Polynomial approximation of functions (part 2)YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  94.7K views 198 likes 6 dislikes   28 Apr 2008
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
...
-
Entonces donde nos quedamos en el último video, seguiamos tratando de
Bir önceki videoda, bu mor f x'e bir polinomla yakınsamaya çalışıyorduk.
aproximar a este f de x (morado) con un polinomio.
-
Y, en el principio, habiamos dicho que ibamos hacer el polinomio un constante
İlk olarak, sabit bir polinomla başladık. Grafiği, 0, f 0 noktasında kesiyordu.
y configurarlo--- solo va a intersectar f de 0
-
cuando x es igual a 0.
-
Asi que esto es el principio--- puedes pensar en todo, como si fuera
Bu polinomu, sıfırıncı mertebeden bir yakınsama olarak da düşünebiliiz.
0 de la orden de aproximacion de la funcion.
-
Despues habiamos dicho, ¿que tal si no solo intersectan en x es
Sonra dedik ki, x eşittir 0'da kesişmenin yanısıra, x eşittir 0'daki eğimleri aynı olsa, ne olur? Şu yakınsama olur.
igual a 0? Pero digamos que su pendiente es lo mismo a x es
-
Igual a 0, y esa es la aproximacion?
-
Y asi de bueno operas hacer una
Bir doğruyla ancak bu kadar yakınsama elde edebilirsiniz, özellikle de 0'a yaklaştıkça.
linea, especialmente cuando te acercas a 0.
-
Y habiamos dicho, OK, esta bien, ¿pero que tal si sus segundos
Peki, ikinci türevleri aynı olursa, ne olur demiştik?
derivados son iguales?
-
Y asi es como nos quedamos con--- añadimos
Böylece bu polinomu elde ettik. Şu terimi ekledik.
este término aqui.
-
Y di a entender que ibamos a seguir haciendo este proceso.
Ve, bu şekilde devam edebileceğimizi belirtmiştim.
...
-
Y te puedes imaginar, si quiero que el tercer derivado sea
Buna göre, üçüncü türevlerinin aynı olmasını istesem, şuraya f'nin 0'daki türevini içeren bir terim ekleyebilirim.
igual, puedo añadir otro término aqui, más, donde yo
-
sé que es el valor de f de x de el tercer derivado esta a 0.
-
Entonces escribira aquello como f a el tercer derivado (cuando está
Bunu şöyle yazayım, f'nin 0'daki üçüncü türevi çarpı x küp.
en 0) multiplicado por x elevado a tres.
-
Ahora, ¿qué cree usted que va a estar aquí?
Peki, paydada ne olacak?
¿Qué va a ser el denominador?
-
Puedes estar tentado a decir que pondrá un 3 por aqui,
Şuraya bir 3 koymak isterdik tabii. Ama, 3 çarpı 2 koymamız gerekecek. Yani 6, veya 3 faktöriyel.
pero resuelta que vas a poner 3 multiplicado por 2, i.e. 6,
-
o 3!
-
¿Por qué es eso?
Peki, neden?
Déjasme tomar un poco salida aqui, y creo que
Burada, biraz soruya ara verelim ve neden 6 koyduğumuzu anlatayım.
van a empezar a entender porque se pone un 6 aquí abajo,
-
la razón por la cual no se pone un 3, sino un 6
Niye 3 değil de 6.
Aqui se pone un 2, pero el 2 también es un factorial, correcto?
Buraya 2 koymuştuk, ama 2 aynı zamanda 2 faktöriyel, öyle değil mi?
2 factorial es igual a 2 por 1, correcto?
2 faktöriyel eşittir 2 çarpı 1, öyle değil mi?
Espero que ustedes se acuerden de lo que es un factorial--si no, déjenme
Size, faktöriyelin ne olduğunu hatırlatayım.
recordarles lo que es un factorial, por las dudas.
-
10 factorial es igual a 10 por 9 por 8 por 7, etc. ,
10 faktöriyel eşittir, 10 çarpı 9 çarpı 8 çarpı 7 vesaire çarpı 2 çarpı 1.
etc. ,etc. , etc. , por 2 por 1.
-
Así que están multiplicando todos los números hasta ese número.
O sayıya kadar tüm sayıları çarpıyoruz.
4 factorial-- y el número crece muy rápidamente--es
4 faktöriyel eşittir, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1.
4 por 3 por 2 por 1
-
2 factorial es igual a 2 por 1
2 faktöriyel eşittir 2 çarpı 1.
1 factorial es igual a 1
1 faktöriyel eşittir 1.
Ahora esto es una combinación medio rara.
Bu, size garip bir tanım olarak gelebilir. Matematiğin kombinatorik alanından bir tanımdır.
Sale de la combinatoria.
-
En realidad, también funciona para lo que nosotros estamos haciendo, entonces, 0
Aslında, yaptığımız şey için çok uygun. Ayrıca, 0 faktöriyel de 1'e eşit.
factorial también es igual a 1.
-
Sé que eso puedo sonar un poco anti-intuitivo
Biraz mantığa aykırı görünebilir, ama sadece bir tanım.
Pero esto es solo una definición.
-
Es como decir que i al cuadrado es igual a negativo 1
i kare eşittir eksi 1'e benzer bir şey.
Es una definición que hace que las formulas sean más
Kısaca, formüllerin genele uygun olmasını sağlayan bir tanım, diyebiliriz.
generales, es una manera simple de ponerlo.
-
Pero déjenme borrar todo esto porque esto solo fue una
Neyse, şimdi bunları sileyim. Faktöriyel kullanacağım için, önce size faktöriyeli anlatayım, demiştim.
divergencia solo porque me di cuenta que iba a usar
-
factoriales, así que deberían saber lo que es un factorial.
-
Pero creo que es un concepto sencillo.
Aslına bakarsanız, çok basit bir kavram.
...
-
Así que volviendo a lo que estábamos haciendo,
Şimdi, soruya geri dönelim.
Yo les estaba preguntando porque puse un 6 aquí abajo en vez de un
Buraya neden 3 yerine 6 koyduğumuzu soruyordum. Şuraya 2 koyduğumuz gibi.
3, como pusimos un 2 aquí?
-
Bueno, tomemos este termino solo y tomemos
Şimdi, şu terimi tek başına alalım ve üçüncü türevini bulalım.
su tercer derivativo.
-
Entonces si tengo el termino y es f, el tercer derivativo en 0, x
Bu terimin 0'daki üçüncü türevi çarpı x küp, bölü -6'yı 3 çarpı 2, veya 2 çarpı 3 olarak yazayım.
al cubo divido por-- y déjenme escribir 6 como
-
3 por 2, o 2 por 3.
-
Eso lo va a hacer un poquito mas claro.
Biraz daha açıklamaya çalışayım.
Cual es el primer derivativo aquí?
Bunun birinci türevi nedir?
Que pasa cuando tomo el derivativo una vez?
Bir kere türev alırsam, ne olur?
Entonces, voy a multiplicar la expresión entera por la sexta potencia
İfadenin tamamını üsle çarpıp, üssü bir azaltacağım, öyle değil mi?
y disminuir el exponente por uno, correcto?
-
Así que voy a multiplicar la expresión entera por 3 por f
3 çarpı, f'nin 0'daki üçüncü türevi, x kare, bölü, 2 çarpı 3.
al tercer derivativo, x al cuadrado por 2 por 3.
-
Así que esa primera vez que lo hice, este 3 y este
Birinci türevde, şu 3 ile bu 3 sadeleşir, öyle değil mi?
3 se cancelan, no?
-
Este rojo se ve un poco demoníaco.
-
Déjenme elegir otro color.
-
Y cuando tomo el segundo derivativo que
İkinci türevi aldığımda, ne elde ederim?
voy a descubrir?
-
Entonces, el 3 ya no está, ahora solo tengo un 2 en el denominador, así que
3'ler gitti, şimdi paydada 2 kaldı. İfadeyi 2'yle çarpacağım. 2 çarpı, f'nin 0'daki üçüncü türevi, üssü azaltayım. x üzeri 1, bölü 2.
multiplico la expresión entera por 2 por f al tercer derivativo de 0
-
por, y aquí disminuyo el exponente, x a la primera potencia por 2.
-
Entonces, ahora los 2's se cancelan, no?
Şimdi de 2'ler sadeleşir, öyle değil mi?
Así que la razón por la cual estas poniendo el factorial ahí es
Buraya faktöriyel koymamızın sebebi, her türevde, ifadeyi üsle çarpıp, üssü 1 azaltmam.
que cada vez que tomas un derivativo estas disminuyendo
-
el exponente por 1, y multiplicando la expresión completa
-
por el exponente.
-
Asi que vas a tomar el derivativo n, esencialmente vas
n'inci türevi alıyorsak, ifadeyi n faktöriyelle çarpmış oluyoruz.
a multiplicar esta expresión por n!.
-
Así que no quieres tener un factorial n aquí.
Burada n faktöriyel istemediğimiz için, n faktöriyeli paydaya yazıyoruz.
Pones un factorial n aquí abajo.
-
Espero que eso se entienda.
Umarım, mantıklı geliyordur.
Piensen un poco en eso y debería empezar a
Kendiniz de biraz denerseniz, daha mantıklı gelecektir.
tener un poquito mas de sentido.
-
En general, si seguimos con este proceso
Bu süreci sonsuza kadar devam ettirirsek, polinomumuz neye benzer?
para siempre, como se parecería la función?
-
....
-
La razón por la cual estoy hablando de esto es porque siguiendo por este camino
Bu konuyu yapmamın nedeni, matematiğin en inanılmaz kavramını ispat etmemizi sağlayacak olması.
vamos a poder comprobar lo que yo pienso es el
-
concepto mas alucinante en matemática.
-
Y te hará amar las matematicas, o eso espero.
Ve, umarım, bu ispat matematiği sevmenizi sağlayacak.
Algunas personas en realidad- bueno, no voy a discutir
-
el aspecto espiritual del tema.
-
Entonces que seria esto, si yo continuamente diría que voy a
Peki, türev almaya ve polinoma terim eklemeye devam edersek ne olur?
seguir tomando el derivativo y después sumarlos a
-
este termino, el polinomio?
-
Así que, el polinomio se convertiría el p de x es igual a f
p x eşittir, f 0 artı f üssü 0 çarpı x.
de 0 más el primer derivativo de f(0)x
-
Y vamos a dividirlo por el factorial de uno, así lo hago
Bölü 1 faktöriyel diyelim, ki burada 1 faktöriyel olduğunu hatırlayalım, tamam mı?
claro que esto es el factorial de uno, no?
-
Y esto es x a la potencia de uno, correcto?
Bu, x üzeri 1, öyle değil mi?
Eso es solo este termino, pero solo lo escribí
Bu terimle aynı, ama sadece biraz farklı bir şekilde yazdım.
un poquito diferente.
-
Este termino aquí, esto es f(0) por x a la potencia de 0.
Bu terim de, f 0 çarpı x üzeri 0.
Se que esto es un poquito confuso, pero espero que
Biraz karışık oldu, ama umarım ne demek istediğimi anlıyorsunuz.
vean lo que estoy diciendo.
-
Y el denominador de esto es el factorial de 0, correcto?
Bölü 0 faktöriyel, öyle değil mi?
el factorial de 0 es 1, x a la potencia de 0 es 1, asi que es solo f(0)
0 faktöriyel eşittir 1, x üzeri 0 eşittir 1. Yani, sadece f 0.
Y después le sumamos el segundo derivativo de f(0) por x al cuadrado
Artı, f'nin 0'daki ikinci türevi çarpı, x kare, bölü 2 faktöriyel, artı - toplamaya devam ediyoruz.
sobre el factorial de 2 más-- y seguimos sumando.
-
El tercer derivativo de f(0) por x al cubo
f'nin 0'daki üçüncü türevi çarpı x küp, bölü 3 faktöriyel, ve böyle devam ederiz.
sobre el factorial de 3, y así seguimos.
-
Podemos hacer esto hasta el infinito.
Bunu, sonsuza kadar sürdürebiliriz.
Y eso es lo que vamos a hacer, y esto se llama
Ve, böyle devam edersek, bunun adı Maclaurin Serisi'dir.
las Series de Taylor y Maclaurin
-
Así que si quisiéramos aproximar esto en una forma difícil
Bu fonksiyona mümkün olan en iyi yakınsamayı sağlamak için sonsuz adet türevini alırız ve Maclaurin Serisi'ni buluruz.
podríamos, esencialmente tomar los derivativos infinitamente,
-
nuestro resultado serian las Series de Taylor y Maclaurin
-
Así que vamos a definir el polinomio p(x).
Bu p x polinomunu tanımlayacağız. Bu sonsuz bir seri, sonsuz bir toplam olacak.
Va a ser la serie infinita, la suma infinita.
-
Vamos a empezar con n es igual a 0, y vamos a
n eşittir 0'la başlayalım ve sonsuza gidelim.
seguir hasta el infinito.
-
...
-
¿Cual es cada termino?
Terimleri nasıl ifade ederiz?
Va a ser el derivativo n de f
f'nin 0'daki n'inci türevi çarpı, x üzeri n, bölü n faktöriyel.
evaluado en 0 por x a la potencia de n
-
sobre el factorial de n.
-
Esto es es la Series de Maclaurin
İşte, Maclaurin Serisi bu.
Vamos a aprender mas tarde que la serie de Maclaurin es un ejemplo especifico
İleride, Maclaurin Serisi'nin Taylor Serisi'nin özel bir durumu, Taylor Serisi'nin ise, kuvvet serisinin özel bir durumu olduğunu öğreneceğiz.
de la serie de Taylor, que es un ejemplo especifico
-
de series de potencia.
-
Entonces, esto puede parecerte muy complicado.
Neyse, şimdi size bu, sigma notasyonu falan, karışık gelebilir.
Yo tengo todo la notación sigma.
-
Solo acuérdense, esto es esencialmente solo es y yo
Yaptığım şeyin bu olduğunu ve sonsuza gittiğimi hatırlayın, yeter.
voy a seguir yendo hasta el infinito.
-
Y si piensan un poco en esto debería tener sentido.
Kendiniz denediğinizde, daha mantıklı gelecektir.
Pero creo que esto se va a entender mejor cuando haga
Sanıyorum, belirli bir f x'e uyguladığımda, daha somut olarak kavrayacaksınız.
esto con un f(x) especifico.
-
Aquí es donde se pone interesante.
Şimdiye kadar size ilginç gelmediyse bile, bundan sonrası süper olacak.
En el caso de que todavía no pienses que es interesante.
-
Para mi f(x) es la función mas increíble de todas.
f x için, en mükemmel fonksiyonu seçelim.
mas increíble de todas.
-
Si yo fuese a construir un altar o una iglesia o un
Eğer bir tapınak, kilise veya gökdelen inşa etseydim, bu fonksiyonu, bir şekilde, her yerinde kullanırdım. Ve, yıllar sonra da, insanlar bu fonksiyonun mistisizmine hayran kalırdı.
rascacielos, yo haría que esta función estaría
-
por todos los lados, y en el futuro todo la gente estaría asombrada
-
por su misticismo.
-
Entonces, vamos a tratar de aproximar e a la potencia de x
Neyse, e üzeri x'in Maclaurin Serisi'ni bulalım.
con la Serie Maclaurin.
-
Ya saben que la notación sigma es difícil de memorizar.
Şu sigma olayını aklımızda tutmak biraz zor. Türevlerin aynı olmasını istediğimizi hatırlayın, yeter.
Así que lo se tiene que acordar es que quieren que todos los derivativos sean iguales.
-
Así que vamos a aproximar esto.
Şimdi, e üzeri x'e yakınsayalım.
...
-
En realidad, no lo voy a comprobar.
İspatlamayacağım. İspat, şimdi yapmak istediğimiz şeyin kapsamı dışında kalıyor.
Esta fuera del alcance de lo que estamos haciendo ahora.
-
Pero la aproximación, incluso cuando esta centrada en 0,
Sonsuz toplam aldığımızda ve 0'a ortaladığımızda, yakınsama, fonksiyona eşit olur.
es igual a la función cuando se toma la suma infinita.
-
Pero miremos como se ve.
Şimdi neye benzediğine bakalım. Çünkü, açılımı süper olacak.
Porque esto es interesante.
-
Antes de empezar a construir el polinomio, vamos a calcular
Polinomu oluşturmadan, birkaç şey bulalım.
unas cosas.
-
Cual es el primer derivativo de fx?
f üssü x nedir?
Eso también es e a la potencia de x, correcto?
e üzeri x, öyle değil mi?
Cual es el segundo derivativo de fx?
f'nin ikinci türevi nedir?
Bueno, eso también es igual a e a la potencia de x.
O da e üzeri x, öyle değil mi?
Hemos aprendido y hemos comprobado que
e üzeri x'in türevinin e üzeri x olduğunu, yakın zamanda öğrenmiş ve ispatlamıştık.
el derivativo de e a la potencia de x es e a la potencia de x.
-
Pero eso también necesita un segundo derivativo y un tercer derivativo y
e üzeri x'in ikinci, üçüncü, dördüncü ve n'inci türevleri de e üzeri x.
un cuarto y un derivativo n de e a la potencia de x
-
es igual a e a la potencia de x.
-
Yo podría tomar un numero arbitrario de derivativos de e
e üzeri x'in herhangi bir mertebeden türevini aldığımda, yine e üzeri x elde etmem inanılmaz bir şey.
a la potencia de x y va a ser igual a e a la potencia de x, es algo increíble.
-
La tasa de cambio de la función en cualquier punto es
Fonksiyonun her noktasındaki değişim hızı, fonksiyon değerine eşit.
igual a la función.
-
La tasa de cambio de la tasa de cambio de la funcion en
Fonksiyonun her noktasındaki değişim hızının değişim hızı, fonksiyon değerine eşit.
cualquier punto es igual a la función.
-
Eso es-- me gustaría ir a un lugar y solo pensar en eso,
Bir yerlerde oturup bunu derin derin düşünmek istiyorum, ama video çekmekle meşgulüm.
pero estoy muy ocupado haciendo vídeos.
-
Entonces, volviendo a lo que estábamos haciendo.
Neyse, çözümümüze geri dönelim.
Así que, que es f(0)?
f 0 nedir?
f(0) es igual a e a la potencia de 0, que es igual a 1, correcto?
f 0 eşittir e üzeri 0, o da 1, öyle değil mi?
Bueno, eso también va a ser el derivativo de f(0)
Aynı zamanda, f üssü 0 da aynı değer olacak.
Eso también es e a la potencia de 0, que es igual a 1.
Yani e üzeri 0, ki o da eşittir 1.
Así que todos los derivativos, el derivativo n en 0 también va a ser
Buna göre, e üzeri x'in 0'daki her türevi 1 olacak.
igual a 1 para este especifico caso de f(x), para e a la potencia de 0.
-
Y es por eso que esto es tan interesante.
İşte, bu yüzden, bu örnek süper.
Y se pone mas interesante.
Daha da inanılmaz hale gelecek.
....
-
Espero que se hayan dado cuenta que f(0) y todos sus
Umarım, f 0 ve 0'daki tüm türevlerin 1'e eşit olduğunu anladınız.
derivativos en 0 son igual a 1.
-
Asi que ahora podemos hacer potencias de la Serie de Maclaurin.
Maclaurin Serisi'nin terimlerini bulmayı bir sonraki videoya bırakalım.
en el próximo vídeo.
-
Nos vemos pronto.
Görüşmek üzere.
Similar videos:

Polynomial approximation of functions (part 1)
Khan Academy
279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 200840% match


Taylor & Maclaurin polynomials intro (part 1) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.3K likes 124 dislikes 17 May 201139% match


Taylor Polynomials
Khan Academy
592.8K views 3.2K likes 118 dislikes 18 Jun 200837% match

Repeated roots of the characteristic equation | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
254.8K views 668 likes 26 dislikes 02 Sep 200837% match


What is a differential equation
Khan Academy
2M views 7K likes 287 dislikes 28 Aug 200837% match



Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200737% match

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200835% match



Partial fraction expansion 2 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
538K views 1.3K likes 26 dislikes 09 Jul 200935% match


2nd order linear homogeneous differential equations 2 | Khan Academy
Khan Academy
639.5K views 1.7K likes 17 dislikes 01 Sep 200835% match


Undetermined coefficients 1 | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
733.2K views 1.8K likes 81 dislikes 03 Sep 200835% match


Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200934% match


Binomial Theorem (part 1)
Khan Academy
393.7K views 1.1K likes 62 dislikes 12 May 200834% match

Quotient rule and common derivatives | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
581.6K views 1.8K likes 85 dislikes 04 Oct 200734% match

Exact equations intuition 1 (proofy) | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
480.4K views 950 likes 35 dislikes 30 Aug 200834% match


Differentiating polynomials | Derivative rules | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
259.8K views 314 likes 11 dislikes 09 Jan 201334% match

2nd order linear homogeneous differential equations 1 | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.7K likes 187 dislikes 01 Sep 200834% match


Proofs of derivatives of ln(x) and e^x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
311.6K views 1.3K likes 69 dislikes 02 Oct 200933% match


2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 4 | Khan Academy
Khan Academy
397.2K views 785 likes 17 dislikes 01 Sep 200833% match

Complex roots of the characteristic equations 1 | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
430.2K views 876 likes 39 dislikes 01 Sep 200833% match


Old separable differential equations introduction | Khan Academy
Khan Academy
834.9K views 2.6K likes 62 dislikes 28 Aug 200833% match



Simple Differential Equations
Khan Academy
412.4K views 891 likes 48 dislikes 16 Jun 200833% match


Integrating factors 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
769.7K views 1.9K likes 128 dislikes 31 Aug 200833% match


Maclaurin series of sin(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
274.7K views 547 likes 17 dislikes 17 May 201133% match


Zero, negative, and fractional exponents | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
665.3K views 2.4K likes 113 dislikes 08 Apr 201033% match



Partial derivatives 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 652 likes 10 dislikes 09 Aug 200833% match

Taylor polynomial remainder (part 1) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
528.9K views 1.3K likes 164 dislikes 15 Sep 201133% match

Another example graphing with derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
225.2K views 452 likes 18 dislikes 22 Jan 201033% match


Double integrals 6 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
196.4K views 470 likes 7 dislikes 14 Aug 200832% match


Equation of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
455K views 618 likes 44 dislikes 02 Jul 200832% match


Parametric equations 3 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
361.2K views 826 likes 14 dislikes 28 Jul 200932% match


Settings Privacy About Contact Donate