Transcendental Numbers - Numberphile Numberphile English Hebrew

Transcendental Numbers - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 1.9M views 30.4K likes 606 dislikes 12 Jun 2013 Show Contributors 1

Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗

Contributed subtitles

Spanish lachen-mann

Click to Play Video

SIMON PAMPENA: It's mind blowing.

סיימון פמפנה: זה ממש מדהים!

I learned this when I was at uni, the existence of

למדתי את זה כשהייתי באוניברסיטה, על קיומם

transcendental numbers.

מספרים טרנסדנטלים.

And the name was a selling point.

והשם שלהם היה מה שקנה אותי.

Because I was like, transcendental.

כי הייתי ככה.. טרנסדנטלי...

You know, it's a time when you're really interested in,

אתה יודע, זה גיל כזה שאתה מאוד מתעניין,

like, out of body experiences and whatnot.

בחוויות חוץ גופיות ודברים כאלה.

But the idea that mathematicians gave this name

אבל הרעיון, שמתמטיקאים העניקו את השם הזה

to numbers, numbers, these are numbers that

למספרים, מספרים, המספרים האלה

you're familiar with.

שכולם מכירים.

Like pi, you can write down as a decimal expansion.

כמו פאי, שאפשר לכתוב בשיטה העשרונית.

You'll never get it right, but it's just a number that you're

אתה אף פעם לא תדייק, אבל אבל המספר הזה, שבסך-הכל

Has this property that we just didn't know about.

הוא בעל התכונה הזאת שאפילו לא הכרת.

OK, we're going to play a game, and we're going to try

או-קיי, אנחנו הולכים לשחק משחק, ואנחנו הולכים לנסות

and understand transcendental numbers with this game.

להבין מהם מספרים טרנסדנטליים באמצעות המשחק הזה.

The game is reducing down numbers to 0.

המשחק הוא צמצום מספרים לאפס.

That's what you want to do.

וזה מה שצריך לעשות...

So the rules are you can only use whole numbers to do it,

אז החוקים הם: אתה יכול להשתמש רק במספרים שלמי,

and you can add, take, multiply, and put the whole

ואתה יכול להוסיף, להחסיר, לחלק, להכפיל, ולהעלות את הכל

thing to any power you like, but it has to be a whole

באיזו חזקה שמתחשק לך, אבל זה חייב להיות חזקה

של מספר שלם.

OK, so let's play the game.

בסדר, אז בוא נשחק.

OK, so do you have a favorite number?

או-קיי, אז יש לך איזה מספר מועדף?

BRADY HARAN: Well, I like the number 10.

בריידי הראן: טוב, אני אוהב את המספר עשר.

SIMON PAMPENA: 10?

סיימון פמפנה: עשר?

BRADY HARAN: Yeah, but that seems like quite an easy one.

בריידי הראן: כן, אבל זה נראה לי מספר פשוט מדי.

SIMON PAMPENA: Sure.

סיימון פמפנה: אין בעיה.

זה בסדר גמור.

You mean 10 in base 10?

אתה מתכוון עשר, בשיטה העשרונית?

BRADY HARAN: 10 in base 10.

בריידי הראן: עשר בעשרונית.

SIMON PAMPENA: Yeah, OK.

סיימון פמפנה: בסדר, אין בעיה.

So 10 in base 10.

עשר בעשרונית.

OK, here we go.

או-קיי, בוא נתחיל.

Let's start the game.

נתחיל את המשחק.

So we want to get this down to 0, so the first thing we could

אז אנחנו רוצים לצמצם את זה לאפס,אז הדבר הראשון שאנחנו יכולים לעשות

do is multiply it by 0.

זה להכפיל את זה באפס.

But that you can do with any number, because any number

אבל את זה אתה יכול לעשות עם כל מספר, משום שכל מספר

כפול אפס הור--

BRADY HARAN: 0.

בריידי הראן: אפס.

SIMON PAMPENA: Bingo.

סיימון פמפנה: בינגו.

You can do that, but that's not very interesting.

אתה יכול לעשות את זה, אבל זה לא מעניין במיוחד.

But what is interesting is that if we try and use these

מה, שכן מעניין, זה אם ננסה להשתמש בחוקים האלו

rules, we can go, OK, what happens if I take

אנחנו יכולים, או-קיי, מה יקרה אם אני אחסיר

away 10 from this?

So there you go.

So that sounds kind of trivial, but it's a really

אז זה נשמע די טריוויאלי, אבל זו דווקא

התחלה טובה.

So we used a whole number, and we used the take.

אז התחלנו במספר שלם, והשתמשנו בהחסרה.

What about something else?

מה לגבי מספר אחר?

מה לגבי שלושה רבעים?

First of all, let's multiply it by 4.

דבר ראשון, בוא בוא נכפיל את זה בארבע.

OK, so these things will cancel.

בסדר, אז הדבר הזה מצטמצם.

ואתה נשאר עם שלוש.

Now we can take away 3, we'll get 0.

עכשיו אפשר להחסיר מזה שלוש ונקל אפס.

But what about something crazier?

אבל מה לגבי משהו יותר משוגע?

What about like a really crazy number?

מה לגבי מספר באמת משוגע?

What about like, the square root of 2?

מה עם משהו כמו, השורש המרובע של שתיים?

I think you guys know about the square of 2.

אני חושב שאתם יודעים קצת על השורש המרובע של שתיים.

BRADY HARAN: Yes, we do.

בריידי הראן: כן, אנחנו יודעים.

That's irrational, isn't it?

זה לא רציונלי, נכון?

SIMON PAMPENA: It's an irrational number, and

סיממון פמפנה: זה מספר אי-רציונלי

irrational means it can't be expressed as a fraction.

ואי-רציונלי אומר שאי-אפשר לבטא את זה באמצעות שבר פשוט.

So the square root of 2 is kind of a very strange number,

אז השורשר הריבועי של שתיים הוא סוג של מספר די מוזר,

and so this little thing here, I often say this little thing

וכך הדבר הקטן הזה כאן, אני אומר הרבה, שהדבר הקטן

here is like a little sentence.

הזה פה, הוא כמו משפט קטן.

It says, what number multiplied by itself gives you

הוא אומר, איזה מספר אשר מוכפל בעצמו, נותן לך

אתה מספר הזה?

That's the way I think of the square root sign.

ככ אני חושב על סימן השורש הריבועי.

So I don't know what number multiplied by itself gives me

אז אני לא יודע איזה מספר, שמוכפל בעצמו, נותן לי

2, but that doesn't matter.

שתיים, אבל זה לא משנה.

Now, what we'll do is to try and get this

עכשיו, מה שנעשה זה ננסה לצמצם את המספר

one down to 0, OK?

הזה לאפס, טוב?

First of all, we'll have to--

תחילה, אנחנו חייבים--

BRADY HARAN: OK, that, I reckon I can do that.

בריידי הראן: או-קיי, את זה, נראה לי אני יכול לעשות.

SIMON PAMPENA: Well, tell me.

סיימון פמפנה: טוב, הראה לי.

BRADY HARAN: I reckon if we raise that to a power--

בריידי הראן: אני חושה שאם נעלה את זה בחזקה--

SIMON PAMPENA: Yep.

סיימון פמפנה: כן.

איזו חזקה?

BRADY HARAN: Let's raise it to the power of 2?

בריידי הראן: בוא נעלה את זה בחזקה של שתיים?

SIMON PAMPENA: Correct, so that's

סיימון פמפנה: בדיוק, אז זה

multiplying it by itself.

להכפיל אותו בעצמו.

And then what do you get in the middle?

ואז, איזו תוצאת ביניים את מקבל?

BRADY HARAN: You're going to get 2, I'd bet.

בריידי הראן: אתה תקבל שתיים, נראה לי.

SIMON PAMPENA: That's right.

סיימון פמפנה: נכון מאוד.

So now you've got 2 in there, so what are you going to do?

אז עכשיו יש לך שם שתיים, ומה את הולך לעשות?

BRADY HARAN: Subtract 2.

בריידי הראן: להחסיר שתיים.

SIMON PAMPENA: Yes!

סיימון פמפנה: כן!

So look at that.

So you've just taken an irrational number, and with

אז לקחת מספר אי-רציונלי ועם

this game you've brought it down to 0.

המשחק הזה צמצמת אותו לאפס.

How about the square root of negative 1?

מה לגבי השורש הריבועי של מינוס אחת?

We've gone from numbers that you know and love to

עברנו ממספרים שאתה מכיר ואוהב

fractions, OK, to irrational.

שברים פשוטים, טוב, לאי-רציונליים.

This is irrational numbers.

זה מספרים אי-רציונליים.

Now we've gone into what they call complex, or some people

עכשיו, עברנו למה שהם קוראים מספרים מרוכבים, או חלק קוראים

call imaginary, which is a terrible name for it.

להם דמיוניים, שזה שם איום לזה.

OK, so what can you do to this one here to try and

טוב, אז מה את יכול לעשות לזה, פה, כדי לנסות

get it down to 0?

ולצממצם אותו לאפס?

BRADY HARAN: Well, I'm just going to square it and add 1.

בריידי הראן: טוב, אני רק לרבע אותו ולהוסיף אחת.

SIMON PAMPENA: There you go.

סיימון פמפנה: יפה מאוד.

No flies on you, mate.

אתה בסדר גמור, חבר.

So there you go.

אז הנה לך.

So we've been able to play this game with three or four

אז הצלחנו לשחק את המשחק הזה עם שלושה או ארבע

very different types of numbers, quite special.

סוגים שונים מאוד של מספרים, די מיוחדים.

But what about something else?

אבל מה לגבי משהו אחר?

What about the square root of 2 plus the square root of 3?

מה עם השורש הריבועי של שתיים ועוד השורש הריבועי של שלוש?

What can you do with that?

מה אפשר לעשות עם זה?

אז, בוא נראה.

The square root of 2 plus the square root of 3.

השורש הריבועי של שתיים ועוד השורש הריבועי של שלוש.

Now we're gonna square it.

עכשיו אנחנו הולכים לרבע את זה.

OK, so this is a little bit of high school maths.

טוב, אז יש פה קצת חשבון של תיכון.

2 plus 2 times this by this, which is 2 the square root of

שתיים ועוד שתי פעמים זה כפול זה, שזה פעמיים השורש הריבועי של

2 times square root of 3 plus this squared.

פעמיים השורש הריבועי של שלוש ועוד זה בריבוע.

אז זה שלוש.

So this reduces down to 5 plus 2 by the square root of 2 by

אז זה מצטמצם לחמש ועוד שתיים כפול שורש של שתיים

the square root of 3.

כפול שורש של שלוש.

OK, so this is what we've done.

טוב, אז זה מה שעשינו.

We've done that there, but look what's popped out.

עשינו את זה שם, אבל תראה מה צץ.

A number that we can use, a whole number.

מספר שאנחנו יכולים להשתמש בו, מספר שלם.

So what we'll do is on this side, we'll go 5 plus 2 by the

אז מה שנעשה זה, שבצד הזה, נעשה חמש ועוש שתיים כפול

square root of 2 by the square root of 3, and now

שורש ריבועי של שתיים כפול שורש ריבועי של שלוש ועכשיו

we'll take away 5.

נחסיר חמש.

So we'll end up getting 2 by the square root of 2 by the

אז, בסוף נקבל שתיים כפול השורש הריבועי של שתיים כפול

square root of 3.

השורש הריבועי של שלוש.

And this is good, because there's no

וזה טוב, כי אין

plus sign in the middle.

סימן חיבור באמצע.

What can we do next?

ומה אפשר לעשות עכשיו?

Well, we're going to square all of that.

טוב, אנחנו הולכים להעלות את הכל בריבוע.

So 2 squared is 4, and the square root of 2 squared is 2.

אז שתיים בריבוע זה ארבע, והשורש הריבועי של שתיים בריבוע, זה שתיים.

And the square root of 3 squared is 3.

והשורש הריבועי של שלוש בריבוע, זה שלוש.

OK, so that dot is another way of saying times.

יפה, אז הנקודה הזו היא צורה אחרת לומר "כפול".

And so that one is 2/8, two 4's are eight,

אז זה שתי שמיניות, פעמיים ארבע זה שמונה,

eight 3's 24, done.

שלוש פעמים שמונה, עשרים וארבע, זהו.

So if we go 24, take 24, boom, we get down to 0.

אז אם יש לנו עשרים וארבע, תחסיר, בום! הגענו לאפס.

What I wanted to show you, the reason why I wanted to show

מה שרציתי להראות לך, הסיבה שרציתי להראות לך

you this is because all these different numbers look very

את זה, כי כל המספרים השונים האלה, נראים מאוד

complicated, unrelated, but let me show you.

מורכבים, לא קשורים, אבל תרשה לי להראות לך.

Now, let's replace all the numbers we put in with x.

עכשיו, בוא נחליף את כל המספרים שלקחנו באיקס.

x take 10 is 0, 4x take 3 is 0, x squared take 2 is 0, x

איקס פחות 10 זה 0, ארבע איקס פחות 3 זה 0.איקס בריבוע פחות 2 זה אפס.

squared plus 1 is 0, and this one is x squared take 5, all

איקס בריבוע פלוס 1 זה 0, וזה איקס בריבוע פחות חמש, הכל

squared, take 24 equals 0, which if we

בריבוע, פחות 24 שווה אפס, שאם נרחיב

expand out, so look.

These all look like algebra problems.

כל אלה נראים כמו בעיות באלגברה.

So what we did was in our game, we picked numbers, and

אז מה שעשינו במשחק שלנו, בחרנו מספרים, וניסינו

we tried to get them to 0.

לצמצם אותם לאפס.

But the opposite could have been here, let's solve for x.

אבל את ההפך אנחנו יכולים לעשות כאן, בוא נפתור עבור איקס.

Now, this is the stuff that you get taught in school.

עכשיו, זה מה שמלמדים אותך בבית-הספר.

This is algebra, and it so happens that the family that

זה אלגברה, ובמקרה שהמשפחה לה שייכים

all these numbers belong to, even the square root of

כל המספרים האלה, אפילו השורש

negative 1, is algebraic numbers.

של מינוס אחת, היא משפחת המספרים האלגבריים.

So we've actually found a home for some of the biggest stars

אז ממש מצאנו בית לכמה מהכוכבים הגדולים

of maths, the numbers that have caused huge problems and

של המתמטיקה, מספרים שגרמו לבעיות ענקיות

schisms, what is the square root of negative 1?

ויריבויות, מה השורש הריבועי של מינוס אחת?

Square root of 2 from the ancient times,

השורש הריבועי של שתיים from עוד מהעת העתיקה,

the Pythagorean times.

מתקופת פיתאגורס.

People died because of this number.

אנשים מתו בגלל המספר הזה.

But somehow we've found a family for these numbers,

אבל, איכשהו מצאנו משפחה למספרים האלה

algebraic numbers.

מספרים אלגבריים.

So next, we're going to need another sheet of paper.

אז עכשיו, אנו נצטרך יריעת נייר נוספת.

We've chosen some numbers.

בחרנו מספרים מסויימים.

What about a special number?

מה לגבי מספרים מיוחדים?

מה לגבי e?

Now this number here--

המספר הזה פה--

if you're not familiar with it-- this number is a

אם אינך מכיר אותו הוא-- המספר הזה הוא

fantastic number for maths.

מספר פאנטסטי במתמטיקה.

And what it is is that if it's a function, a function of e to

והמספר הזה אם הוא המצא בפונקצייה, פונקצייה של e בחזקת

the x, e to any number that you raise it to, OK?

איקס, e בחזקת כל מספר, טוב?

On the graph, when you graph it like so, the y value is

על הגרף, כשאתה מצייר את זה כך, ערכי ה-y הם

also at the slope of the tangent at that point.

גם שיפועי המשיק בנקודה.

So it's really, really important to natural growth.

אז זה מאוד, מאוד, חשוב לגידול טבעי.

It's like a really fantastic number.

זה, ממש מספר פנטסטי.

It means a lot to life, really, but it's actually a

הוא באמת בעל משמעות רבה בחיים, והוא, למעשה, ממש

super crazy number.

מספר סופר משוגע.

Super, super crazy.

סופר, סופר משוגע.

One of the expressions I can show you for it is actually an

אחד הביטויים שלו, שאני יכול להראות לך, הוא למעשה

סכום אין-סופי.

So I'm going to blow you away.

אז, אני הולך להדהים אותך.

It's 1 plus 1 on 1 plus 1 on 2 plus 1 on 6 plus 1 on 20--

זה 1 ועוד 1 חלקי 1 ועוד 1 חלקי 2 ועוד 1 חלקי 6 ועוד אחת חלקי 20 --

anyway, it keeps going forever and ever.

בכל מקרה, זה נמשך לנצח נצחים.

But can we play the game with this number?

אבל האם אנו יכולים לשחק את המשחק עם המספר הזה?

Can we bring this number down to 0 using the

האם אנו יכולים לצמצמם את המספר הזה לאפס עם החוקים

rules of our game?

של המשחק שלנו?

BRADY HARAN: Can we do it with algebra?

בריידי הראן: האם אפשר לעשות זאת עם אלגברה?

SIMON PAMPENA: Can we do it with algebra?

סיימון פמפנה: האם אנו יכולים לשעות זאת עם אלגברה?

BRADY HARAN: All right.

בריידי הראן: בסדר.

SIMON PAMPENA: Well, for ages and ages and ages, e's been

סיימון פמפנה: טוב, במשך שנים על-גבי שנים, e נמצא

around for about 400 years.

איתנו במשך ארבע-מאות שנים.

Nobody really knew.

איש לא ידע.

I mean, this number is really, really

כלומר, המספר הזהis מאוד, מאוד

important, and no one knew.

חשוב ואף-אחד לא ידע.

It so happens, we can't.

וקרה שאנחנו לא יכולים.

BRADY HARAN: It can't be done.

בריידי הראן: אי-אפשר לעשות זאת.

SIMON PAMPENA: It can't be done, and I'll show you why.

סיימון פמפנה: אי-אפשר לעשות זאת, ואני אראה לך מדוע.

Well, I'll kind of try and show you why, because it's

טוב, אני אנסה להראות לך מדוע, משום שזה

actually really tricky.

למען האמת, די טריקי.

But it was a guy called Charles Hermite, and he

אבל זה היה בחור בשם צ'ארלס הרמייט והוא

basically showed--

הראה בעיקרון--

right, so I'm going to use these symbols here, because I

בסדר, אז אני הולך להשתמש בסימנים האלה פה, כי אני

don't know what the formula will be.

לא יודע איך הלוכת להיות הנוסחא.

He basically showed if you try and play the game, right,

הוא בעיקרון הראה שאם תנסה לשחק את המשחק, טוב,

bringing e to any power that you want, whole power and

להעלות את e בכל חזקה שתרצה, מספרים שלמים

timesing it by any whole number.

ולהכפיל את זה במספרים שלמים.

So if you claim that there does exist some bit of algebra

אז אם אתה טוען שיש פה איזושהי טיפה של אלגברה

that you can bring it down to 0, he showed that you'll lead

שאתה יכול לצמצם את זה לאפס, הוא הראה שזה יוביל

to a contradiction.

Basically, he showed that there was a number, a whole

בעיקרון, הוא הראה שיש מספר, מספר

number that existed between 0 and 1.

שלם שקיים בין אפס לאחת.

Obviously, there's not.

ברור, שאין.

Obviously, there's not.

ברור, שאין.

But this is what you do in maths, is that if you want to

אבל זה מה שעושים במתמטיקה, אם רוצים להראות

show you something is impossible, you kind of assume

שמשהו בלתי-אפשרי, אתה סוג של מניח

that it's true, and then you show that it creates a

שזה נכון ואז מראה שזה יוצר

So this is amazing.

אז זה מדהים.

So this is what Hermite discovered, and this is

אז זה מה שהרמייט גילה וזה

really, really a fantastic--

ממש, ממש פנטסטי--

I mean, everyone should be excited by this, because e is

כלומר, כולם צריכים להתרגש מזה, כי e הוא

לא אלגברי.

So what number is it?

אז איזה מספר זה?

Well, it somehow transcends what we're capable of doing.

טוב, הוא איכשהו מתעלה (טרנסנד) מעל מעל יכולתינו.

The thing with algebra is that's how we build numbers.

הקטע עם אלגברה הוא איך אנו בונים מספרים.

Like, that's our world is built with algebra.

כאילו, העולם שלנו בנוי עם אלגברה.

Like, any number that you kind of deal with in your everyday

כאילו, כל מספר שאתה מתעסק איתו בחיי

life has a lot to do with algebra.

היום-יום, קשור איכשהו באלגברה.

You're just adding, taking, dividing, things to the power,

אתה בסך-הכל מחבר, מחסר, מחלק, מעלה בחזקה,

אבל e הוא לא.

So it somehow transcends maths.

אז איכשהו הוא מתעלה מעל המתמטיקה.

So that's what they called it. e is transcendental.

אז כך הם קראו להם . e הוא טרנסדנטלי (מתעלה).

It's actually [INAUDIBLE]

זה למעשה [INAUDIBLE]

show you other than e.

מראה לך חוץ מ-e.

You know why, is because--

אתה יודע למה, משום ש--

well, this is the interesting thing.

טוב, זה די מעניין העניין הזה.

e wasn't the first transcendental number.

e לא היה המספר הטרנסדנטלי הראשון.

They discovered a transcendental number,

הם גילו מספר טרנסדנטלי,

Liouville, I think his name is, discovered a

ליאוויל, אני חושב, היה שמו, גילה

transcendental number quite a long way before this, 30 years

מספר טרנסדנטלי די הרבה זמן לפני זה, שלושים שנים

But it was like, through construction.

אבל זה היה באמצעות, בנייה.

So he was actually trying to find a number based on the

אז הוא ממש ניסה למצוא מספר שמתבסס על החוקים

rules of the game that didn't fit.

של המשחק, שלא מתאים.

What's special is that e was already, it's already a

מה שמיוחד הוא ש-e כבר, כבר היה

superstar of maths, e.

סופר סטאר של המתמטיקה, e.

Like, people knew about it.

כאילו, אנשים הכירו אותו.

So this was an extra piece of information.

אז זו הייתה חתיכה נוספת של אינפורמציה.

But then people asked this question.

טבל אז אנשים שאלו את השאלה הזו.

מה לגבי פאי?

BRADY HARAN: Superstar.

ברייד הראן: סופרסאטר.

SIMON PAMPENA: The superstar.

סיימון פמפנה: הסופרסטאר.

This is the superstar of math.

זה הסופרסטאר של המתמטיקה.

2,000 years old.

בן אלפיים שנים.

מה הוא פאי?

Is pi algebraic or transcendental?

האם פאי אלגברי או טרנסדנטלי?

So you've got to imagine as a mathematician,

אז, אתה חייב להבין שכמתמטיקאי,

OK, you love pi.

או-קיי, אתה אוהב את פאי.

Like, it comes with the territory.

כאילו, זה בא עם התפקיד.

You cannot not like pi.

אתה לא יכול שלא לאהוב את פאי.

So this is the thing, is that you could actually add to the

אז העניין, הוא שאתה, באמת, יכול להוסיף

knowledge of pi.

לידע כל פאי.

You could add something new, which is incredible.

אתה יכול להוסיף משהו חדש, שהוא מדהים.

I mean, I would die a happy man if I could do that.

כלומר, אני אמות אדם מאושר אם אוכל לעשות זאת.

So this question came up, what is pi?

אז עלתה השאלה הזו מה לגבי פאי?

Is it algebraic or transcendental?

האם הוא אלגברי או טרנסדנטלי?

And so it was about, probably 1880s that a guy called

וזה היה, בערך בשנות השמונים של המאה התשע-עשרה שבחור בשם

Lindemann actually came up with the answer.

ליינדמן, ממש מצא את התשובה.

He showed, and again, this is a very tricky thing that he

הוא הראה, ושוב, זה דבר מאוד טריקי, מה שהוא

showed, he showed e raised to any algebraic number is

הראה, הוא הראש ש-e בכל חזקה של מספר אלגברי הוא

transcendental.

טרנסדנטלי.

So for example, e to the 1, e.

אז כדוגמא, e בחזקת 1, e.

That's a good thing, because e should be transcendental,

זה דבר טוב, כי e אמור להיות טרנסדנטלי,

because it's already been proven.

כי זה כבר הוכח בעבר.

Because 1 is algebraic.

וכי 1 הוא אלגברי.

Your favorite number, Brady, e to the 10.

המספר החביב עליך, בריידי, e בחזקת 10.

That's transcendental, right?

זה טרנסדנטלי, נכון?

e to the square root of 2, e to the i.

e בחזקת השורש הריבועי של 2, e בחזקת i.

מה לגבי פאי?

So how could you use this fact here, e to the a, so a is any

אז איך אתה יכול להשתמש בעובדה הזו, e בחזקת a, כש-a הוא

algebraic number, is transcendental?

מספר אלגברי, יוצא טרנסדנטלי?

How can you use that fact to show that pi is

איך אתה יכול להשתמש בעובדה הזו להראות שפאי הוא

transcendental?

טרנסדנטלי?

OK, so this is the thing.

או-קיי, אז העניין הוא כזה.

Again, it's a proof by contradiction.

שוב, זו הוכחה על-ידי סתירה.

So, this is what he did.

אז, זה מה שהוא עשה.

He said, let's assume pi is algebraic.

הוא אמר, נניח כי פאי הוא אלגברי.

So pi is algebraic.

אז פאי הוא אלגברי.

That means there's a formula for it.

זה אומר שיש נוסחא לחשב את זה.

OK, what's that formula?

טוב, ומה הנוסחא?

Because it doesn't exist.

כי היא לא קיימת.

But as an example, if you're an engineer, you'd say, oh,

אך כדוגמא, אם אתה מהנדס, את תאמר, הו,

yeah, pi, 22 on 7.

כן, פאי, 22 חלקי 7.

או-קיי, מגניב.

So that means pi times 7 take 22 equals 0.

אז זה אומר שפאי כפול 7 פחות 22 שווה 0.

That's not true, by the way.

זה לא נכון, דרך-אגב.

There's no way I'm claiming that to be true.

אני לא טוען שזה נכון בשום אופן.

Don't you dare cut it and say Simon thinks that's true.

שלא תעזר לערוך את זה ולומר שסיימון חושב זשה נכון.

זה לא נכון.

פאי, 22 חלקי 7.

פאי, 22 חלקי 7.

I know pi to quite a few decimal places, and that's

אני יודע את פאי כמה ספרות אחר הנקודה, וזה

obviously not true.

ברור שזה לא נכון.

And an actual fact, just so I can tell you, another really

ועוד עובדה מעניינת, סתם ככה, עוד קירוב

nice approximation of pi is the cube root of 31.

טוב מאוד של פאי זה השורש המשולש של 31.

It's actually pretty close.

זה באמת די קרוב.

So that could be another formula.

אז זו יכולה להיות נוסחא נוספת.

So that means if we cube that and take away

מה שאומר שאם אנחנו מעלים בחזקת שלוש ומחסרים

31, that equals 0.

שלושים ואחת, זה שווה 0.

OK, so we've got like these phony equations.

טוב, חייבים לאהוב את הנוסחאות המזוייפות האלה.

This is the big kicker.

הנה לב העניין.

This is the big kicker.

הנה לב העניין.

We're going to use another superstar equation, OK?

אנחנו הולכים להשתמש בעוד נוסחאת סופרסטארית, או-קיי?

e to the i pi equals negative 1.

אי בחזקת איי כפול פאי שווה למינוס אחת

So this is Euler's identity.

אז זו בעצם זהות אוילר.

It's a famous one, isn't it?

היא די מפורסמת, לא?

But look at it.

אבל תסתכל עליה.

Look what it says. e raised to the i pi is negative 1.

ראה מה היא אומרת. e בחזקת איי כפול פאי שווה מינוס אחד.

Now, i pi, OK, if we assume pi is algebraic, that means i pi

עכשיו, איי כפול פאי, אם אנחנו מניחים שפאי הוא אלגברי, זה אומר שאיי כפול פאי

must be algebraic.

חייב להיות אלגברי.

So e to an algebraic number has to be transcendental.

אז e מספר אלגברי חייב להיות טרנסדנטלי.

But is negative 1 transcendental?

אבל האם מינוס אחת טרנסדנטלי?

It's not, because we can play the game, and we

הוא, כי אנחנו יכולים לשחק את המשחק, ואנחנו יכולים

can get it to 0.

לצמצם אותו לאפס.

So by using another increase piece of maths in your

אז ע"י שימוש בעוד שדרוג מתמטי בנוסחא

formula, imagine this is like you're making a film, like

שלך, חשוב על זה כאילו שאתה מצלם סרט like

you're doing a maths film, and you've just got the biggest

את מצלם סרט מתמטי, ובדיוק הצלחת להשיג

Hollywood star in the world to start in it.

את הכוכב הוליווד הכי גדול בעולם לככב בו.

Starring in your proof.

לככב בהוכחה שלך.

So this here, e to the i pi is negative 1.

אז ככה זה הולך, e בחזקת איי כפול פיי שווה מינוס אחת.

If indeed this was algebraic, this would have to be

אם באמת זה היה אלגברי, אז זה יהיה חייב להיות

transcendental, so that means i pi cannot be algebraic.

טרנסדנטלי, מה שאומר שאיי כפול פיי לא יכול להיות אלגברי.

And who's the culprit?

Well, it's not the square root of negative 1.

טוב, זה לא השורש הריבועי של מינוס אחת.

So pi cannot be algebraic, which means pi must be

אז פאי לא יכול להיות אלגברי, אז פאי חייה להיות

transcendental.

טרנסדנטלי.

So there's something really tricky going on, and that's

אז יש פה משהו מאוד טריקי, וזו הסיבה

שאני אוהב את זה.

Because the tricky stuff is where all the

כי בחלקים הטריקיים מתחבאת כל

awesome maths is.

המתמטיקה האדירה.

In maths, perfection is important.

במתמטיקה, שלמות חשובה ביותר.

But then, anyone who uses maths--

אבל, כל מי שמשתמש במתמטיקה--

for physics or chemistry, or whatever you want to do--

בפיזיקה וכימיה, או מה שלא יהיה שאתה רוצה לעשות--

then they can kind of use approximations.

אז הם יכולים להשתמש בקירובים.

I'm not interested in approximations.

אני לא מעוניין בקירובים.

Similar videos:

Infinity is bigger than you think - Numberphile
Numberphile
7.1M views 97.4K likes 4.2K dislikes 06 Jul 201273% match

All the Numbers - Numberphile
Numberphile
1.4M views 39.9K likes -1 dislikes 04 Mar 201967% match

4937775 - Numberphile
Numberphile
714.3K views 8.1K likes 229 dislikes 22 Dec 201265% match

1 and Prime Numbers - Numberphile
Numberphile
2.2M views 38K likes 865 dislikes 03 Feb 201258% match

Amazing Old Calculator (Curta) - Numberphile
Numberphile
759.7K views 16.4K likes 120 dislikes 07 Oct 201258% match

Pi - Numberphile
Numberphile
914.6K views 8.8K likes 243 dislikes 12 Mar 201257% match

3 is everywhere - Numberphile
Numberphile
2.7M views 40.5K likes 2.1K dislikes 01 Apr 201252% match

666 - Numberphile
Numberphile
4M views 43K likes 2.1K dislikes 12 Apr 201250% match

163 and Ramanujan Constant - Numberphile
Numberphile
1.6M views 18.1K likes 718 dislikes 02 Mar 201244% match

13,983,816 and the Lottery - Numberphile
Numberphile
2.9M views 19.3K likes 1.7K dislikes 28 Mar 201244% match

17 and Sudoku Clues - Numberphile
Numberphile
2M views 20.9K likes 487 dislikes 24 Jan 201243% match

Googol and Googolplex - Numberphile
Numberphile
3.7M views 73.9K likes 1.3K dislikes 17 Feb 201242% match

42 and Douglas Adams - Numberphile
Numberphile
1.3M views 18K likes 462 dislikes 08 Mar 201242% match

abc Conjecture - Numberphile
Numberphile
1.5M views 19.6K likes 330 dislikes 12 Oct 201241% match

The LONGEST time - Numberphile
Numberphile
1.4M views 17.5K likes 382 dislikes 18 Jul 201239% match

998,001 and its Mysterious Recurring Decimals - Numberphile
Numberphile
3M views 51K likes 694 dislikes 06 Mar 201239% match

Root 2 - Numberphile
Numberphile
3.5M views 49.7K likes 1K dislikes 27 Jan 201238% match

How to order 43 Chicken McNuggets - Numberphile
Numberphile
2.8M views 42.1K likes 2K dislikes 09 Oct 201233% match

Math in the Simpsons: Apu's paradox
Mathologer
1.9M views 27.1K likes 1.6K dislikes 02 Oct 201528% match

Introduction to scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
764.1K views 1.5K likes 118 dislikes 02 Nov 200928% match

Pierre RABHI
Soleil Levant
5.4K views 67 likes 1 dislikes 01 Dec 201627% match

Algebra - Completing the square
yaymath
2.5M views 23.4K likes 1.6K dislikes 26 Feb 201326% match

DeFi : Cet investissement va te permettre de faire X10 au minimum !
Rousseaux Les Bons Tuyaux
8K views 499 likes 34 dislikes 20 Feb 202126% match

Domain and range of a function | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 3K likes 283 dislikes 02 Apr 201026% match

The Daddy of Big Numbers (Rayo's Number) - Numberphile
Numberphile
1.6M views 36.2K likes -1 dislikes 12 Apr 202026% match

e to the pi i for dummies
Mathologer
2.5M views 59.3K likes 1.5K dislikes 24 Dec 201525% match

Episode 7 - "The Final Stretch" - No Ordinary Women documentary
SCA
9.1K views 20 likes 0 dislikes 01 Jun 201525% match

Avoir un aidant et prendre des décisions ensemble -avec le Deuxième Humain
Vivre Avec
10.3K views 755 likes 14 dislikes 14 Oct 202025% match

58 and other Confusing Numbers - Numberphile
Numberphile
1.9M views 62K likes 713 dislikes 06 Mar 201525% match

* Suma y resta de fracciones con diferente denominador │ MCM
math2me
3.7M views 23.9K likes 3.1K dislikes 26 Nov 201025% match

Settings Privacy About Contact Donate