5-Sided Square - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  2M views 81.5K likes 1.2K dislikes   13 Aug 2018
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90 degrees; 90 degrees.
90 graus
If I have a shape that has
90 graus se eu tenho uma forma que possui ângulos de 90 graus
90-degree angles and all the sides are the same length, it's a square.
e cujos lados têm o mesmo comprimento, é um quadrado
Yeah,
Sim!
but wait, you know as well as I do if I go to the Earth; go on the Earth and say
Mas espere! Você sabe tão bem quanto eu Se pegar o globo, pegar o globo e dizer
"Oh, I'm going to start on the equator, go up to the North Pole,
"vou começar... ...no Equador, subir para o pólo norte...
then move over 90 degrees and take the line of longitude down
...então girar 90 graus... ...e traçar uma linha longitudinal que passa direto...
that goes right through the Gulf of Mexico and Yucatan, and hit there,
... pelo Golfo do México e Yucatán e chegar ali"
oh, I've got a 90-degree angle here,
oh, eu tenho um ângulo de 90 graus aqui um ângulo de 90 graus aqui
a 90-degree angle here, and a 90-degree angle here."
um ângulo de 90 graus aqui
On a sphere, I can have triangles that have more than 180 degrees in them.
e um ângulo de 90 graus aqui. Numa esfera eu posso ter triângulos que possuem mais que 180 graus internamente. Eu posso cortar um pedaço
I can cut a piece of paper on here that would be a three-sided square.
de papel bem aqui que seria um quadrado de 3 lados!
I could sort of shape this down here, and
Eu poderia tipo modelar isso aqui
here, 90 degrees down here.
e aqui... 90 graus aqui
Not sure I drew it correctly, but let's try this one.
Não tenho certeza se fiz corretamente, mas vamos tentar
Each of the angles here
cada um dos ângulos aqui
are 90 degrees. Here's a 90 degree angle, here's a 90 degree angle,
tem 90 graus! Aqui está um ângulo de 90 graus Aqui está um ângulo de 90 graus
And here's almost a 90 degree angle.
E aqui está... uhm, um ângulo de quase 90 graus
Here's a three-sided square.
Aqui está um quadrado de 3 lados
All three sides are the same length
Todos os lados tem o mesmo comprimento e...
and all the angles are 90 degrees.
... todos os ângulos são de 90 graus
A sphere, not to be confused with a ball, but a sphere
Uma esfera, que não deve ser confundida com uma bola...
has constant Gaussian curvature, which says that if I pick a point, that point there,
...mas uma esfera... ...possui curvatura Gaussiana constante o que significa que se eu escolher um ponto, esse ponto aqui
and draw two lines through it and choose the maximum and the minimum curvatures
e desenhar duas linhas passando por ele, e escolher a curvatura máxima e mínima dessas coisas
of those things, multiply them together,
multiplicá-las -- positivo
positive number times a positive number: I'll get positive. A sphere everywhere has constant positive curvature.
vezes positivo, vou obter um número positivo. Uma esfera tem curvatura positiva constante em todo lugar. Ok!
Okay, neat. Can I get something that has constant negative curvature?
Legal! Consigo obter algo que possui curvatura negativa constante?
Is it possible to make something that is the opposite of a sphere?
É possível construir algo que é o oposto da esfera,
Something that instead of always bulging outward,
algo que em vez de sempre curvar-se pra fora
is something that's always curving inward?
está sempre curvando-se para dentro?
Can I make something- and, and, and, the answer is yes!
Consigo obter algo... sim, sim a resposta é sim!
I can make a pseudo-sphere, a fake sphere.
Eu posso construir uma pseudo-esfera. Uma esfera falsa, em formato de funil
It's funnel-shaped. It's horn shaped.
em formato de corneta
And it has the delicious property that if I pick any point at all on it, say right here,
E ela tem a propriedade deliciosa... ...que se eu escolher qualquer ponto nela... ...digamos, bem aqui...
in one direction
...em uma direção...
it'll bulge inward and the other direction it bulges outward.
...ela vai curva-se para dentro... ..e na outra direção ela curva-se para fora.
I have to make a little, little point here that I have to pick the minimum inward-going and the,
Eu tenho que fazer um pontinho aqui, que eu preciso escolher o mínimo na direção interna
and the maximum outward-going, or the maximum of either one of them. I can't just rotate this 90 degrees
e o máximo na direção externa eu não posso simplesmente girar 90 graus
I have to, or a few degrees this way so it's like an X, I have to pick these so that in one direction
or alguns graus nesta direção de forma que seja um X Eu preciso escolher estes pontos de forma que, em uma direção
it's bulging out and the other one it's bulging in. It turns out that
está curvando-se para fora, e na outra está curvando-se para dentro
a pseudo-sphere
Acontece que... Uma pseudo-esfera
has everywhere-constant negative curvature.
Tem em todo lugar curvatura negativa contante
That means that if I multiply
Isso significa que se eu multiplicar...
to get the Gaussian curvature here where
para obter a curvatura Gaussiana aqui, onde...
the positive
o sentido positivo, aqui...
going here is not very big, but the negative going is huge.
...não é muito grande, mas o sentido negativo é enorme
And over here, the positive, the
E bem aqui...
negative-going curvature is kind of small, but the positive curvature along here is quite big.
...o sentido negativo da curvatura é pequeno Mas o sentido positivo da curvatura
A pseudo-sphere everywhere has constant negative curvature.
é bem grande. Uma pseudo-esfera tem em todo lugar... ...curvatura negativa constante.
Let me go back for a minute; breathe.
Deixe-me voltar um instante. Respirar.
On an ordinary Euclidean piece of paper
Num simples pedaço de papel Euclidiano...
every triangle,
...todo triângulo, se eu somar os ângulos,
if I sum the angles, I'll get 180 degrees.
...vou obter 180 graus.
On a sphere, if I draw a triangle, any triangle at all I draw on it, the sum of the three angles
Numa esfera, se eu desenhar um triângulo... ...qualquer triângulo que eu desenhar nela... ...a soma dos três ângulos, será sempre...
will be always greater than 180 degrees.
...maior que 180 graus.
It's true on the globe; true on a sphere.
É verdade no globo, é verdade numa esfera...
On a pseudo-sphere, no matter how I draw a triangle,
... mas numa pseudo-esfera, não importa como eu desenho o triângulo...
its angles will always sum to less than 180 degrees.
...seus ângulos sempre vão totalizar menos... ...que 180 graus.
They'll be pointy in an odd way. They'll come to little pointy shapes. We can take advantage of that to draw
Eles vão ser pontudos, num jeito estranho. Eles vão se tornar... ...pequenas formas pontudas. Podemos aproveitar isso...
a shape that has
...para desenhar uma forma que tenha cantos de 90 graus...
90-degree corners and five sides. Origamist Bob Lang showed me how to do this in a paper that he wrote;
...em 5 lados! Origami é... Bob Lang me mostrou como fazer isso... ... a partir de um paper que ele escreveu...
and uses all sorts of hyperbolic secants and cosecants and and hyperbolic functions abound on this surface!
...e usa todo tipo de secante hiperbólica... ... e cosecantes e funções hiperbólicas... ...aplicadas nessa superfície. Mas o mais legal é...
But the cool thing is
you can take a piece of paper,
...você pode pegar um pedaço de papel...
get it wet, wrap it around here. Everywhere has negative Gaussian curvature.
...umedecer, modelar ao redor disso aqui... ...todo lugar tem curvatura Gaussiana negativa. Escolhendo...
By choosing my points just right I can find that eac-
...os pontos, bem certinho... ...eu posso descobrir que...
here's a five sided figure; one, two, three, four, five sides.
...aqui está uma forma de 5 lados. Um, dois, três, quatro, cinco lados...
Each of the corners is 90 degrees.
...cada um dos cantos... ...tem 90 graus. Noventa aqui, noventa aqui...
90 there, 90 there 90 there! Okay check. Keep me honest here. Let's take a piece of paper that's ninety degrees, right? There's a,
... noventa... Confere! Vamos verificar... Vamos pegar um pegaço de papel com cantos de 90 graus...
here's a 90 degree angle right there right there.
Aqui está um ângulo de 90 graus, bem aqui, bem aqui
Yep, ninety degree angle there!
Sim! Ângulo de 90 graus aqui!
Over here? Sure enough, 90 degrees.
Aqui, com certeza, 90 graus!
90 degrees.
Noventa graus!
Ninety.
Noventa
Ninety. Here's a five-sided figure. A five- catch this, a five sided figure!
Noventa. Essa é uma forma de 5 lados... ... o interessante é que numa forma de 5 lados...
All corners are ninety degrees!
...todos os cantos são de 90 graus!
Let's act- and cut out of paper like this, here see.
Vamos cortar um papel tipo assim...
Here's a piece of
...aqui está um pedaço de papel...
paper folded to fit,
...modelado para se encaixar...
shaped to fit on top the pseudo-sphere.
... no formato para ser posicionado em cima da pseudo-esfera...
Each of these corners are ninety degrees.
...cada um desses cantos é de 90 graus!
(Brady: That looks like a pentagon to me, though)
- Parece um pentágono para mim.
It's a Pentagon. It's a Pentagon whose corners are all ninety degrees.
É um pentágono, é um pentágono... ...cujos cantos são todos de...
(Brady: So is it a pentagon or a square?)
...90 graus! - Então é um pentágono ou um quadrado?
If I say: "Hey, a square is a shape that has
Se eu disser: "ei, um quadrado... ... é uma forma que tem...
equal sides, equal length edges and all corners are ninety degrees,"
...lados iguais, arestas de mesmo comprimento... ... e todos os cantos são de 90 graus"...
then I could claim that this is a five sided square.
então eu poderia afirmar que isso aqui... ...é um quadrado de 5 lados.
(Brady: So its edges are equal length as well?)
- Então as arestas são do mesmo comprimento também?
Each of those edges
Cada uma dessas arestas...
is the same length.
... tem o mesmo comprimento. O que acontece se eu tentar achatá-lo?
What happens if I bash it flat? Well, a nifty thing about topology says it shouldn't be possible.
Bem, uma coisa legal na topologia... ...diz que não deveria ser possível.
If I try bashing this flat It's like taking a section of a sphere, taking a section of the globe, and bashing it flat. There's not a good
Se eu tentar achatar isso aqui, é como seccionar... ...uma esfera, seccionar o globo e... ...achatar. Não existe um mapeamento decente...
mapping that will preserve
... que vai preservar áreas...
areas, that will preserve directions.
... que vai preservar direções.
We get into the problem of
Nós entramos no problema de...
conformal mapping and non-conformal mapping and things like this. We can do this, but as I push down here that bends out. Push down here - oh, I'll just bend over here.
...mapeamento conforme e mapeamento não conforme e coisas desse tipo. Poderíamos fazer isso, mas quando eu parto aqui... ...ali pula pra fora. Aperto aqui, oh... ... vou apertar aqui...
Oh! Maybe if I push down here, oh! Then it bumps up here, bumps up there. Ah, no!
... talvez se eu apertar aqui, oh, então sobe esse lado aqui, esse lado ali.
How about if I push this one and this one down? This one, this one, this- I've got five fingers; one, two, three-
Talvez se eu apertar esse aqui e esse aqui. Esse, esse, esse... Eu tenho cinco dedos...
one, two, three, four, five;
Um, dois, três, quatro... ...cinco
and up. But now it's bumping up here. I can sort of put it in a press,
Agora está pulando aqui... Eu poderia tipo colocar numa prensa...
but,
Mas...
it's trying to pop out the bottom of the table.
Estaria tentando sair pela lado de baixo da mesa. Você não pode...
You can't perfectly map a spherical or a pseudo-spherical surface
...de forma perfeita, mapear uma... ...superfície esférica, ou pseudo-esférica...
onto a Euclidean plane.
...no plano Euclidiano.
It's a problem that map makers have had for a long time, and it's a problem that shows up when you
É um problema que quem faz mapas enfrenta já há tempos... ...e é um problema que aparece quando...
start mapping our universe, because our universe,
... você começa a mapear nosso universo, porque... ...nosso universo...
apparently, seems to have something of negative curvature.
...parece ter algo de... ...curvatura negativa.
Our thanks to The Great Courses Plus for supporting this video.
If there's anything you want to learn about, including mathematics,
The Great Courses Plus is gonna have it. Have a look at this one: It's called crazy kinds of connectedness.
But it's not just mathematics, pretty much anything you want to learn about, they're gonna have loads on it.
For example, mountaineering is something I'm interested in - they've got you covered there. Or how about dog training?
This is a 24 part course on dog training which I find fascinating and I especially love because have a look,
Lulu! This dog here is called Lulu, (my dog's called Lulu). But it's not all about dog training. Seriously,
you name it, they've got it, and it's going to be taught by world-class
experts from institutions and universities all across the globe. Now, if you go to: "TheGreatCoursesPlus.com/numberphile",
there's also a link in the description. You can check it out and do a free trial - access to everything. I think it's something like
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