulabilirsiniz.)

ではなぜこうなる?!なぜ予想外のところで予想外のふるまいから

Peki bu neden yaşanıyor? Neden π bu kadar beklenmedik bir yerde

円周率が出現するのか?

ve alışılmadık bir şekilde ortaya çıksın?

最初に、そして何よりもまず位相空間を使って解法を解説します。これはまた

İlk olarak bu durum evre uzayı ya da daha yaygın adıyla

コンフィグレーション空間とも呼ばれます。残りの部分で

faz uzayını kullanmamızı gerektiriyor. Yani içiniz rahat olsun,

円周率の秘密のアルゴリズムを習うだけにはしません。この作戦はざまざまな分野の核になります。トートバッグにしまっておけばいい。

öğrendiğiniz sadece pek duyulmamış bir π algoritmasından ibaret değil. Bu yöntem aynı zamanda birçok alanın temel taşlarından biri.

初めに、ブロック同士が当たった時、それぞれの速度が衝突後どうなるか想像できるか? カギはエネルギー保存則、そして運動量保存則だ。

Öncelikle, bir cisim diğerine çarptığında ikisinin de çarpma sonrası hızını nasıl belirlenir? Çözüm enerji korunumu ve momentum korunumu

ではブロックの質量をm1とm2、速度をv1とv2とし、

yasalarını kullanmak. Kütlelerine m1 ve m2, hızlarına ise v1 ve v2 diyelim.

この過程を通して変動しうるものとする。

Bunlar işlem süresince oynayan değişkenlerimiz olacak.

どの瞬間においても全運動エネルギーは (½)m1(v1)^2 + (½)m2(v2)^2 で、

Herhangi bir andaki toplam kinetik enerji (½)m1(v1)^2 + (½)m2(v2)^2 ile hesaplanır.

ブロックがはじき返されることでv1とv2の値が変わってもこの式の値は一定でなければならない。 2ブロックの全運動量は m1*v1 + m2*v2 で、これはまた

v1 ve v2'nin değerleri cisimler çarpıştıkça değişecek olsa da, bu ifade sabit kalmak zorunda. İki cismin toplam momentumunun formülü m1*v1 + m2*v2. İki cismin birbirne çarpması durumunda bu da sabit kalacaktır

ブロック同士が当たった時に一定のままになる。ただしブロック2が壁で跳ね返った時には変化する。

ancak ikinci duvardan sektiğinde değişebilir.

現実はブロック2は衝突の間壁に運動量が移転される。

Gerçekte ikinci cisim duvardan sekerken momentumunu duvara aktarır.

もう一度言うがこれは理想的で、壁は無限大の質量をもつものとして

Burada yine ideal bir ortam olduğunu düşünerek duvarın sonsuz kütlesi olduğunu kabul ediyoruz

そのため運動量が移っても壁は実際には動かない。

ki bu momentum aktarımı duvarı hareket ettirmesin.

これより方程式が2つ、未知変数が2つもち、これらを活かすために絵にかいて方程式を表現する。

Burada iki denklem ve iki bilinmeyenimiz var. Bunları kullanmak için denklemi temsil edecek bir çizim yapmaya çalışalım

初めにエネルギーの方程式に焦点を当てるだろう。v1、v2は変数であるため

Enerji denklemine odaklanarak başlayabiliriz. v1 ve v2 değişken olduğuna göre

方程式をx座標がv1、y座標がv2で表される座標系を持って表現しようと考えるかもしれない。そして平面上の個々の点はブロックの速度の組を書き換えたものになる。今回はエネルギーの式は楕円を示す。

koordinat düzleminde x koordinatını v1, y koordinatını ise v2 olacak şekilde resmedebiliriz. Koordinat düzlemindeki herhangi bir nokta cisimlerimizin hızını belirtiyor. Bu durumda enerji denklemi bir elips şeklini alacak

ここで楕円上の各点は速度の組を与え、

ve elips üzerindeki her nokta aynı kinetik enerji toplamına karşılık gelen

楕円上のすべての点が同じ運動エネルギーに対応する。

iki hız değerini ifade edecek.

実際上はこの楕円が真円になるよう少し座標系を変形する。

Hatta, bunu düzgün çembere çevirmek için koordinatlarda bir iki değişiklik yapalım.

円周率に狙いを定めているのだった。x座標をv1で表す代わりに

Sonuçta π avında olduğumuzun farkındayız. x koordinatını temsil adına v1 yerine

ルート(m1)*v1 とする。今の場合図形をx軸方向にルート10倍に伸ばされる様子が見られる。

√(m1)*v1 ifadesini koyalım. Bu örneğimizi x yönünde √10 katına çıkaracak şekilde genişletir.

同様にy座標をルート(m2)*v2 で表す。

Aynı şekilde y koordinatını √(m2)*v2 ifadesine karşılık gelecek şekilde ayarlayalım. Böylece

そうすると、エネルギー保存則の式を見てみればその言わんとすることは ½(x^2 + y^2) = (何らかの定数)であり

enerjinin korunumu denklemine bakacak olursak, "½(x^2 + y^2)=sabit sayı" yazdığını göreceğiz.

これは円の方程式になる。それぞれの特定の円は全エネルギーに依存している。今の話題ではどうでもいいが。最初のところでブロック1が左に滑っていて、ブロックにが静止しているとき

Bu bize bir çember grafiği verecektir. Nasıl bir çember olduğu toplam enerjiye göre değişecektir ama bu problemimiz için önemli değil. Başlangıçta ilk cisim sola hareket ettiği

円の左端の点上にありますね。ここではx座標が負の数で

ve diğerinin durağan olduğu sırada, çemberin en sol noktasındayız. X koordinatının negatif

y座標は0である。衝突の後について何が起こるかどうやって知ることができるか?

ve y koordinatının 0 olduğu yerde. Peki çarpma sonrası ne olduğunu nasıl bileceğiz?

エネルギー保存則はその円周上のどこかにジャンプすることを教えてくれる。だがどこに?

Enerji korunumuna göre çemberdeki başka bir noktanın haricinde gidebileceğimiz yer yok ama çemberin neresi?

そうですね、運動量保存則を使いましょう!これより衝突前と後がわかります。

Momentum korunumunu kullanın! Bu denklem bize m1*v1+m2*v2 ifadesinin

m1*v1 + m2*v2 の値は定数であるべきです。今のスケール変更された座標系ではこの式は

çarpmadan önce ve sonra sabit kalacağını söylüyor. Bizim koordinatlarımıza uyarlarsak bu,

ルート(m1)*x + ルート(m2)*y = (何らかの定数)となる。この式は傾きが‐ルート(m1/m2)の直線になる。それぞれの特定の直線は一定の運動量に依存している。

"√(m1)*x+√(m2)*y"nın sabit bir sayıya eşit olacağı anlamına geliyor ve bu bir doğrunun denklemi. Eğimi -√(m1/m2) olan bir doğrunun hatta. Hangi doğru olduğu sabit momentuma bağlı.

しかし今は最初に決めた点を通るため選択肢は1つに絞られる。

Ama biliyoruz ki ilk noktadan geçmeli o yüzden bir doğru kalıyor.

ではここまでの内容をはっきりさせましょう。この直線上を生きる等運動量を与える速度の相違なる組。同じく、この円周上を生きる等エネルギーを与える速度の相違なる組。ここで注意。これがジャンプの着地点を指すのは一回きりです。そしてこれからx座標を少し大きな負の数になり

Açıkça izah etmek gerekirse: Aynı momentuma sahip hız çiftlerinin hepsi bu doğru üzerinde, aynen toplam enerjiye sahip tüm hız çiftlerinin çemberde olduğu gibi. Fark ettiğiniz üzere geçebileceğimiz tek bir nokta var. Doğal olarak bu noktada x koordinatı biraz daha az negatif hâle geldi

y座標は負の数になるとわかるでしょう。

ve y koordinatı negatif oldu. Çünkü bu büyük cismin

大ブロックが少し遅くなって小ブロックが壁に向かって去っていくように。今から面白いものが見られますよ。

yavaşlamasına ve küçüğün duvara doğru hareketlenmesine karşılık geliyor.

ブロック2が壁で跳ね返った時、スピードは同じで負から正に変わりますね。この図では、x軸を中心に反転することに対応する。

İkinci cisim duvardan sekince hızının büyüklüğü aynı kalıyor ama negatiften pozitife dönüşüyor. Grafiğimizde bu x ekseninde yansımaya tekabül ediyor,

y座標がマイナス1倍になるからだ。それからまた、次の衝突が傾き‐ルート(m1/m2)の直線に沿ってジャンプすることに対応する。そのような直線上にとどまることがこの図から見る運動量保存になるからだ。

sonuçta y koordinatı -1 ile çarpıldı. Bir sonraki çarpma noktanın tekrardan -√(m1/m2) eğimiyle sıçraması anlamına geliyor zira o doğru üzerinde kalmak grafikte enerji korunumunu temsil ediyor.

こうして衝突と円の飛び跳ねとの対応について非常に満足が行く絵が得られる。

Bu bize grafikte nasıl sıçramalar olacağı konusunda iyi bir kavrayış sağlıyor.

このようにして小ブロックの速度が正で

Küçük cismin hızı hem pozitif hem de büyük cisimden daha küçük olana kadar devam ediyoruz.

なおかつ大ブロックの速度より小さい、つまり二度と衝突しなくなるまで続けられる。これは図の右上にある三角形の領域に対応して今の過程ではその領域に到達するまで反発し続ける。

Böylece bir daha dokunmayacaklar. Bu durum grafiğin sağ üstündeki üçgensel bölgeye karşılık geliyor. Bu demektir ki nokta o bölgeye ulaşana dek sıçramaya devam ediyor.

ここで描いたものが「位相図」と呼ばれ、あるシステムの構造を書き直す数学において単純だが強力なアイデアだ。

Bu çizdiğimiz şey bir "faz diyagramı" ki bu matematikte bir sistemin durumunu -bizim örneğimizde hareket eden cisimlerin hızını- soyut bir alandaki bir noktaya indirgemeye

今回では滑っていくブロックの速度を抽象空間の1点にしてくれる。

yarayan basit ama etkili bir yol. En etkileyici kısmı

その強みは力学についての問題を幾何学についての問題に変えてくれることだ。

Dinamik ile alakalı soruları geometri sorularına dönüştürebiliyor olması. Ele aldığımız durumda

今回ではエネルギーが保存されるすべての速度の組という力学の考え方が円という幾何学的物体と結びつく。

enerji korunumu yapan iki cismin alınabilecek her bir hız çifti

衝突の総回数を数えることが垂直と斜めを行き来する直線間の飛びを数えることに取って変えられる。とはいえ疑問が残る。なぜ質量比が100の何乗のときに回数に円周率の数桁が出てくるのか?

çember geometrik şekli ile örtüşüyor ve çarpışmaları saymak noktanın çapraz ve dikey sıçrayışlarını saymaya dönüşüyor. Ama neden cisimlerin arasındaki oran 100'ün katı olduğunda sıçrayış sayısı pi'nin basamaklarını gösteriyor?

まあ、図をじっと見ているともしや、もしかすると、

Eğer bu resme dikkatlice bakacak olursanız, belki de noktalar arasındaki

円周上の点同士をつなぐ円弧が全部ほぼ同じになっていると気づくかもしれない。

yay uzunluklarının hepsinin aynı göründüğünü fark edeceksiniz.

それが真であるべきかはすぐにははっきりしない。だがそうならば1つの円弧の長さを計算すれば

Bunun doğruluğu bariz bir şekilde göze batmıyor, ama eğer doğru ise yay uzunluğunu hesaplamamız

円を回ってエンドゾーンにつくまで何回衝突するかわかることを意味する。

kaç çarpmanın çemberin sonuna ulaşmamızı sağlayacağını

bize gösterecektir.

カギは毎度便利な円周角の定理を使用することです。

Yapmamız gereken emektar çevre açı teoremini kullanmak. Bu teoreme göre

この定理は円周上の3点P1, P2, P3からなる角度はいつでも

çember üzerindeki P1, P2 ve P3 noktalarıyla açı oluşturulduğunda bu açı,

P1, 円の中心, P3からなる角度のちょうど半分になることを言う。 P2は円周上の、P1とP3で挟む円弧を除く場所ならどこでも置くことができ、それでもこのことが成り立つ。

P1, çemberin merkezi ve P3 ile oluşturulan açının yarısı olacaktır. P2 çemberin herhangi bir yerinde olabilir. P1 ve P3'ün arası hariç olduğu sürece bu doğru olacaktır.

それでは位相空間を見てここにある3点に特別注目しよう。

Şimdi, faz uzayına bakalım. bunlar gibi 3 noktaya odaklanalım. Unutma

ここで1つ目の垂直線の飛びは小ブロックと壁との反発に対応し

ilk dikey sıçramamız küçük cismin duvardan sekmesi idi ve

2つ目の傾き‐ルート(m1/m2)の直線沿いの飛びは運動量が保存されるブロック衝突に対応することを思い出してください。

ikinci -√(m1/m2) eğimli sıçramamız iki cismin momentum korunacak şekilde çarpışmasına karşılık geliyordu.

ではこの運動量の線と垂直線で挟む角度を「θ(シータ)」と呼ぼう。

Momentum çizgisi ile dikey çizgi arasındaki açıya "θ" diyelim

それで円周角の定理を使って見ているかもしれないが、この底の2点で挟む弧の長さをラジアンで測ると2*θになる。重要なことにこの運動量の線は同じ傾きを持ち

Ve çevre açı teoremini kullanarak alttaki iki nokta arası yayın uzunluğu radyan halinde 2θ edecek. Momentum çizgisi her sıçrayışta aynı eğime sahip olduğuna göre

円の上部から下部への全ジャンプに対して同じ理由からそれらすべての円弧の長さは2*θである。

aynı mantıkla buradaki yay uzunluklarının hepsini 2θ etmeli.

そのため各ステップで、このように新しい円弧をたてたならば各衝突ののち

Öyleyse her sıçrayışımızda bir yay oluşturuyorsak her çarpışma

新たに2*θラジアンだけ円を覆うことになる。右にあるエンドゾーンに入った時点で終了となる。

2θ yol katetiyor demektir. Çemberin sonuna geldiğimizde duruyoruz

これは両ブロックが右に進みかつ小さいほうが遅いことに対応することを思い出そう。

ve bu sistemde iki cismin de sağa gittiğini ancak küçük olanın daha yavaş gittiğini gösteriyor.

しかしこれはもう1つ2*θの円弧を追加すると前の円弧と重なるところで終了するとも考えられる。しかしこれはもう1つ2*θの円弧を追加すると前の円弧と重なるところで終了するとも考えられる。

Bunu bir 2θ daha eklemenin iki alanın üst üste çakışacağı an diye de düşünebiliriz.

言い換えれば、円全体、つまり2πラジアン以上覆う直前まで

Yani 2π radyanı geçene kadar kaç kere 2θ eklememiz gerekiyor?

何回2*θを加算すればいいか? その答えはブロックたちの衝突の回数と等しくなる。

Bu sorunun cevabı cisimler arası çarpma sayısıyla aynı olacaktır.

または同じことを縮めて言えば、ある整数でθとの積がπを超過しない最大の整数は何か?

Ya da, daha da basitleştirerek, θ'nın π'yi geçmeyen en büyük katı kaçtır?

例えば、θが0.01ラジアンのとき314を掛ければ円周率より少し小さくなるが

Mesela, eğer θ=0,01 ise, 314 ile çarpmak sayıyı π'den aşağıda tutar,

315を掛けるとその値を上回ってしまう。なので答えは314になる。

ancak 315 ile çarpmak geçmesini sağlar. O zaman cevap 314 olur.

つまり与えられた質量の比が図にあるような角度θだったならばθ＝0.01のとき

Yani eğer kütle oranı grafikteki θ'yı 0,01 yapacak şekilde olsaydı

ブロックは314回衝突するだろう。

cisimler 314 kere çarpışırdı.

ではやるべきことはわかる。質量比が100：1のときのθを計算するほうへ進もう。

Hatta, θ'yı hesaplayalım öyleyse. Misal, kütle oranı 100'e 1 olsun.

この等運動量の直線の傾きの分母分子が -ルート(m1/m2)であることを思い出そう。

Bu momentum çizgisinin eğimi -√(m1/m2) idi, bu değer şu anki örneğimizde

この例でいえば‐10である。この角度θのタンジェント＝側辺割る底辺が

-10 ediyor. Bu demektir ki θ açısının tanjantı, karşı bölü komşu

横移動割る負の上昇だといえるだろう。この場合は1／10だ。そのためθ = arctan(1/10)になる。より一般的に言えば、(大きいほうの質量の平方根)分の(小さいほうの質量の平方根)の逆タンジェント＝θである。より一般的に言えば、(大きいほうの質量の平方根)分の(小さいほうの質量の平方根)の逆タンジェント＝θである。

1/10 edecek. O zaman θ=arctan(1/10) Genel olarak konuşmak gerekirse, arctan[√(m2/m1)] olacak

計算機にこれらを代入していくとこのような小さな値に対してarctanは

Hesap makinesine bunları girdiğinizde, öyle küçük bir değerin arctan fonksiyonu

代入した値に非常に近いことに気づく。例えば、大きいほうの質量が1万キログラムのときにあたる、 arctan(1/100)は0.01に限りなく近い。

aslına bakarsanız değerin kendisine çok yakın. Mesela arctan(1/100) 10.000 kilogramlık bir kütleye denk gelen ifade 0,01'e çok yakın.

問題の中核に有益なところにかなり近づいた。こちらも同じく0.01だ。

Hatta, öyle yakın ki problemimiz adına farkı ihmal edeceğiz.

どういうことかというと、さっき見たものと類似している。これを314回加算しても

Demeye çalıştığım, bunu 314 ile çarptığımızda π'yi geçmeyecek

πを超えないが、315回目で超える。思い出してほしい。なぜこれをやっているのか、答えを言うと

ama 315. geçecek. Bunu yapmamızın nedeni

位相図にてエンドゾーンに達するまで何回ジャンプしたか数える方法で

çemberin sonuna kadar geçecek sıçrama sayısını ölçmekti.

即ちブロックが二度と接触することなく突き進むまで何回衝突するかを数える方法である。

Diğer bir deyişle cisimlerin birbirine teması tamamıyla kesene dek kaç kere çarpması gerektiği

そのため質量比が1万のとき314回衝突する理由になってくれた。

İşte bu yüzden kütle oranı 10.000 olduğunda 314 çarpma yaşanıyor.

同様に、質量比が100万分の1のときθ = arctan(1/1000)になる。これは0.001に限りなく近い。

Keza kütle oranı 1.000.000 olursa arctan(1.000) 0,001'e oldukça yakın bir sayı verecek.

同じように、このθに掛けてπの値を超えない最大の整数は何かと聞かれたら値が正確に0.001であるかのようにして、素直に3141となる。円周率の最初の4桁があるが、これは円周率の桁が意味するものの定義によるからである。これで質量比が100万のとき衝突回数が3141になる理由が説明できる。

Ve bu θ'nın π'yi geçmeyecek en büyük tam sayı katsayısı da θ tam olarak 0,001 olsaydı çıkacak sonuçtan farksız. İkisi de 3.141. Bu π'nin ilk 4 basamağı çünkü bir sayının basamağının tanımı bu. Bu kütle oranı 1.000.000 olduğunda neden çarpışma sayısının 3.141 olduğunu açıklıyor.

これらはすべてある微小量のarctanがその値自身に十分近いことへの期待に寄せていることに気づいたかもしれない。

Bunların hepsi küçük bir sayının arctan fonksiyonunun sayının kendisine yeterince yakın olduğu varsayımına dayanıyor.

別の言い方をすれば微小量のtanはその値と大体同じとなる。

Ya da aynı mantıkla küçük bir sayının tanjantının o sayıya olabildiğince yakın olduğu varsayımına.

直感的にも正しいとするいい理由がある。

Bunun doğruluğunu gösteren hoş mantıksal bir neden var. Birim çembere bakarsanız

単位円を見て、ある与えられた角度のtanはこの小さな三角形の高さ÷幅になる。

Herhangi bir açının tanjantı üçgenin yüksekliğinin genişliğine oranı olur.

角度が非常に小さい時幅は基本的に円の半径1に等しく高さは基本的に円に沿った弧の長さに等しい。そして定義より弧の長さはθになる。

O açı çok küçük olduğunda, yükseklik yay uzunluğuna aşağı yukarı eşit ve genişlik de 1 olduğundan dolayı θ yüksekliğe çok yakın bir değer alır.

より正確にするならtan(θ)のテイラー級数展開からこの近似が3乗の誤差項しか持たないことが示される。

Daha detaylı bir izah için, tan(θ)'nın Taylor serisi açılımı bize gösteriyor ki yuvarlamamız sadece θ'nın küpü kadar bir hata içerecek.

それで例えば tan(1/100) は1/100と1/100万のオーダーしか違わない。

Yani tan(1/100) 1/100'den sadece 1/1.000.000 gibi bir değer kadar değişkenlik gösteriyor.

そのためこの角度で314ステップを考えたとしても

Tüm 314 adım için de düşünsek bile

arctan(1/100)の実際の値と近似値の0.01との誤差は

arctan(1/100)'ün gerçek değeri ve yaklaşık tahminimiz 0,01 arasındaki fark

整数に匹敵するほど蓄積する可能性は持ちえない。

tam sayı olacak kadar birikemeyecek.

ここでズームを引いておさらいしよう。ブロックが衝突するときその新しい速度は

Şimdi, özet geçelim: Cisimler çarpıştığında hızlarındaki değişikliği

速度の位相図において円を直線でカットすることで理解できる。ここで各線は保存則を表現している。

hız faz diyagramını daireden geçirerek öğrenebiliriz, her eğim korunum yasasını temsil edecek şekilde.

特に重要だが、エネルギー保存則は円の種を植えるもので

En önemlisi son sayımımızda bulacağımız π'yi elde etmemize

最後にカウントしたとき円周率の花を咲かせる。

yarayan çember hâlindeki enerji korunumu grafiği.

特に、円周角の幾何学によりこの縁に打つ各点は等間隔で空け

Çevre açısının kuralına göre, bu çemberde geçtiğimiz noktalar

2＊θと呼んでいる角度だけ分断される。

eşit uzunlukta ve 2θ diye kabul ettiğimiz açılar ile ayrılmış hâlde.

これにより衝突回数の問題は2πを超えないで2θを足し合わせる回数を問われる問題に言い換えられた。

Bu soruyu yeniden şekillendirip 2π'yi geçene kadar kaç kere 2θ eklememiz gerek sorusunu sorduk.

θが0.001だとするならばこの問題の答えは円周率の最初の数桁に等しくなる。

Eğer θ 0,001 gibiyse sorunun cevabı π'nin ilk o basamağı kadar.

それから質量比が100の何乗であるとき、arctan(x)の値は微小量のときはxで近似してよいため

Ve kütle oranı 100'ün bir kuvveti olduğunda arctan(x) küçük sayılarda x'e çok yakın bir değer aldığı için

シータの値はこれに十分近く同じ合計回数を与えてくれる。

θ yeterince yakın ve aynı cevabı veriyor.

シータの値はこれに十分近く同じ合計回数を与えてくれる。もう一度位相空間でできるようになることを強調しよう。なぜならこれは

Faz uzayının bize sağladığı yardımı tekrar vurgulamak istiyorum

数学のあらゆる分野、例えば微分方程式、カオス理論、他の力学の香りがするものに有効だからだ。

çünkü bu her tür matematik konusu için yararlı bir yöntem, differansiyel denklemler, kaos teorisi ve diğer dinamik konuları gibi.

あるシステムに関連した状態を抽象空間の1点で表現できることから

Sisteminizin durumunu soyut bir ortamdaki nokta olarak değerlendirerek

力学の問題が幾何学の問題に取り換えてくれる。

dinamik problemlerini geometri problemlerine dönüştürebilmenizi sağlıyor.

何度でも言います。私は予想外に円周率が現れる名作パズルを覚えなくていいとは思いません。

Bu önemli çünkü bunu sadece π'nin beklenmedik bir şekilde bulunduğu ilginç bir bulmaca olarak düşünmenizi istemiyorum.

この驚くべき出現を遊びとの密接な関係性の残留だと思ってほしい。この驚くべき出現を遊びとの密接な関係性の残留だと思ってほしい。

Bu sonucun daha derin bir ilişkinin göstergesi olarak görmenizi istiyorum.

この解法で満足しているあなた、まだ終わりません。ほかのとらえ方があります。

Ve eğer bu sonuç sizi tatmin etti ise, etmemeli. Çünkü başka bir bakış açısı daha var.

この現象に関するガルペリンの原論文による方法が巧妙で分かりやすいです。

Daha zekice ve hoş bir bakış açısı. Galperin'in bu fenomen hakkında

これによるとブロックの力学と2つの鏡で反射する光線との

yazmış olduğu orijinal makalesinde. Makalede bu cisimlerin dinamiğiyle

平行線の引き方へ招待します。信じてください。このトピックの最後について全力を尽くしています。次回またお会いしましょう。

iki ayna arasında yansıyan bir ışını benzeştirdi. Ve emin olun, en iyisini sona sakladım sizi bir sonraki videoda görmeyi umuyorum.