The Three Square Geometry Problem - Numberphile Numberphile French English

The Three Square Geometry Problem - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 1M views 18.4K likes 585 dislikes 18 Sep 2014 Show Contributors 3

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Contributed subtitles

Spanish Javier Wagner

French Klapaucius Fitzpatrick

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BRADY: Alors, de quoi va-t-on parler aujourd'hui ?

So what are we talking about today?

ZVEZDELINA: De mon problème de géométrie favori lorsque j'étais en 5ème année d'école (CM2)

About my favourite problem in geometry when I was a fifth grader

Il est gravé dans ma mémoire, si bien que je peux me le rappeler à tout moment.

and it is etched in my memory to the point of being able to recall it at any time

Nous avons trois carrés de même taille, l'un à côté de l'autre.

so we have three squares of the same sizes next to each other

Leur taille n'a pas d'importance.

the size does not matter

L'on prend l'un des

so what we will do you is pick one of the

coins supérieurs, disons le coin supérieur-gauche, et on le connecte

top corners let's say the top left corner and connect it

avec le coin inférieur-droit de

to the bottom right corners of

chacun des trois carrés.

each of those three squares.

Ensuite, on prend cet angle en bas, appelons-le

Next, we will take this angle here at the bottom let's call it

alpha, le suivant en bas

alpha the next one at the bottom

let's call it well

beta, et... et c'est incorrect

beta and and that's incorrect

BRADY: Oui, c'est à l'envers

yeah this is upside down

ZVEZDELINA: Et finalement gamma.

and finally gamma alright

La question est : quelle

so the question is asking what

est la somme de ces trois angles. Donc c'est un problème assez simple

is the sum of these three angle so it's a simple enough problem

Ce qui est intéressant c'est qu'il m'a été donné alors que j'étais en 5ème année

the interesting part about it is that it was given to me as a fifth grader

Et j'ai dû m'y attaquer à ce moment-là

so I had to a attack it as fifth-grader

Or en 5ème année on apprend à utiliser un rapporteur donc

in fifth grade we learn how to use a protractor so

j'ai mesuré le premier angle, il vaut environ 45 degrés

I measure the first angle it's about 45 degrees

et si on y réfléchit, évidemment qu'il vaut 45 degrés

and in fact then you can stop and think about it but of course it has to be 45

Puisque ce triangle est rectangle

since the triangle we're looking at is right

and iscoclese this guy here

Donc il n'est pas surprenant de trouver un angle de 45 degrés ici

so it should not be a surprise to get a 45 degree angle there

Puis l'on mesure les deux autres et peut-être que l'on

and we go about measuring the others there perhaps we

a un peu de mal, parce que le second angle

run a little bit out of luck because the second angle

semble pointer vers 25

looks like it's pointing to 25

and a little bit maybe 26

Et le troisième angle, wow où va-t-il

and the third angle Wow where is it going

peut-être 15...

20... donc environ 18. Donc quand on

20 so about 18 so when we

prend la somme de cela... 89

Serait-il possible... qu'en pensez-vous ?

could that be it what do you think

BRADY: Ca semble un peu arbitraire, je ne sais pas

it seems a bit arbitrary i don't know

ZVEZDELINA: Oui, et il y a aussi toutes ces erreurs dans nos mesures

Yeah and also there were all of these mistakes in our measurement

Et pourquoi demanderait-on à un élève de 5ème année combien cela fait

and why would they be asking a fifth grader how much this is

si c'était pour qu'il trouve un résultat aussi arbitraire ?

and ending up with such a random angle?

Si l'on refaisait les mesures on trouverait peut-être

well if you try to make another measurement perhaps you will come up

Et l'on dirait que l'angle est légèrement obtus

and so you would say oh it's a little bit obtuse

Ou peut-être un peu aigu, donc quelle est

but maybe it's a little bit acute so what would be

la conjecture à laquelle les gens vont sauter

conjecture that people will leap to

s'ils pensent que c'est un problème élégant ? BRADY: Je pense

if they believe this is a beautiful problem I would guess that

que la réponse qu'ils donneraient serait 90.

the correct answer they would think the correct answer is ninety

ZVEZDELINA: Exactement, 90, mais comment savoir vraiment

exactly ninety but how would we know really

si c'est 90 ? Ou un angle moche proche de 90 ?

is it ninety? Or some ugly angle nearby?

On triche un peu et l'on se dit que le problème a été donné à un élève de 5ème année

we cheat a little bit we say okay that problem was given to a fifth grader

et qu'il doit avoir une jolie réponse et on va donc partir de l'idée que c'est 90

it has got to be a nice answer we will believe for a moment it's ninety and

(et c'est ce que les mathématiciens appellent une conjecture)

this is what mathematicians call a conjecture

et nous allons nous efforcer de prouver que c'est 90

and then put all of our effort into proving that it is ninety

et nous avons fait un tiers du chemin

and we are kind of a third of the way

car on sait que l'un des angles

to proving it because we know that one of the angles

vaut exactement 45

for sure is forty five

Donc combien devraient valoir les deux autres pour arriver à un total de 90 ?

so what should be left for the other two angles in order to make ninety?

Evidemment 45. Donc on doit additionner les deux angles beta

well obviously forty five. so somehow we need to add up the other two angles beta

et prouver que la somme vaut 45. Une autre expérience qu'un

and prove that they add up to up to forty five another experiment which a

élève de 5ème année pourrait tenter et que vous pouvez faire à la maison

fifth grader might try and you can also do at home

consiste à couper la chose avec des ciseaux

is cut up the whole thing with scissors

une partie de l'à-peu-près qui résulte de l'usage

some of the error that is coming

d'un rapporteur lorsque l'on arrondit

from the protractor when you are rounding

Ok, essayons de tout mettre ensemble

okay so let's try to put everything together

Ca ressemble à un angle de 90 degrés, vérifions

it does look like this is a ninety degree let's check

Hey bien oui, on dirait que cela fait 90 degrés

well yep it does look like 90 degrees

Ok, nous croyons désormais fermement dans notre conjecture et voulons la prouver

okay so now we truly believe the statement and we want to prove it

La méthode dépend de votre niveau dans votre carrière mathématique

well the question is at what level of your mathematical career

ou votre vie mathématique en général, car le problème n'a pas qu'une

or mathematical life you are because this problem has not only one

ni deux, mais au moins

not only two but at least

54 solutions. BRADY: 54 solutions ?

54 solutions. 54 solutions?

ZVEZDELINA: Sans rire. BRADY: Va-t-on toutes les faire ?

No kidding. Are we gonna do all of them?

ZVEZDELINA: Non. Seulement la plus brillante et la plus simple, qu'un

No. we will do the most brilliant one the most simple one that

élève en 5ème année pourrait comprendre. Donc l'idée de notre solution,

a fifth grader may be able to grasp so the idea of our solution

en tout cas la tentative lorsque l'on a utilisé les ciseaux, peut être transposée

at least the attempt when we cut with scissors can be carried forward

mathématiquement, donc l'on souhaite déplacer

mathematically so we may want to move

les trois angles dans la même zone géométrique de notre image

all three angles into the same geometric location in our picture

Donc il nous faut trouver la meilleure zone pour ces trois

so we need to find the best geometric location where to move those three

C'est difficile à dire avant de connaître la solution

well there is no best geometric location until you know what the solution is

donc on pourrait essayer de les déplacer

so we might as well just try to move them all the way

jusque dans l'angle à côté de gamma, parce que l'on a déjà

in this corner next to gamma because we already have

un angle droit là-bas, ce truc, on a gamma ici,

a right angle here this guy we have gamma here

et donc les deux autres angles alpha et beta doivent tenir là-dedans

and so the other two angles alpha and beta must somehow fit

Et voici venir l'idée brillante de la démonstration

and here comes the brilliant idea for the solution

Comme je l'ai dit, il manque quelque chose dans l'image

as I a said there is something missing in this picture

Ce qui manque, c'est la moitié de l'image. Nous allons répliquer

what's missing is half of the picture we will replicate

ces trois carrés et nous allons commencer à voir

these 3 squares up and then we'll start seeing

la vérité. Et maintenant je crois que je vais commencer à nommer les choses, pour que les gens

the truth and now i think I'm going to start labeling things so people can

puissent s'y référer

plus tard. Donc je nomme chaque

later on I'm just labelling all of the

point important. Je vais choisir le point

important points I will choose point

H et le connecter à deux autres points

H and connect it to two other points

et je vais dire qu'aucune construction supplémentaire

and I will say that no more constructions

n'est nécessaire à cette solution, qu'il nous faut désormais comprendre

will be done in this solution we somehow have to make sense of

Ce que cette image nous dit, pour commencer,

what this picture is telling us well for starters

l'on voit 3 angles exactement où on voulait en voir

we see 3 angles exactly where we wanted them to be

Là où se trouve l'angle droit nous avons notre gamma original

where this ninety degree angle was we have our original gamma

et deux autres angles. Pourraient-ils être

and then 2 more could those two angles be indeed

alpha et beta ? On peut en tout cas dire que cet

alpha and beta well you can kinda guess that this

angle est plus grand

angle is bigger

than the next one

sur la base de son aspect, donc peut-être que ce sera

by the way it looks so perhaps that will be

l'angle alpha de 45 degrés, car alpha est plus grand que beta.

the 45 alpha because alpha was bigger than beta

Pourrait-on avoir 45 degrés ici ?

could this be forty five

Essayons, comme des détectives, de trouver d'où cela pourrait venir.

and let's try as detectives figure out where it could come from this picture

it is involved in this

ce grand triangle

A-t-on rencontré une situation similaire plus tôt ?

did we see a similar situation earlier in the problem

Certainement, ici, où l'on a vu

certainly right here where we saw

notre alpha original, et où l'on a décidé que

our original alpha and where we decided that

alpha valait 45 degrés car

alpha is 45 degrees because this was

était un triangle isocèle rectangle

was a right isosceles triangle

A-t-on un triangle isocèle rectangle ici ?

do we have a right isosceles triangle her

Ca se pourrait. EH pourra-t-il

we might could EH

être égal à HD ? Ce sont les deux segments supplémentaires que l'on a dessinés au-dessus.

be equal to HD these are the two extra segments that we draw on top

La réponse est "oui", car

the answer is yes because

ces deux segments sont des hypoténuses

these two segments are hypotenuses

Hypoténi ou hypoténuses ? BRADY: Je comprends l'idée

Hypoteni or hypotenuses?

ZVEZDELINA: Donc EH et HD, les deux segments que l'on a dessinés

so EH and HD the two segments which we drew

sont les hypoténuses de deux triangles rectangles

are the hypotenuses of two right triangles

que l'on a également dessinés au-dessus, donc je vais les marquer

two that we also draw on top so I'm going to mark them

Donc ces deux côtés ces des hypoténuses de deux triangles rectangles

so these two sides are hypotenuses of two right triangles

E F H and H I D

Ceux que j'ai dessinés en bleu. Ils sont rectangles parce qu'ils ont un angle droit

the ones which I drew in blue now they are right because they have a right

qui vient du haut, mais ils sont aussi exactement identiques

coming from top but they are also exactly the same

au niveau de la taille et de la forme. Ce triangle rectangle ici a un côté

size and shape this right triangle has one leg

de longueur 2 et un côté de longueur 1, et celui-ci a aussi un côté de longueur 2 et un de longueur 1.

two and the other leg 1 and this one also has a leg of two and leg of 1

Ce qui signifie que leur troisième côté, leur hypoténuse

which means that their third size, the two

doivent être de même longueur, donc en effet

hypotenuses must be the same so indeed

EH est égal à HD

EH is equal to HD

et nous sommes en passe de montrer que ce grand triangle vert au milieu

and we are on our way to show that this big green triangle in the middle

est isocèle rectangle ; il est isocèle, mais la question est "pourquoi est-il

is right isosceles it's already isoseles but the question is why is this

Ok, mais qu'y a-t-il d'autre près de cet angle ?

okay but what else is around this angle

Il y a ce truc ici

there is this guy here

cet angle, et celui-ci.

this angle in this other one

Combien valent-ils ensemble ? La réponse est aussi très simple

what do they add up to and the answer is also very simple

L'un de ces angles, on le connaît déjà. Je postule

one of thise angles we already know I claim

que cet angle est notre angle beta

this angle is our angle beta

parce qu'il y a un troisième triangle qui a précisément la même forme

because there is a third triangle which is precisely the same shape

et la même taille que ceux-ci ; il est juste ici,

and size as those because it is right here

encore un triangle rectangle

again a right triangle

avec des côtés de longueur 1 et 2 et donc cet angle beta

with legs 1 and two and so therefore this angle beta

doit être égal à cet angle angle beta et devinez quoi ?

must be equal to this single beta and guess what

Il doit être égal à cet angle beta. Ils partagent tous exactement

it must be equal to this angle beta they all share exactly

le même angle. Donc, accidentellement,

the same angle so accidentaly

on a montré que l'on a déplacé l'angle beta où l'on voulait le déplacer

we have shown that we have moved angle beta to where we wanted it

Gamma est là, et si cet angle vaut bien 45 degrés nous aurons fini.

gamma is there and if that is really 45 we will be done

Revenons où on en était : on voulait montrer que ce grand triangle était rectangle

and again backtracking we wanted to show that this big triangle was right

On sait déjà que cet angle ici est beta. Que vaut celui-ci ?

we already know that this angle here is beta what is this guy

Hey bien ce second angle

well this guy this second angle

se trouve dans un triangle rectangle dont l'autre

participates in a right triangle where the other

angle aigu est beta. Combien peut valoir cet angle ?

acute angle is beta what could this guy be

On sait que les angles internes d'un triangle, additionnés, valent 180 degrés.

we know that the angles in a triangle add up to 180

Cet angle vaut 90 degrés, donc ces deux ensemble doivent faire 90 degrés.

this guy is ninety therefore these 2 must add up to 90

L'arithmétique élémentaire nous montre

simple arithmetic shows

que cet angle ici doit valoir 90 moins beta

this angle here must be ninety minus beta

90 moins beta, quelque chose, et beta

ninety minus beta something and beta

doivent ensemble valoir 180 degrés.

must overall give you 180

Combien vaut l'angle restant ?

what is the remaining angle here

Le frisotté. Si on commence à additionner... faisons-le

this curly one if you start adding up let's do it

beta + (90 - beta) + quelque chose

beta plus ninety minus beta

doit valoir 180.

plus something must be 180

Donc beta s'en va et le "quelque chose"

so beta goes away and that's something

s'avère valoir 90 degrés.

turns out to the our 90 degrees

BRADY: Vous avez réussi ! ZVEZDELINA: En effet. Donc notre angle alpha s'est bel et bien déplacé ici avec beta

you've done it! that's right so our angle alpha is indeed moved here along with beta

et l'on peut conclure que les trois angles

and we can conclude the the three angles

additionnés valent 90 degrés.

add up to 90 degrees

Et c'est une construction incroyable qui

and this is an amazing construction which

n'utilise que des carrés,

uses only squares

des triangles isocèles, et des triangles

isosceles triangles in congruent

rectangles congruents avec des côtés de longueur 1 et 2.

right triangle with legs 1 and 2

Et c'est en effet une approche brillante

and that is indeed a brilliant approach

que les mathématiciens suivent pour résoudre les problèmes.

which mathematicians take to solve problems

Ils le complètent avec les éléments manquants,

they complete it to what's missing there

et alors le problème devient bien plus simple. Traduit par Biganon

and then the problem becomes easier

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