Local linearization Khan Academy English (auto-generated) Korean

Local linearizationYouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 33K views 140 likes 4 dislikes 15 Jun 2016

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in the last couple videos I showed how

지난 동영상들에서는

you can take a function just a function

어떠한 그래프에 접하는,

with two inputs and find the tangent

두 입력값(x,y)를 가지는,

plane to its graph and the way that you

접평면을 찾는 방법에 대해 이야기했습니다

think about this you first find a point

some kind of input point which is you

우선, 정점을 잡아야 합니다

know I'll just write abstractly as X

정점의 좌표를 다음과 같이

naught and y naught and then you see

(x0, y0)라고 합시다

where that point ends up on the graph

여기 보이는 빨간 점이 (x0,y0)의 정점입니다

and you want to find a new function a

이제 우리는 새로운 함수를 찾고 싶습니다

new function which we were calling L and

새로운 함수를 L이라고 합시다

maybe you say L sub F which also is a

L 또한 x와 y 에 대한 함수이므로

function of x and y and you want the

L 아래에 첨자 f 를 붙여줍시다

graph of that function to be a plane

tangent to the graph now this often goes

여기 보이는 그래프의 접평면입니다

by another name this will go under the

또 다르게는

name local linearization local

국부 선형화(local linearization) 라고 합니다

linearization is kind of a long word zation and what this basically means the

약간 길다고 생각할수도 있습니다 이 용어의 뜻은 다음과 같습니다

word local means you're looking at a

국부(local) 은

specific input point so in this case

특정한 점을 살펴보고 있음을 의미합니다

it's a specific input point X naught Y

왼쪽 그림의 경우에는 (x0,y0) 라는 특정 점을 살펴보고 있습니다

naught and the idea of a linearization a

선형화(linearization)는

linearization means you're approximating

함수를 선형화(linear) 하여

the function with something simpler with

어떠한 값을 추정한다는 뜻입니다

something that's actually linear and

I'll tell you what I mean by linear in

조금만 이따가 선형화(linear) 가

just a moment but the whole idea here is

무엇인지 알려드리겠습니다

that we don't really care about you know

사실 우리는 3차원 공간상에서

tangent planes in an abstract 3d space

어떠한 그래프의 접평면에

to some kind of graph the whole reason

그다지 관심이 없습니다

for doing this is that this is a really

우리가 접평면을 찾는 진짜 이유는

good way to approximate a function which

원래는 굉장히 복잡한 함수를

is potentially a very complicated

근사할 수 있는 좋은 방법이기 때문입니다

function with something that's much

easier something that has constant

상숫값을 갖는 편도함수를 이용해서 말입니다

partial derivatives now my goal of this video is going to be to show how we

이번 영상의 목표는

write this local linearization here in

국부 선형화(local linearization)을

vector form because it'll be both more

벡터로 표기하는 것입니다

compact and hopefully easier to remember

벡터를 사용하는 이유는

and also it's more general it'll apply

기억하기 쉽고, 일반적인 방법이기 때문입니다

to things that have more than just just

두 개 이상의 변수를 가지는 경우에도

two input variables like this one does

벡터는 적용 가능합니다

so just to remind us of where we were

지난 영상들에서 배운 것을

and what we got to in the last couple

기억하는 차원에서

videos I'll write a little bit more

지난 시간에 배운 것을

abstractly this time rather than a specific example the way you do this

간략하게 적어보겠습니다

local linearization is first you find

국부 선형화를 찾는 첫 순서는

the partial derivative of F with respect

f의 x 에 대한 편도함수를 찾는 것입니다

to X which I'll write with the subscript

notation and you evaluate that at X sub

첨자로 표기하여 이를 f_x라고 합시다 그리고 이 값을

o or X naught Y naught U evaluated at

(x0,y0)에서 찾아줍니다

the point about which you're

즉, 우리가 근사하고자 하는 점에서

approximating and then you multiply that

편미분값을 찾아주는 것입니다

by X minus that constant so the only

그리고는 편미분값에 (x-x0)를 곱해줍니다

variable right here everything is a

현재까지 쓰인 식에서

constant but the only variable part is

나머지는 모두 상수이고

that X and then we add to that basically

오직 x 만 변수입니다

doing the same thing with Y you take the

그리고 이 뒤에는 앞에서 한 것과 같은 방법을 y에 적용시켜줍니다

partial derivative with respect to Y you

f 의 y 에 대한 편도함수를 찾고

evaluate it at the

선형화 하고자 하는

input point the point about which you are linearizing and then you multiply it

입력값을 대입한 후

by Y minus y sub o and then to this

(y-y0)를 곱해줍니다

entire thing because you want to make

우리는 f(x0,y0)라는 점을

sure that when you evaluate this

L이라는 함수가 지나기를 원합니다

function at the input point itself you

그러면 지금까지 적은 식을 한번 살펴봅시다

see when you plug in X naught and y

L_f 의 식에 (x0,y0)를 대입하면

naught this term goes to 0 because X

이 항은 0이 됩니다

naught minus X naught is 0 this term

x0-x0이 0이기 때문입니다

goes to 0 and this is the whole reason

마찬가지로 이 항도 0이 됩니다

we kind of paired up these terms and

준식을 이러한 꼴로 정리한 이유가

organized the constants in this way this

바로 여기에 있습니다

way you can just think about adding

이렇게 정리를 하면

whatever the function itself evaluates to at that point and this will ensure

그저 뒤에 f(x0,y0)를 더해주면 됩니다

that your linearization actually equals

이러한 방법을 통해

the function itself at the local point

선형화된 식이 (x0,y0)에서 f 와 일치함을 알 수 있습니다

because hopefully if you're

approximating it near a point then at

that point it's actually equal so what

do I mean by this word linear the word

그렇다면 선형화란 무엇일까요?

linear has a very precise formulation

선형화는 매우 엄밀한 수식을 따릅니다

especially in the context of linear

특히 선형대수학에서 말입니다

algebra and admittedly this is not

기술적인 의미에서 우리가 다루고 있는 것은

actually a linear function in the

사실 선형 함수가 아닙니다

technical sense but loosely what it

하지만 우리가 이를

means and the reason people call it

선형화라 하는 이유는

linear is that this X term here this

여기 보이는 x에 관한 항이

variable term doesn't have anything

복잡한 형태를 지니지 않기 때문입니다

fancy going on with it it's just being multiplied by a constant and similarly

그저 상수가 곱해져 있고

this Y term it's just being multiplied

마찬가지로 y 항 또한

by a constant it's not squared there's

상수와의 곱으로 표현됩니다

no square root it's not in an exponent

제곱이 들어가 있지도, 제곱근이 들어가 있지도,

or anything like that and although there

지수꼴이 들어가 있지도 않습니다

is a more technical meaning of the word

선형화에는 더 많은 기술적 의미가

linear this is all it really means in

내포되어 있지만

this context this is all you need to

이 영상에서는 그정도는 필요치 않습니다

think about each variable is just

multiplied by a constant now you might

그저 각각의 변수가 상수에 곱해져 있다는 것을 기억합시다

see this in a more complicated form or

남은 영상에서는 좀 더 복잡한

what's at first a more complicated form using vectors so first of all let's

벡터 형태를 살펴볼 겁니다

think about how we would start

우선 생각해봅시다

describing everything going on here with

왼쪽 그림을 어떻게 하면

vectors so the input rather than talking

벡터로 표현할 수 있을까요?

about the input is being a pair of

순서쌍으로 입력값을 적는 것 대신

points what I want to say is that there's some vector some vector that has

벡터의 형태로 입력값을 적어봅시다

these as its components and we just want

x 와 y 를 원소로 가지는 벡터로 말입니다

to capture that all and I want to give

그리고 이 벡터에

that a name and kind of unfortunately

새로운 이름을 붙여줍시다

the name that we give this it's very

헷갈릴수도 있지만, 가장 많이 사용하는 이름이 x 이므로

common to just call it X and maybe a

x 라고 합시다

bold-faced X and that would be easier to

같은 문자와 구분해주기 위해서 굵은 글씨로 적어주겠습니다

do typing than it is writing so I'll

just kind of try to emphasize bold-faced

다시한번 말하지만

x equals this vector and whether that's

굵은 X는 벡터를 의미하며

confusing because x is already one of

이미 사용하고 있는 변수 x와

the input variables that's just a number

헷갈리지 않도록 조심합시다

but I'll try to emphasize it just making

it bold you'll see this in writing a lot

X is this input vector and then

앞으로 벡터 표현을 자주 보게 될겁니다

similarly the specified specified input

같은 방법으로 근사하고자 하는

about which we are approximating you

그래프 상의 정점의 벡터를

would call and say I'll make it a nice

X0 라고 합시다

bold-faced X naught well we'll do that

헷갈리지 않게 굵게 적어줍시다

not to just kind of indicate that it's a

첨자 0 을 표기하는 것은

constant of some kind

일종의 상수를 표현하기 위해서입니다

and what that is it's a vector

containing the two numbers X not Y not

여기서는 두 숫자 x0 과 y 0 를 벡터로 표현하기 위해서 벡터 X0 가 사용되었습니다

so this is just our starting to write

앞으로 우리는

things in a more vectorized way and the

벡터 표현을 사용할 것입니다

convenience here is that then if you're

벡터가 가진 장점은

dealing with a function with three input

만일 세 개 이상의 변수나

variables or four or a hundred you could

네 개, 혹은 수백 개 이상의 변수를 다루는 경우에도

still just write it as this bold-faced X

지금 여기 써져 있는 표현처럼 벡터 X 와 같이

with the understanding that the vector

has a lot more components so now let's

다양한 원소를 함축적으로 표현 가능하다는 것입니다

take a look at at these first two terms in our linearization we can start

자 그러면 여기 선형화된 식의 두 항을 봅시다

thinking of this as a as a dot product

우리는 각 항의 곱이

actually so let me first just kind of

내적임을 알 수 있습니다

move this guy out of the way and give

ourselves some room so he's going to

여기로 옮기도록 합시다

just go up there just the same guy and I

자 이제 공간이 좀 생겼습니다 자 이제 공간이 좀 생겼습니다

want to think about writing this other

위에 보이는 식을

term here as a as a dot product and what

벡터의 내적으로 표현해 보겠습니다

that looks like is we have the two

편도함수로 표현된

partial derivatives F sub X and F sub y

indicating the partial derivatives with

다뤄봅시다

respect to X and Y and each one of them

이 둘은 x 와 y 에 대해서 표현됩니다

is evaluated let's see I'll do it I'll

이를 간소화시켜서

do it evaluating at our bold-faced X naught then this one is also evaluated

X0 표기로 바꾸어 적어줍시다

at that bold-faced X naught so really

아래도 마찬가지로 X0 표기로 바꾸어 적어줍시다

you're thinking about this as being you

이제 이 것은

know a vector that contains two

두 개의 변수를 가지는 벡터로 표현되었습니다

different variables you're just packing it into a single symbol and the dot

준식을 단일 기호로 표현한 것입니다

product here is against you know the

이 항과 내적을 취할 벡터의 첫 번째 원소는

first component is X minus X naught so

I'd write that as X minus X naught the

number and then similarly Y minus let's

같은 방법으로

the other in the same color why not the

두 번째 원소는

number but we can write each one of

(y-y0) 입니다

these in a more compact form where this

하지만 우리는 이를 더 간략하게 표현 가능합니다

the vector that has the partial

여기, 편도함수를 가지는 벡터는

derivatives that's the gradient and if

그래디언트(gradient) 입니다 만일 이 내용이 익숙치 않다면

that feels unfamiliar maybe go back and check out the videos on the gradient but

이전 영상에서 그래디언트(gradient)를 다시 학습하길 바랍니다

this whole vector is basically just

이 벡터의 의미는

saying take the gradient and evaluate it

그래디언트를 취해서

at that that vector input you know X naught and then the second component

X0 라는 입력값에서 이를 살펴보라는 뜻입니다

here that's telling you you've got x and

여기 두 번째 항이 의미하는 것은 x- x0 과 y-y0 을

y minus X naught Y naught so what you're

계산해야 한다는 것이며

basically doing is taking the you know

결국 해야하는 것은

bold-faced input the variable vector X

굵게 표시된 가변 벡터

and then you're subtracting off you know

X 에서 일종의 상수인

X naught where X naught is some kind of constant so this right here this is just

X0을 빼주는 것입니다

vector terms where you're thinking of

여기 써진 이 것은 두 개의 백터항으로 표현된 식입니다

this as being a vector with two

이 벡터는 두 원소를 가지고 있고

components and this one is a vector with

이 벡터도 마찬가지로 두 원소를 가지고 있습니다

two components but if your function

만일 함수가

happened to be something more

훨씬 복잡한 형태여도,

complicated with you know a hundred input variables this would

예를 들어, 수백개의 입력값이 주어진다면

the same thing you write down you would

이 식과 동일하게 쓰면 됩니다

just understand that when you expand

다만 달라지는 것은

this there's going to be a hundred

각 벡터에는

different components in the vector and

수백개의 원소가 들어간다는 것입니다

this is what a linear term looks like in

이 형태가 바로

vector terminology because this dot

벡터에서의 선형입니다

product is telling you that all of the

내적이 내포하는 것은

components of that bold-faced X vector

굵게 표시된 X 가

the that expands into you know not

매우 많은 원소, 즉,

boldface X Y Z whatever else it expands

x , y, z, 그리고 그 이상의 것으로 확장 가능하며

to all of those are just being

이 항에 단순히

multiplied by some kind of constant so

어떠한 상수가 곱해진다는 것입니다

we take that whole thing that's that's

지금까지 우리가 한 과정은

how you simplify the first couple terms

여기 적힌 항들을 간략화한 것입니다

here and of course we just add on the

이 뒤에는 당연히

value of the function itself so you take

함숫값 자체를 더해줘야 합니다

that as the linear term and now I kind

함숫값을 선형항으로 취합시다

of like to add it on to the front

저는 함숫값을 앞에다 더해주겠습니다

actually where you think about taking

the function itself and evaluating it at

형태를 맞추어 f(X0)를

that that constant input X naught

더해주겠습니다

because that way you can kind of think

이렇게 표시해주면

this is your constant term this is your

이 항은 상수항이고

constant term and then the rest of the stuff here is your linear term most of

나머지 항은 선형항입니다

your stuff is your linear because later

나머지 항은 선형항입니다

on if we start adding other terms like a

나중에 우리가 다른 항을 더하게 되면

quadratic term or more complicated

가령 이차항(quadratic term) 이나

things you can kind of keep adding them

더 복잡한 것에서는

on the end so this right here is the

뒤에 추가적으로 더해주면 됩니다

expression that you will often see for

여기 적힌 이 식은 앞으로 우리가 국부 선형화에서

the local linearization and the only

자주 보게 될 표현입니다

place where the actual variable shows up

이 식에서 유일하게 가변벡터가 등장하는 장소는,

the variable vector is right here is

여기 이 것입니다

this guy because you know when you

여기 보다시피

evaluate the function f at a specified input that's just a constant when you

f 에 지정된 입력값을 넣으면 상수이며

evaluate the gradient at that input it's

그래디언트에 지정된 입력값을 넣어도

just a constant and we're subtracting

마찬가지로 상수이고

off that that specified input that's

빼주는 항 또한 마찬가지로

just a constant so this is the only

상수이기 때문입니다

place where your variable shows up so

따라서 여기서 유일하게 변수가 등장합니다

once all is said and done and once you

이제 모든 것이 완료되었습니다

do your computations this is a very

직접 계산해 보면

simple function and the important part

이 형태는 매우 간단한 함수입니다

is maybe this is much simpler than the

더 중요한 것은 기존의 함수 f 와 비교했을 때도

function f itself which allows you to

훨씬 간단하다는 것입니다

you know maybe compute something more

이는 우리로 하여금

quickly if you're writing a program that

무언가를 매우 빨리 계산할 필요가 있거나,

needs to you know deal with some kind of

복잡한 함수를 다뤄야 하는데

complicated function but run time is an

실행시간이 문제가 될 때,

issue or maybe it's a function that you

혹은 함수를 한 번만 보고는 알 수 없는데,

never knew in the first place but you were able to approximate its value at a

특정한 점의 함숫값을 알고,

point and approximate its gradient so

그래디언트를 추정할 수 있을 때,

this is what lets you approximate the

그 점 주변에서의 함수를

function as a whole near that point so

추정할 수 있게 합니다

again this might look very abstract but

일련의 과정들이

if you just kind of unravel everything

매우 추상적으로 보일 수 있습니다

and think back to where it came from and

하지만 처음 시작점으로 돌아가

look at look at the specific example of

구체적인 예시를 되새겨보면,

a you know tangent plane hopefully it

우리가 함께 다뤘던 접평면과 같은 예제를 통해

all makes a little bit of sense and you

이번 영상에서 다룬 벡터 형태가

see that this is really just the

가장 단순한 함수 형태임을 알았으면 합니다

simplest possible function that evaluates to the same value as f when

특정한 값을

you input this point and whose partial

함수 f 에 대입할 것과

derivatives all evaluate to the same

동일한 값을

values as those

그래디언트 f 에 대입한 것을

F at that specified point and if you

통해서 말입니다

want to see more examples of this and

만일 더 많은 예제가 보고 싶거나

what it looks like and maybe how you can

특정 함수를 근사하는 방법을

use it to approximate certain functions

알고 싶다면

I have an article on that that you can

제가 제공하는 논문을 확인하여

go check out and it would be particularly good to kind of go in with

a piece of paper and sort of work

직접 종이에다가

through the examples your yourself as

예제를 연습하는 것도

you as you work through it and with that

좋은 방법이 될 것입니다

said I will see you next video

다음 영상에서 봅시다

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