Divergence 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy Khan Academy Turkish English

Divergence 2 | Multivariable Calculus | Khan AcademyYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 160.1K views 585 likes 8 dislikes 11 Aug 2008

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

En son kaldığımız yerde diverjansı anlatmaya çalışıyordum ki süremiz bitti

-

So where we left off I was attempting to give you the

-

intuition of divergence and then I ran out of time.

Sıvı parçacıklarının herhangi bir noktadaki hızını basit bir vektörle tanımlamıştık.

But anyway, I had defined this fairly straightforward vector

-

field that tells us the velocity of particles in a

-

fluid at any given point.

-

And let me clean it up a little bit.

-

This one half I had all these scratch offs.

Hızı, tekrar yazayım, 1/2 x i olarak tanımlamıştım.

The velocity, I'm just going to rewrite it, is equal to 1/2xi.

y bileşeni yoktu.

So at any given point has no y component.

Hız yalnızca x yönünde xy düzleminde yukarı doğru hareket yok.

So all of the velocity is only in the x direction -- there is

-

no upwards movement in the xy plane.

-

And I was drawing it out.

x 1'e eşitse, demiştim, hızın büyüklüğü saniyede 1/2 metre.

I said OK, when x is equal to 1, the magnitude of the

-

velocity is 1/2 maybe meters per second, if that's our unit.

x 2 ise, sağa doğru hız , saniyede 1 metre - evet, 1/2 çarpı 2.

When x is equal to 2, the velocity to the right will

-

be 1 meter per second, right -- 1/2 times 2.

Sağa gittikçe, parçacıklar daha hızlı bir şekilde sağa doğru hareket ediyor.

So the further we go to the right, or the more we go to the

-

right, the faster the particles are moving to the right.

Şimdi diverjansın anlamını kavramaya çalışalım.

So now let's try to get our handle on what

-

divergence means.

Öncelikle, bu fonksiyonun diverjansını bulalım.

So first of all, let's take that the divergence

-

of this function.

Hız vektör alanımız v'nin diverjansını, del vektörü iç çarpım v olarak da tanımlayabiliriz.

So that divergence of v, of our velocity vector field -- you

-

could also view that if you want to abuse some notation,

-

is our del vector, dot v.

Bir boyutta diverjans, x bileşeninin x'e göre kısmi türevidir.

But if we only have one dimension, so it's the

-

partial derivative of the x magnitude with respect to x.

Bu kısmi türev nedir?

So what's the partial derivative?

1/2x'in x'e göre kısmi türevidir.

So it's equal to the partial derivative with

-

respect to x, of 1/2x.

-

Bu ifadenin x'e göre türevi 1/2'dir.

So it's equal to -- well the derivative of this with respect

-

to x is just equal to 1/2 .

Buna göre, bu vektör alanının her noktadaki diverjansı 1/2'dir.

So that divergence of this vector field at

-

any point is 1/2.

Peki, bunun anlamı nedir?

Now what does that tell us?

Tanıma bakarsanız, x yönünde alanın ne kadar arttığına baktık.

Well, if you just look at the definition, right, we

-

essentially just took the -- how much does the magnitude

-

of the field increase in the x direction?

Görsel olarak, x yönünde arttıkça, alanın daha genişlediğini gördük.

And we see it visually.

-

As we go, increase in the x direction, the field gets

-

stronger and stronger.

Veya, parçacıkların x yönünde hareket ettikçe, sağa doğru hızlarının arttığını söyleyebiliriz.

Or since we know that this is the velocity of particles, as

-

we go in the x direction, the particles go faster and

-

faster to the right.

Bu pozitif diverjansı şöyle yorumlayabiliriz: Gelişigüzel küçük bir çember alalım.

Now what this tells us, what this positive divergence tells

-

us is if we were to take -- let's just take an

-

arbitrarily small circle.

Çemberi çizince mantığını anlayacağınızı düşünüyorum.

I think it'll start to make sense once I draw the circle.

Farklı bir renkte istediğim küçüklükte bir çember çizeyim. Aslında bu çember çok küçük olabilir, ama ben çizdiğim vektörlerin bir kısmını kapsasın diye büyük çizdim.

If I take an arbitrarily -- I'm going to draw it in a different

-

color -- and this circle could be arbitrarily small, but I'm

-

drawing it pretty large so it can include some of our

-

vectors that I've drawn.

Şimdi ne olduğuna bakalım.

What's happening?

-

Sağ tarafta, çok hızlı bir şekilde çemberi terkeden parçacıklar var, öyle değil mi?

On the right hand side, I have particles exiting really,

-

really fast, right?

Ve, diyelim ki, bir saniyede, sağ taraftan bir sürü parçacık hızla ayrılacak.

And let's say in a given amount of time, let's say in one

-

second, in one second out of the right side, since the

-

particles are moving really fast, I'm going to have a

-

bunch of particles leave the right hand side, right?

Aynı zaman dilimi içinde, bazı parçacıklar da soldan çemberin içine girecek, ama içeri girenlerin sayısı daha az olacak.

And in the same amount of time, I will have some particles

-

come in through the left hand side, but it's going to be a

-

fewer number of particles.

Herhangi bir zaman dilimi içinde ne olduğunu düşünebilirsiniz.

So the way you could think about it is in any given amount

-

of time, what's happening?

Bu alanda, bir kısım parçacık soldan giriyor, ama çok daha fazla parçacık sağdan çıkıyor.

In this space, I have a few particles entering in through

-

the left, and I have a much larger number of particle

-

leaving through the right.

Buna göre, bu alana ne olur?

So what's going to happen in this space?

Yoğunluğu azalır, öyle değil mi?

It's going to become less dense, right?

Çünkü,alanın içindeki parçacık sayısı bu zaman dilimi sonunda azalacaktır.

Because in that space is going to be fewer particles after

-

a certain amount of time.

İçeri girenlerden daha fazlası dışarı çıkmaktadır.

More are leaving than are coming in.

Dolayısıyla, bu pozitif diverjans, bize vektör alanının her noktasında yoğunluğun azaldığını söylemektedir.

So this positive divergence tells us that at that point, or

-

really at any point in this vector field since the

-

divergence is 1/2 everywhere, at any point in this vector

-

field, the field is becoming less dense.

Veya, diyebiliriz ki, içeri akandan fazlası dışarı akmaktadır.

Or you could say that more is flowing out of any

-

point than flowing in.

Mantıklı, değil mi?

It makes sense, right?

Diğer çeyrek düzleme girersek, garip şeylere rastlayabiliriz, o yüzden birinci çeyrek düzlemde olanı anlamaya çalışalım.

Because if as we move to the right, and it kind of gets

-

funky if you go into the other quadrant, so we'll stick to the

-

first quadrant while we're trying to get our intuition.

Bu durum mantıklı, çünkü sağa gittikçe, parçacıklar daha hızlı hareket etmekte.

But it makes sense, because as we move to the right

-

our particles are getting faster and faster.

Bunun sebebi de, x'e göre türevimizin pozitif olması.

And that kind of just falls out of the fact that our derivative

-

with respect to x is positive.

x bileşenimizin artışının eğimi pozitif.

The slope of how much our x component is

-

increasing is positive.

Buna göre, sağa gittikçe, hızımız artıyor. Bunun da anlamı, bir çember çizersek, sağdan ayrılanların soldan girenlerden her zaman daha fazla olacağıdır.

So as we go to the right, our velocities are going getting

-

faster and faster, which means if we were to draw a circle

-

anywhere, we're always going to have more exiting the right

-

than entering through the left.

Dolayısıyla, her noktada yoğunluğumuz azalmaktadır.

So we're going to be getting less dense at any given point.

Veya, şöyle de düşünebiliriz: Her nokta bir parçacık kaynağıdır; bir küre olduğunu varsayarsak, kürenin sağ tarafından ayrılanlar, sol tarafından girenlerden fazladır.

Or you could almost view it as any given point is almost a

-

source of particles, or if you have a sphere, more particles

-

are going to be coming out of the sphere through the right,

-

than coming in through the sphere to the left.

Böylece, pozitif diverjansı, alanın yoğunluğunun bir noktada azalması, veya o noktanın -kullandığınız modele göre- alanın veya parçacıkların kaynağı olması şeklinde yorumlayabiliriz.

So you could view a positive divergence as you could kind of

-

say well, the field is becoming less dense at that point, or

-

the point is a source of the field, or it's a source of

-

particles, depending on what model you want to use.

Bunu belirttikten sonra, tam tersi duruma gözatalım.

Now, with that said, let's take the opposite situation.

-

Diyelim ki, vektör alanı eşittir eksi 1/2 x çarpı i.

Let's say that the vector field is equal to is

-

minus 1/2x times i.

Buna göre, vektör alanının diverjansı, x'e göre kısmi türevdir, yani eksi 1/2 x.

And so the divergence -- I'll use this notation -- the

-

divergence of our vector field is just a partial derivative

-

with respect to x, which is just minus 1/2.

Bunu çizmek istersek - burası y ekseni, burası x-ekseni.

If I were to graph it -- this is my y-axis,

-

this is my x-axis.

-

1 noktasında, hızım sola doğru 1/2.

So here at like, say, the point 1, my velocity is

-

going to be the left 1/2.

2 noktasında, sola doğru saniyede 1 metre hızla hareket edyorum.

At the point 2, my velocity is going to be the left

-

1 meter per second.

3 noktasında, hızım 3/2.

At the velocity 3, it's going to be 3/2.

y'ye bağımlı olmadığını zaten biliyoruz. Yalnızca x'e bağımlı.

You know it doesn't depend on y.

-

It only depends on x.

-

Şimdi küçük çemberimi çizeyim ve ne olduğuna bakayım.

So now let's draw a little circle and see

-

what's happening.

Şuraya çizelim. Aslında istediğimiz yere çizebiliriz.

Let's draw it here.

-

It could be anywhere.

İstediğimiz kadar küçük olabilir, ama biz daha iyi anlamak için biraz büyük çizdik.

It's infinitely small, but we're just trying

-

to get some intuition.

Belli bir zaman sonra, mesela 1 saniye, ne olur?

So after a certain amount of time what's happening?

-

Let's say after a second.

Soldan bazı parçacıklar ayrılır, ama sağdan çok daha fazla parçacık çemberin içine girer.

Well, I'm having a few particles leave through the

-

left hand side, right, but I have many more particles

-

entering this little region that I've defined, this little

-

circle, I'm having many more particles enter through the

-

right in a given amount of time.

Dolayısıyla, belli bir zaman dilimi sonunda, belirttiğim alanın yoğunluğu artar.

So in any given amount of time, in my defined space, it's going

-

to get denser and denser.

Zaman içinde bu alanda gittikçe artan sayıda parçacık olacaktır.

There's going to be more and more particles in

-

that space over time.

Alanın yoğunluğu artmaktadır veya alanın parçacık yuttuğunu düşünebiliriz.

So it's getting denser or you could almost view it as this

-

space is sucking up particles.

-

Önceki örnekte, parçacık kaynağı görmüştük- ayrılanların sayısı, girenlerden fazlaydı.

In the previous example it was a source of particles -- more

-

were coming out than going in.

Şimdi, girenlerin sayısı ayrılanlardan fazla. Ve bu da, negatif diverjans demek.

Now more going in through the right than coming out.

-

And that's what a negative divergence.

Diverjans kelimesini düşünelim.

You could almost say -- let's think about the

-

word, divergence.

Pozitif ise, parçacıklar veya alan o noktadan uzaklaşıyor.

When it's positive, if I have a positive divergence, the

-

particles or the field is diverting out of that point.

Negatif diverjans durumunda ise - yeni bir terim yaratalım.

If I have a negative divergence -- maybe

-

let's define a new term.

Bunun hiç kullanıldığını duymadım, ama negatif diverjansı konverjans, yakınsama olarak düşünebiliriz, öyle değil mi?

I've never actually heard it this way, but maybe a negative

-

divergence we view as a convergence, right?

Yakınsama, uzaksamanın tersidir.

Converge is the opposite of diverge.

Bu durumda, bazı parçacıklar ayrılsa da, çok daha fazlası sağdan içeri giriyor, böylece alanın yoğunluğu artıyor.

So here, even though some particles are leaving through

-

the left, many more particles are coming through the

-

right, so it's getting denser and denser.

O da buradaki örnek.

And that's this example here.

Bu alandaki her noktada, negatif diverjans var.

And actually at every point in this field we have

-

a negative divergence.

Bu alanın tamamında her noktada yoğunluk artıyor.

So every point is getting denser and denser actually

-

everywhere in this field.

Size bir alanın net artış, azalışının önemli olduğunu göstermek istemiştim. Şimdi klasik diverjans örneğine bakalım.

And then the classic example of a divergence, although I wanted

-

to show you that what matters is the net that's coming

-

in to a certain area.

Klasik örnek şöyle bir şeye benziyor.

But the classic example of a divergence is a field that

-

looks something like this.

Bu x, şu y, bu x.

Where maybe that's the x -- that's the y, this is the x.

-

Buna benzeyen bir alanınız varsa, bu da negatif diverjansın klasik bir örneğidir, öyle değil mi?

If you have a field that looks something like this, this is

-

the classical example of a negative divergence, right?

Her yönden parçacıklar içeri giriyor, ayrılan parçacık ise yok.

Where from every direction you have particles entering,

-

nothing's leaving.

Görüldüğü üzere, belli bir zaman sonunda, bu noktanın yoğunluğu artıyor.

So obviously, in any given amount of time, that point is

-

getting more and more dense.

Pozitif diverjansın klasik örneği de, tüm yönlerden parçacıkların ayrıldığı bir nokta olur.

And the classic example of a positive divergence is a point

-

where from every direction things are leaving it.

Buna göre, bu alanın yoğunluğu azalmaktadır.

So clearly this area is going to become less dense.

Parçacıkların hızından bahsediyorsak, zaman içinde daha fazla parçacık dışarı çıkmakta, çünkü hiçbir parçacık içeri girmiyor.

If we're talking about velocity of particles, after any moment

-

in time, more particles are leaving than coming in because

-

no particles are coming in.

Peki 0 diverjans ne demek?

Now what does it mean if we have a 0 divergence?

0 diverjansı olan bir vektör alanı yaratmaya çalışalım.

So let's try to create a vector field that has a 0 divergence.

Daha iyi anlamak için bir boyutta kalalım.

And we'll just stay at a one-dimension just

-

for the intuition.

Bunun anlamı, x'e göre kısmi türev 0'dır.

So that means that the partial derivative with

-

respect to x is 0.

Diyelim ki, vektör alanım 5i.

So let's say my vector field is 5i.

Yani, uzunluk her zaman i yönünde 5.

So the magnitude is always 5 in the i direction.

Şimdi bunu çizeyim.

So let me draw that.

-

Vektör alanı hep 5.

Vector field is always 5.

-

Sabit bir vektör alanı olarak da düşünebiliriz.

Another way to think of it if you have a constant

-

x değerim ne olursa olsun, vektörlerin uzunluğu hep aynı. Hep 5.

So the magnitude of the vectors, no matter what

-

my value of x, is always going to be the same.

-

It's always going to be 5.

-

Bir bölge çizersem, bu bölgede neler olduğuna bakalım.

So if I were to draw a region, what's happening here?

Ayrılan parçacıkların sayısı mı daha fazla, içeri girenlerin mi?

Are more particles entering than leaving or

-

leaving than entering?

Hayır. Hız örneğimize göre, ayrılanlarla, içeri girenlerin sayısı eşit.

-

For any amount that's coming in, an equal amount are coming

-

out in a certain amount of time, if we use velocity

-

as our example.

Buna göre, 0 diverjans yoğunluğun aynı kalması demek.

So when you have a divergence of 0, that means that that part

-

of the field is not becoming any more or less dense.

Size bir örnek daha göstereyim.

And you could have done it -- let me show you another.

Örneğin, fonksiyonum 2i artı 2j olsa, yoğunluk hala sabit, öyle değil mi?

If my function was, let's say it equals 2i plus 2j.

-

It's still a constant, right?

Buna göre, bu hız veya vektör alanı şöyle görünecek.

So this velocity field or vector field will look

-

something like this.

Tüm vektörlerin eğimi 1.

All the points would be, the vectors would

-

have a slope of 1.

Size iki boyutlu bir örnek göstermek istedim.

But I just wanted you to see something in two dimensions.

Bir sonraki videoda daha fiyakalı bir örnek yaparım

I'll do a fancier example in the next video.

Ama, burada bile, bir alan çizdiğimde, ayrılan ve içeri giren sayısının aynı olduğunu görüyoruz.

But even here, if I were to draw some region, the same

-

amount is entering as exiting.

Yoğunluk hiçbir noktada artmıyor.

So it's not getting any denser at any point.

Bu mantığa uygun, çünkü 2'nin x'e göre kısmi türevi 0'dır. Artı 2'nin y'ye göre kısmi türevi 0'dır. Böylece, 0 artı 0, yani diverjans da 0'dır.

And that makes sense because the divergence of this vector

-

field -- well, both of them actually, the divergence

-

of that vector field.

-

The partial derivative of 2 with respect to

-

x, well that's 0.

-

Plus the partial derivative of 2 with respect to y.

-

Well, that's also 0.

Neyse, yine sürem bitti.

Anyway, I've run out of time again.

Sonraki videoda görüşürüz.

I will see you in the next video.

-

Similar videos:

Diverjans 2 (Çok Değişkenli Kalkülüs) #kalkülüs
KhanAcademyTurkce
11.7K views 63 likes 0 dislikes 26 Aug 201393% match

Divergence 3 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
128.6K views 484 likes 5 dislikes 11 Aug 200838% match

Divergence 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
341.2K views 965 likes 37 dislikes 11 Aug 200835% match

Curl 3 | Partial derivatives, gradient, divergence, curl | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
118.8K views 509 likes 10 dislikes 12 Aug 200833% match

Curl 1 | Partial derivatives, gradient, divergence, curl | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
321K views 1.5K likes 33 dislikes 12 Aug 200831% match

Gradient of a scalar field | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
332.9K views 1.3K likes 56 dislikes 10 Aug 200831% match

Vector valued function derivative example | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
128.7K views 337 likes 6 dislikes 26 Feb 201031% match

Electric field | Electric charge, electric force, and voltage | Physics | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 3.5K likes 166 dislikes 13 May 200830% match

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200830% match

Calculus: Derivatives 1 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 16.6K likes 626 dislikes 03 Oct 200730% match

Vector field line integrals dependent on path direction | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
108K views 217 likes 4 dislikes 05 Mar 201029% match

Magnetic force on a current carrying wire | Physics | Khan Academy
Khan Academy
361.6K views 808 likes 47 dislikes 31 Jul 200829% match

Gradient 1 | Partial derivatives, gradient, divergence, curl | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
480.4K views 1.9K likes 55 dislikes 09 Aug 200829% match

Triple integrals 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
444.8K views 1.2K likes 38 dislikes 24 Aug 200829% match

Double integral 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
857.3K views 3.8K likes 123 dislikes 13 Aug 200828% match

Using a line integral to find the work done by a vector field example | Khan Academy
Khan Academy
350.4K views 1.2K likes 35 dislikes 26 Feb 201028% match

Limit examples (part 3) | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
896.5K views 2.6K likes 67 dislikes 30 Sep 200728% match

Introduction to harmonic motion | Oscillatory motion | Physics | Khan Academy
Khan Academy
732.7K views 1.5K likes 47 dislikes 17 Apr 200828% match

What is a differential equation
Khan Academy
2M views 7K likes 287 dislikes 28 Aug 200828% match

Euler's method | Differential equations| AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
856K views 2.9K likes 187 dislikes 25 Sep 201428% match

Example of closed line integral of conservative field | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
105.5K views 251 likes 5 dislikes 06 Mar 201028% match

Conceptual clarification for 2D divergence theorem | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
36.3K views 135 likes 1 dislikes 28 May 201228% match

Magnetic field created by a current carrying wire | Physics | Khan Academy
Khan Academy
690.2K views 1.9K likes 83 dislikes 01 Aug 200828% match

Line integrals and vector fields | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
498.3K views 2.1K likes 74 dislikes 26 Feb 201028% match

Double integrals 4 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
264K views 766 likes 9 dislikes 14 Aug 200828% match

Partial derivatives 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 652 likes 10 dislikes 09 Aug 200828% match

Cross product 1 | Magnetic forces, magnetic fields, and Faraday's law | Physics | Khan Academy
Khan Academy
427.2K views 1.1K likes 37 dislikes 29 Jul 200828% match

Polynomial approximation of functions (part 2)
Khan Academy
94.7K views 198 likes 6 dislikes 28 Apr 200827% match

Definite Integrals (area under a curve) (part III)
Khan Academy
312.8K views 707 likes 34 dislikes 19 Oct 200727% match

Derivative as slope of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.6M views 4.3K likes 146 dislikes 02 Nov 200927% match

Settings Privacy About Contact Donate