Solving the heat equation | DE3 3Blue1Brown Greek Italian

Solving the heat equation | DE3YouTube↗ IA↗(long shot)
Education 1.1M views 27K likes 16 Jun 2019 Show Contributors 4

3Blue1Brown 8.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

Russian Степан Нестеров

Arabic Khaled Omari

Italian G P

Greek Klio Liotati

Προηγουμένως μελετήσαμε την εξίσωσης θερμότητας, στην μονοδιάστατη περίπτωση μιας ράβδου.

L'ultima volta, ci siamo fermati allo studio dell'equazione del calore nel caso unidimensionale di una barra.

Το ερώτημα είναι πώς η κατανομή της θερμοκρασίας κατά μήκος μιας τέτοιας ράβδου θα τείνει να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

La domanda che ci poniamo è "In che modo la temperatura in ogni punto della barra cambierà nel tempo?",

Και αυτό μας έδωσε ένα ωραίο πρώτο παράδειγμα μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης.

e ne abbiamo tratto un bell'esempio di equazione differenziale alle derivate parziali (PDE):

Μας είπε ότι ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει η θερμοκρασία σε ένα δεδομένο σημείο με το χρόνο,

abbiamo abbiamo capito che la velocità alla quale la temperatura in un punto fisso cambia nel corso del tempo

εξαρτάται από τη δεύτερη παράγωγο αυτής της θερμοκρασίας σε εκείνο το σημείο ως προς το χώρο. Όπου υπάρχει καμπυλότητα στο χώρο υπάρχει μεταβολή στο χρόνο.

dipende dalla derivata seconda della temperatura in quel punto, rispetto allo spazio; dove c'è curvatura nello spazio, c'è una variazione nel tempo.

Εδώ θα δούμε πώς λύνουμε αυτή την εξίσωση.

Adesso, vedremo come risolvere questa equazione, e

Και στην πραγματικότητα, είναι λίγο παραπλανητικό να αναφερόμαστε σε όλα αυτά ως

fra l'altro, è leggermente fuorviante parlare di questo problema come del "risolvere un'equazione":

επίλυση μιας εξίσωσης. Η ίδια η ΜΔΕ περιγράφει μόνο έναν από τους τρεις περιορισμούς που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση θερμοκρασίας

la PDE, di per sé, descrive soltanto una delle tre condizioni che la nostra funzione "temperatura" deve soddisfare;

εάν πρόκειται να περιγράψει με ακρίβεια τη ροή θερμότητας. Πρέπει επίσης να ικανοποιεί κάποιες συνοριακές συνθήκες,

se si vuole descrivere in modo preciso il flusso di calore, bisogna soddisfare anche alcune condizioni ai bordi

κάτι για το οποίο θα μιλήσουμε, και κάποια αρχική συνθήκη.

(un argomento di cui parleremo a breve), ed una certa condizione iniziale, che dice

Δηλαδή δεν μπορείτε να επιλέξετε πώς μοιάζει για χρόνο t=0. Αυτό είναι μέρος της δήλωσης του προβλήματος.

"non puoi decidere l'aspetto della soluzione nel momento t = 0, questa informazione fa parte dell'enunciato".

Αυτοί οι επιπλέον περιορισμοί είναι πραγματικά ο λόγος που υπάρχει όλη η πρόκληση.

Queste condizioni aggiuntive sono, a dire il vero, la fonte del grosso della difficoltà del problema:

Υπάρχει ένας τεράστιος ωκεανός συναρτήσεων που επιλύουν την ΜΔΕ, με την έννοια του ότι όταν παίρνετε τις μερικές τους παραγώγους το πράγμα θα γίνει ίσο.

c'è un vasto oceano di funzioni che "risolvono" la PDE, nel senso che considerandone le derivate parziali,

Και ένα αρκετά μεγάλο υποσύνολο αυτού του ωκεανού, ικανοποιεί τις σωστές οριακές συνθήκες.

l'uguaglianza è rispettata, ed un sottoinsieme di questo oceano soddisfa anche le giuste condizione ai bordi.

Όταν ο Joseph Fourier έλυσε αυτό το πρόβλημα το 1822, η βασική του συμβολή ήταν να αποκτήσει έλεγχο αυτού του ωκεανού,

Quando Joseph Fourier risolse il problema, nel 1822, il suo contributo principale fu il modo di "controllare questo oceano"

αλλάζοντας όλους τους σωστούς κόμβους και χρόνους ώστε να μπορούμε να διαλέξουμε από αυτόν την συγκεκριμένη λύση που ταιριάζει σε μια δεδομένη αρχική συνθήκη.

manipolando i giusti parametri, in modo da poter scegliere, fra le soluzioni, quella che soddisfa una certa condizione iniziale.

Μπορούμε να σκεφτούμε τη λύση του σαν να χωρίζεται σε τρεις θεμελιώδεις παρατηρήσεις:

La sua soluzione si può dividere in tre passaggi fondamentali:

1) Ορισμένα ημιτονοειδή κύματα προσφέρουν μια πραγματικά απλή λύση σε αυτή την εξίσωση.

1. Alcune sinusoidi offrono una soluzione molto semplice a questa equazione.

2) Αν γνωρίζετε πολλές λύσεις, το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων είναι επίσης λύση.

2. Conoscendo più soluzioni, la loro somma resta una soluzione

και 3) περιέργως, οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων.

e 3. Sorprendentemente, qualsiasi funzione può essere espressa come somma di sinusoidi

Λοιπόν ένας σχολαστικός μαθηματικός θα μπορούσε να επισημάνει ότι υπάρχουν κάποιες παθολογικές εξαιρέσεις, ορισμένες περίεργες συναρτήσεις όπου αυτό δεν αληθεύει,

Beh, un matematico pedante farebbe notare che ci sono alcune eccezioni patologiche, alcune funzioni bizzarre per cui ciò non è vero (qualsiasi funzione non L², n.d.r.),

αλλά γενικά κάθε κατανομή που θα συναντήσετε στην πράξη, συμπεριλαμβανομένων των ασυνεχών, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων, ενδεχομένως άπειρα πολλών. Και αν έχετε ακούσει ποτέ για τις σειρές Fourier, έχετε τουλάχιστον ακούσει αυτή την τελευταία ιδέα,

ma in pratica, qualsiasi distribuzione che è ragionevole aspettarsi - incluse molte funzioni discontinue, può essere espressa come somma di sinusoidi. in principio una somma infinita. Se hai già sentito parlare di serie di Fourier, conoscerai già quest'ultimo risultato,

και αν ναι, ίσως να αναρωτηθήκατε, γιατί κάποιος να ενδιαφερόταν να σπάσει μια συνάρτηση ως άθροισμα ημιτονοειδων κυμάτων.

e ti sarai chiesto perché diavolo qualcuno dovrebbe voler scomporre una funzione in tante sinusoidi.

Λοιπόν σε πολλές εφαρμογές τα ημιτονοειδή κύματα είναι καλύτερα να ασχοληθούμε από οτιδήποτε άλλο, και οι διαφορικές εξισώσεις, μας προσφέρουν ένα πολύ ωραίο πλαίσιο

Beh, in molte applicazioni, le sinusoidi sono fra le funzioni più facili da trattare, e le ED offrono un ottimo esempio

όπου μπορείτε να δείτε πώς χρησιμοποιείται. Για την εξίσωση θερμότητάς μας, όταν γράφετε μια συνάρτηση ως άθροισμα αυτών των κυμάτων,

di questa semplicità. Per l'equazione del calore, riscrivere una funzione come somma di sinusoidi

οι σχετικά καθαρές δεύτερες παραγώγοι καθιστούν εύκολη την επίλυση της εξίσωσης θερμότητας για καθένα από αυτά.

le derivate seconde sono relativamente semplici, e rendono più facile risolvere l'equazione per ognuna di loro.

Kαι όπως θα δείτε, ένα άθροισμα λύσεων αυτής της εξίσωσης μας δίνει μια άλλη λύση.

In più, la somma di soluzioni a questa equazione

και με τη σειρά του, αυτό θα μας δώσει μια συνταγή για την επίλυση της εξίσωσης θερμότητας

rimane una soluzione, e questo ci fornirà un metodo per risolvere l'equazione del calore per qualsiasi

για κάθε περίπλοκη κατανομή ως αρχική κατάσταση.

distribuzione complicata data come condizione iniziale.

Ορίστε ας αναλύσουμε αυτό το πρώτο βήμα. Γιατί ακριβώς τα ημιτονοειδή κύματα θα έπαιζαν ωραία με την εξίσωση θερμότητας;

Ora, approfondiamo il punto 1. Perché, precisamente, una sinusoide si comporterebbe "bene" con l'equazione del calore?

Για να αποφευχθούν ακατάστατες σταθερές ας αρχίσουμε απλά, και να πούμε ότι η συνάρτηση θερμοκρασίας στο χρόνο t= 0 είναι απλά το ημ(x) ,

Per evitare costanti strane, prendiamo un caso semplice, e diciamo che la funzione T, nel tempo t=0, è

όπου το x περιγράφει το σημείο στη ράβδο.

semplicemente sin(x), dove x descrive il punto considerato sulla barra.

Ναι, η ιδέα της θερμοκρασίας μιας ράβδου απλώς να συμβαίνει να μοιάζει με το ημ(x)

Ok, l'idea della temperatura di una barra che *per caso* è identica a sin(x)

να ποικίλλει γύρω από οποιαδήποτε θερμοκρασία οι συμβάσεις μας ονομάζουν αυθαίρετα ως μηδέν, είναι σαφώς παράλογο, αλλά στα μαθηματικά,

variando attorno a qualsiasi temperatura le nostre convenzioni definiscano come "zero" è chiaramente assurda, ma in matematica

θα πρέπει πάντα να χέρεστε όταν παίζετε με παραδείγματα που είναι εξιδανικευμένα, ενδεχομένως

bisognerebbe sempre essere contenti di manipolare esempi idealizzati, potenzialmente anche

πέρα από το σημείο του ρεαλιστικού, διότι μπορούν να προσφέρουν ένα καλό πρώτο βήμα προς την κατεύθυνση κάτι γενικότερου και επομένως πιο ρεαλιστικού.

abbastanza da non essere più realistici, perché possono offrire un buon primo passo verso qualcosa di più generale, e perciò più realistico. (e poi è più facile non lamentarti, ndr)

Η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης θερμότητας ρωτά για τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησής μας.

Il termine destro di questa equazione del calore interpella la derivata seconda della nostra funzione,

Πόσο καμπυλώνει η κατανομή της θερμοκρασίας μας, καθώς κινείστε κατά μήκος του χώρου;

"di quanto si curva la distribuzione di temperatura, se ci si muove nello spazio?"

Η παράγωγος του ημ(x) είναι το συν(x),

La derivata di sin(x) è cos(x), e

του οποίου η παράγωγος με τη σειρά της είναι - ημ(x). Το ποσό που αυτό το κύμα καμπυλώνει είναι κατά μία έννοια ίσο και αντίθετο με το ύψος του σε κάθε σημείο

a sua volta, la sua derivata è -sin(x). La velocità a cui l'onda si curva, in un certo senso, è uguale e contraria alla sua altezza in ogni punto.

Επομένως τουλάχιστον για το χρόνο t = 0, αυτό έχει το ιδιαίτερο αποτέλεσμα ότι κάθε σημείο αλλάζει τη θερμοκρασία του με ρυθμό ανάλογο της θερμοκρασίας του ίδιου του σημείου,

Quindi, almeno al punto t = 0 Qui, la peculiarità è che ogni punto cambia temperatura ad una velocità proporzionale alla temperatura del punto stesso, con la

με την ίδια σταθερά αναλογίας σε όλα τα σημεία.

stessa costante di proporzionalità per tutti i punti.

Έτσι, μετά από ένα μικρό χρονικό βήμα, όλα μικραίνουν από τον ίδιο παράγοντα,

Perciò, dopo un piccolo passo nel tempo, tutta la funzione si riduce dello stesso fattore, e alla fine

και μετά από αυτό, είναι ακόμα το ίδιο ημιτονοειδές σχήμα, απλώς λίγο μικρότερο κατά κλίμακα.

abbiamo sempre la stessa forma di curva, soltanto un po' schiacciata, quindi

Επομένως, ισχύει η ίδια λογική, και το επόμενο χρονικό βήμα θα το μίκραινε ομοιόμορφα ξανά.

lo stesso ragionamento funziona, e il prossimo passo nel tempo la schiaccerà

Και αυτό ισχύει εξίσου καλά στο όριο, καθώς το μέγεθος αυτών των χρονικών βημάτων τίνει στο 0.

di nuovo uniformemente; questo funziona anche passando al limite, per la taglia dei passi nel tempo tendente a zero.

Έτσι σε αντίθεση με άλλες κατανομές θερμοκρασίας, τα ημιτονοειδή κύματα είναι ιδιόμορφα, στο ότι θα μειωθούν ομοιόμορφα, μοιάζοντας με κάποια σταθερά επί ημ(x) για όλους τους χρόνους t.

perciò, diversamente da qualsiasi altra ditribuzione di temperatura, le sinusoidi hanno la peculiarità di essere schiacciate uniformemente. assumendo la forma di una certa costante * sin(x), in ogni punto del tempo t.

Τώρα όταν βλέπετε ότι ο ρυθμός με τον οποίο κάποιες τιμές αλλάζουν

Ora, vedere che la velocità con cui un valore cambia è

είναι ανάλογος με την ίδια την τιμή, το μυαλό σας πρέπει να καίει με τη σκέψη ενός εκθετικού

proporzionale al valore stesso, dovrebbe illuminarti con l'idea di un'esponenziale; se

και αν όχι, ή είστε λίγο σκουριασμένοι στην ιδέα του να βρίσκετε την παράγωγο εκθετικών

così non è, o se hai perso la mano con l'idea di

ή το τί κάνει τον αριθμό e ξεχωριστό, θα σας σύστηνα να ρίξετε μια ματιά σε αυτό το βίντεο.

derivare le esponenziali o con cosa rende il numero e speciale, ti consiglio di dare un'occhiata a questo video.

Το αποτέλεσμα είναι ότι η παράγωγος του e σε κάποια σταθερά επί t είναι ίσο με εκείνη τη σταθερά επί τον εαυτό της.

L'idea è che la derivata di e esponente una costante * t è uguale alla costante per la funzione stessa - se

Αν ο ρυθμός με τον οποίο αναπτύσσεται η επένδυσή σας για παράδειγμα, είναι πάντα ας πούμε

la velocità alla quale il tuo investimento cresce, per esempio, vale sempre

0.05 φορές τη συνολική αξία, τότε η αξία της με την πάροδο του χρόνου θα μοιάζει με το e στην 0.05 επί t,

0.05*il valore totale, allora il suo valore nel tempo assomiglierà ad e alla 0.05*t,

επί όποια και αν ήταν η αρχική επένδυση.

per il valore dell'investimento iniziale

Αν ο ρυθμός με τον οποίο η μέτρηση των ατόμων άνθρακα-14 σε ένα παλαιό οστό αλλάζει,

Se la velocità alla quale il livello di Carbonio 14 in un vecchio osso cambia è sempre uguale ad una costante

είναι πάντα ίση με κάποια αρνητική σταθερά επί αυτή τη μέτρηση, τότε με την πάροδο του χρόνου, ο αριθμός αυτός θα μοιάζει περίπου με το e σε εκείνη την αρνητική σταθερά επί t, επί την αρχική μέτρηση.

negativa per il livello stesso, allora nel tempo questo livello sarà più o meno uguale ad e esponente quella costante negativa per t per il livello iniziale, qualsiasi esso sia.

Έτσι, όταν κοιτάξετε την εξίσωση θερμότητάς και γνωρίζετε ότι για ένα ημιτονοειδές κύμα η δεξιά πλευρά πρόκειται να είναι - α επί την ίδια την συνάρτηση θερμοκρασίας,

Quindi, guardando l'equazione del calore, e sapendo che per una sinusoide, il termine destro sarà -alfa per la temperatura stessa,

ελπίζω ότι δεν θα ήταν πολύ αναπάντεχο να προτείνουμε ότι η λύση πρέπει να μειωθεί κατά συντελεστή e στην - α*t .

forse non sarà troppo sorprendente proporre come soluzione di modulare T con un fattore di e alla -alfa*t.

Ορίστε, προχωρήστε και ελέγξτε τις μερικές παραγώγους. Η προτεινόμενη συνάρτηση των x και t είναι ημ(x) επί e στην - α*t.

Controlliamo le derivate parziali: T è sin(x) * e^(-alfa*t)

Παίρνοντας τη δεύτερη μερική παράγωγο ως προς x, αυτός ο e στην - α*t όρος, μοιάζει με σταθερά,

se si prende la derivata parziale seconda rispetto ad x, e^(- alfa * t) è costante

δεν έχει κανένα x μέσα του.

dato che non dipende da x.

Έτσι έρχεται μαζί για βόλτα όπως σαν να ήταν κάποια άλλη σταθερά, όπως το 2,

Quindi sarà semplicemente mantenuto identico, come se fosse una

και η πρώτη παράγωγος ως προς x, είναι συν(x) επί e στην - α*t.

costante, come 2, e la derivata prima rispetto ad x è cos(x) * e^ (- alfa * t).

Ομοίως, η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς x, γίνεται - ημ(x) επί e στην - α*t.

Allo stesso modo, la derivata parziale seconda rispetto ad x è - sin(x) * e^(- alfa * t).

Και από την άλλη πλευρά, αν κοιτάξετε τη μερική παράγωγο ως προς t,

Per il termine sinistro, se si guarda alla derivata parziale rispetto a t,

αυτός ο όρος ημ(x) τώρα μοιάζει με σταθερά αφού δεν έχει t μέσα του.

sin(x) ora rimane costante, dato che non dipende da t.

Επομένως παίρνουμε - α επί e στην - α*t επί ημ(x).

Abbiamo quindi - alfa * e^(-alfa*t) * sin(x), perciò

Έτσι πράγματι, αυτή η συνάρτηση καθιστά τη μερική διαφορική εξίσωση αληθή.

questa funzione rispetta l'equazione differenziale.

Και αχ, αν ήταν τόσο απλό, αυτή η αφηγηματική ροή θα μπορούσε να είναι τόσο ωραία.

E se soltanto fosse così semplice, questa narrazione sarebbe così perfetta..

Θα παίρναμε το σύντομο δρόμο άμεσα στο υπέροχο αποτέλεσμα της σειράς Fourier. Δυστυχώς, η φύση δεν είναι τόσο καλή.

Arriveremmo direttamente alla conclusione sulle serie di Fourier... Sfortunatamente, la natura non è così semplice, e ci spedisce direttamente in una fastidiosa

Μας παραπέμπει σε μια ενοχλητική αλλά πολύ αναγκαία παράκαμψη.

ma assolutamente necessaria deviazione.

Να τι συμβαίνει, ακόμη και αν η φύση ήταν να παράξει με κάποιο τρόπο μια κατανομή θερμοκρασίας σε αυτή τη ράβδο,

Il punto è, anche se in qualche modo si producesse in natura una distribuzione di calore sulla barra

το οποίο μοιάζει με αυτό το τέλειο ημιτονοειδές κύμα, η εκθετική απόσβεση δεν είναι στην πραγματικότητα το πώς θα εξελιχθεί.

che somigliasse a questa perfetta sinusoide, il decadimento esponenziale non sarebbe realistico!

Υποθέτοντας ότι η θερμότητα δεν ρέει μέσα ή έξω από τη ράβδο,

Assumendo che non entri né esca calore dalla barra,

να το πώς θα έμοιαζε αυτή η εξέλιξη στην πραγματικότητα.

questo è come l'evoluzione si svolgerebbe in realtà:

Τα σημεία στα αριστερά θερμαίνονται λίγο στην αρχή, και εκείνα στα δεξιά ψύχονται από τα γειτονικά τους στο εσωτερικό.

i punti a sinistra all'inizio vengono scaldati lievemente, e quelli a sinistra leggermente raffreddati dai punti a loro vicini all'interno.

Στην πραγματικότητα, επιτρέψτε μου να σας δώσω μια ακόμα πιο απλή λύση στη ΜΔΕ, που δεν μπορεί να περιγράψει την πραγματική ροή θερμότητας, μια ευθεία γραμμή.

Effettivamente, ecco una soluzione ancora più semplice alla PDE, che però non descrive affatto un flusso di calore realistico: una linea retta

Δηλαδή, η συνάρτηση θερμοκρασίας θα είναι μια μη μηδενική σταθερά επί x, και ποτέ δεν θα αλλάζει με το χρόνο.

quindi, la temperatura sarebbe una certa costante non nulla * x, e non cambierebbe mai nel tempo.

Η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς x είναι πράγματι μηδέν.

La derivata seconda rispetto ad x è effettivamente zero

Θέλω να πω, δεν υπάρχει καμπυλότητα, και η μερική του παράγωγος ως προς το χρόνο είναι επίσης μηδέν, αφού δεν αλλάζει ποτέ με την πάροδο του χρόνου.

(non c'è curvatura!), e la derivata parziale rispetto al tempo è ancora zero, dato che la funzione non cambia nel tempo.

Και όμως, αν το ρίξω στον προσομοιωτή, φαίνεται να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, προσεγγίζοντας αργά μια ομοιόμορφη θερμοκρασία στη μέση τιμή.

Eppure, inserire questa funzione nel simulatore la fa effettivamente cambiare nel tempo, convergendo verso una temperatura uniforme uguale alla media

Το τί συμβαίνει εδώ, είναι ότι η προσομοίωση που χρησιμοποιώ, αντιμετωπίζει τα δύο συνοριακά σημεία της ράβδου,

Il problema è che la simulazione che stiamo usando tratta i due punti ai bordi della barra

διαφορετικά από το πώς αντιμετωπίζει όλα τα υπόλοιπα,

in modo diverso dagli altri,

που είναι μια ακριβέστερη αντανάκλαση του τι θα συνέβαινε στην φύση.

e questa è una simulazione ben più accurata di ciò che accadrebbe in natura

Αν ανακαλέσετε το τελευταίο βίντεο, η διαίσθηση για το από που προέκυψε αυτή η δεύτερη παράγωγος ως προς x,

se ricordiamo lo scorso video, l'idea dell'origine della derivata seconda veniva dal fatto

έχει τις ρίζες της στο ότι κάθε σημείο τείνει προς τη μέση τιμή των δύο γειτονικών του σε κάθε πλευρά.

di far tendere ogni punto verso la il valore medio dei due punti ai suoi lati,

Αλλά στα σύνορα, δεν υπάρχει γειτονικό στη μία πλευρά.

Ma sui bordi c'è un solo punto laterale, anziché due

Εάν πάμε πίσω στη σκέψη της διακριτής εκδοχής, μοντελοποιώντας μόνο πεπερασμένο αριθμό σημείων σε αυτή τη ράβδο,

riprendendo la versione discreta del problema, dove modelliamo solo un numero finito di punti sulla barra,

θα μπορούσατε να έχετε κάθε συνοριακό σημείο απλά να τείνει προς τον έναν γείτονά του, με ρυθμό ανάλογο της διαφοράς τους.

potremmo semplicemente far tendere i punti ai bordi verso il valore del loro vicino, ad una velocità proporzionale alla loro differenza.

Κάνοντάς το αυτό για όλο και υψηλότερες αναλύσεις, παρατηρήστε πόσο πολύ αμέσως μετά την έναρξη του ρολογιού,

In questo modo, aumentando sempre di più la risoluzione, notiamo come, quasi immediatamente dopo l'inizio del tempo,

η κατανομή μας φαίνεται επίπεδη σε καθένα από αυτά τα δύο συνοριακά σημεία.

la distribuzione si appiattisca in entrambi i punti del bordo.

Στην πραγματικότητα, στην περιοριστική περίπτωση, όσο αυτές οι όλο και λεπτότερες διακριτές κατσκευές

In effetti, nel caso limite in cui questi modelli discreti

προσεγγίζουν μια συνεχή καμπύλη, η κλίση της καμπύλης μας στο σύνορο θα είναι μηδέν για όλους τους χρόνους μετά την εκκίνηση.

tendono verso una curva continua, la pendenza della curva ai bordi varrà zero, in ogni istante t dopo l'inizio.

Ένας τρόπος με τον οποίο περιγράφεται συχνά, είναι ότι η κλίση σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο είναι ανάλογη με το ρυθμό της ροής θερμότητας σε αυτό το σημείο.

Un modo classico di descrivere questa condizione è che la pendenza miusrata in un punto è proporzionale alla velocità del flusso di calore in quel punto

Άρα αν θέλετε να μοντελοποιήσετε τον περιορισμό ότι δεν ρέει θερμότητα μέσα ή έξω από τη ράβδο,

perciò, se si vuole descrivere un modello in cui il calore non entra né esce dalla barra,

η κλίση σε κάθε άκρο θα είναι μηδέν.

la pendenza ai bordi sarà zero.

Αυτό είναι κάπως ελλειπές και ατελές, το ξέρω, άρα αν θέλετε τις πλήρης λεπτομέρειες, έχω αφήσει συνδέσμους και πηγές στην περιγραφή.

Questa spiegazione è abbastanza grossolana ed incompleta, lo so, quindi se vuoi tutti i dettagli, ho lasciato dei link e delle risorse in descrizione.

Παίρνοντας το παράδειγμα μιας ευθείας γραμμής της οποίας η κλίση στα οριακά σημεία δεν είναι σίγουρα 0,

Riprendendo l'esempio di una curva piatta, che sui bordi ha una pendenza decisamente non nulla,

μόλις ξεκινήσει το ρολόι, αυτές οι συνοριακές τιμές θα μετατοπιστούν απειροελάχιστα

appena la simulazione parte, i valori ai bordi cambiano

έτσι ώστε η κλίση εκεί, ξαφνικά γίνεται μηδεν, και παραμένει έτσι κατά το υπόλοιπο της εξέλιξης.

infinitesimamente, rendendo la pendenza nulla; questa rimane nulla per tutta l'evoluzione. In altre parole,

Με άλλα λόγια, η εύρεση μιας συνάρτησης που ικανοποιεί την ίδια την εξίσωση θερμότητας,

trovare una funzione che soddisfi soltanto l'equazione del calore non basta;

δεν είναι αρκετό. Πρέπει επίσης να ικανοποιεί την ιδιότητα ότι είναι επίπεδη σε κάθε ένα από αυτά τα τελικά σημεία, για όλα τα x μεγαλύτερα από το μηδέν.

deve anche soddisfare la condizione di essere piatta su entrambi i bordi, per ogni istante t maggiore di 0.

Με ακριβέστερη διατύπωση, η μερική παράγωγος ως προς x της συνάρτησης θερμοκρασίας μας,

Detto più precisamente, la derivata parziale rispetto ad x della funzione temperatura, in (0,t) e in (L,t)

στο (0,t), και στο (L,t) πρέπει να είναι μηδέν για όλους τους χρόνους t>0, όπου το L είναι το μήκος της ράβδου

deve valere zero per ogni t > 0; qui, L è la lunghezza della barra

Αυτό είναι ένα παράδειγμα μιας συνοριακής συνθήκης, και σχεδόν κάθε φορά που πρέπει να λύσετε μια μερική διαφορική εξίσωση στην πράξη,

Ecco un esempio di condizione al bordo. In pratica, ogni volta che si risolve una PDE, ci saranno

θα υπάρχει επίσης κάποια συνοριακή συνθήκη παρέα με αυτή, που απαιτεί εξίσου μεγάλη προσοχή όπως την ίδια την ΜΔΕ.

anche delle condizioni ai bordi durante tutto il lavoro, e richiederanno tanta fatica quanta la PDE stessa.

Όλα αυτά μπορεί να το κάνουν να φαίνεται ότι δεν έχουμε φτάσει πουθενά, αλλά η συνάρτηση που είναι ένα ημιτονοειδές κύμα στο χώρο

Tutto ciò può far pensare che non abbiamo fatto alcun progresso, ma in realtà, la funzione che diventa una sinusoide nello spazio, e

και μια εκθετική απόσβεση στο χρόνο μας φέρνουν στην πραγματικότητα αρκετά κοντά

un decadimento esponenziale nel tempo ci porta parecchio vicini alla soluzione:

Απλά χρειάζεται να το τσιμπήσουμε λίγο, ώστε να γίνει επίπεδο στα δύο τελικά σημεία.

bisogna soltanto modificarla leggermente per farla diventare piatta ai bordi.

Αρχικά, παρατηρήστε ότι θα μπορούσαμε αντίστοιχα να χρησιμοποιήσουμε μια συνάρτηση συνημιτόνου αντί για ημιτόνου.

Notiamo intanto che possiamo benissimo sostituire il seno con un coseno. Insomma, è la stessa onda,

Θέλω να πω, είναι το ίδιο κύμα, απλώς μετατοπισμένο και με φάση κατά το ένα τέταρτο της περιόδου, που το καθιστά επίπεδο στο x=0, όπως το θέλουμε.

soltanto spostata e defasata di un quarto di periodo, e questo la rende piatta in x=0, come vogliamo.

Η δεύτερη παράγωγος του συν(x) είναι επίσης - 1 επί τον εαυτό της,

Anche la derivata seconda di cos(x) è -1 * sé stessa,

επομένως, για τους ίδιους λόγους με πριν, το γινόμενο συν(x) επί e στην - α*t, εξακολουθεί να ικανοποιεί την ΜΔΕ.

quindi per gli stessi argomenti precedenti, abbiamo che il prodotto di cos(x) per e^(-alfa*t) soddisfa ancora la PDE.

Για να βεβαιωθείτε ότι ικανοποιεί ταυτόχρονα την οριακή συνθήκη στη δεξιά πλευρά, θα προσαρμόσουμε τη συχνότητα του κύματος.

Per assicurarci che soddisfi anche la condizione al bordo destro, modificheremo la frequenza dell'onda;

Ωστόσο, αυτό θα επηρεάσει τη δεύτερη παράγωγο, αφού κύματα υψηλότερων συχνοτήτων καμπυλώνουν πιο έντονα, και η εκείνα με χαμηλότερη συχνότητα καμπυλώνουν πιο ομαλά.

tuttavia, questo modificherà la derivata seconda, dato che le onde a frequenza più alta hanno pendenze più ripide, e curve a frequenza bassa hanno pendenze più dolci.

Αλλάζοντας τη συχνότητα, σημαίνει την εισαγωγή κάποιας σταθεράς, έστω ω,

Modificare la frequenza implica introdurre una costante, diciamo omega,

πολλαπλασιασμένη με το δεδομένο εισόδου αυτής της συνάρτησης. Μια μεγαλύτερη τιμή του ω, σημαίνει ότι το κύμα ταλαντεύεται γρηγορότερα,

moltiplicato per l'argomento di questa funzione. Un valore più alto di omega causerà un'oscillazione più rapida dell'onda,

αφού καθώς αυξάνετε το x, το δεδομένο εισόδου του συνημιτόνου αυξάνεται ταχύτερα.

poiché aumentare x fa aumentare più rapidamente l'argomento del coseno.

Παίρνοντας την παράγωγο ως προς x, εξακολουθούμε να παίρνουμε αρνητικό πρόσημο, αλλά ο κανόνας της αλυσίδας μας λέει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το ω εξωτερικά.

Prendendo la derivata seconda rispetto a x, otteniamo sempre un segno meno, ma la derivazione di funzioni composte (chain rule, ndr) impone di moltiplicare per omega;

Και όμοια η δεύτερη παράγωγος θα εξακολουθεί να είναι μείων συνημίτονο, αλλά τώρα με ω τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης μας έχει πάρει τώρα αυτόν τον ω τετράγωνο όρο.

in modo simile, la derivata seconda sarà ancora - coseno, ma ora con omega quadro. Ciò significa che il lato destro dell'equazione contiene omega quadro, perciò,

Άρα για να εξισορροπήσουμε τα πράγματα στην αριστερή πλευρά, το κομμάτι της εκθετικής απόσβεσης θα πρέπει να έχει έναν επιπλέον ω τετράγωνο όρο από πάνω.

per bilanciare il lato sinistro, il decadimento esponenziale dovrà avere un omega quadro nell'esponente.

Ξετυλίγοντας το τί σημαίνει αυτό στην πραγματικότητα, θα πρέπει να φαίνεται διαισθητικά. Για μια συνάρτηση θερμοκρασίας γεμάτη με εντονότερες καμπύλες,

Capire cosa ciò voglia dire dovrebbe essere intuitivo: una funzione temperatura con curve più ripide

φθίνει γρηγορότερα προς μια ισορροπία, και προφανώς το κάνει τετραγωνικά. Για παράδειγμα, διπλασιάζοντας τη συχνότητα, έχει ως αποτέλεσμα μια εκθετική απόσβεση, τέσσερις φορές πιο γρήγορα.

decade più velocemente verso l'equilibrio, e chiaramente lo fa in maniera quadratica; vuol dire che raddoppiare la frequenza causa un decadimento quattro volte più rapido.

Εάν το μήκος της ράβδου είναι L, τότε η χαμηλότερη συχνότητα, όπου αυτό το κατώτατο σημείο της κατανομής θα είναι επίπεδο, είναι όταν το ω ισούται με π/L.

Se la lunghezza della barra è L, allora la frequenza minima che renderà il bordo destro piatto sarà omega = pi/L

Βλέπετε με αυτόν τον τρόπο, καθώς το x αυξάνεται μέχρι την τιμή L,

Vedi, in questo modo, quando x aumenta fino ad L,

Το δεδομένο εισόδου της έκφρασης του συνημιτόνου μας πηγαίνει μέχρι το π, το οποίο είναι το μισό της περιόδου ενός συνημιτόνου.

l'argomento del coseno aumenta fino a pi, che è mezzo periodo di una (co)sinusoide.

Η εύρεση όλων των άλλων συχνοτήτων που ικανοποιούν αυτή την οριακή συνθήκη, είναι κάτι σαν να βρίσκουμε αρμονικές.

Trovare tutte le frequenze che soddisfano questa condizione al bordo è un po'come trovare delle armoniche:

Ουσιαστικά περνάτε από όλα τα ακέραια πολλαπλάσια αυτής της βασικής συχνότητας π/L.

basta percorrere tutti i multipli interi della frequenza di base pi/L.

Στην πραγματικότητα, ακόμα και πολλαπλασιάζοντάς το με το 0 δουλεύει, αφού μας δίνει μια σταθερή συνάρτηση, η οποία είναι πράγματι μια έγκυρη λύση, οριακή συνθήκη παντού. Kαι με αυτό, αφήνουμε την ανώμαλη παράκαμψη της οριακής συνθήκης, και πίσω στον αυτοκινητόδρομο.

A dire il vero, anche moltiplicare per zero funziona, dato che otterremo una costante - che è una soluzione valida, che rispetta anche la condizione ai bordi. Con questo, si conclude la parentesi sulle condizioni ai bordi, e torniamo al punto.

Προχωρώντας, είμαστε εξοπλισμένοι με μια άπειρη οικογένεια συναρτήσεων που ικανοποιούν τόσο την ΜΔΕ όσο και την ενοχλητική οριακή συνθήκη.

Andando avanti, abbiamo trovato un insieme infinito di funzioni che soddisfano sia la PDE che le le condizioni ai bordi

Τα πράγματα φαίνονται σίγουρα πιο περίπλοκα τώρα,

La situazione sembra senza dubbio più intricata,

αλλά όλα προέρχονται από τη μία βασική παρατήρηση ότι μια συνάρτηση που μοιάζει με ημιτονοειδή καμπύλη στο χώρο,

ma è partito tutto dalla semplice osservazione su come una funzione che somiglia ad una sinusoide nello spazio e

και με εκθετική απόσβεση στο χρόνο, ταιριάζει σε αυτή την εξίσωση, που σχετίζει τις δεύτερες παραγώγους στο χώρο με τις πρώτες παραγώγους στο χρόνο.

ad un decadimento esponenziale nel tempo soddisfi questa equazione, che lega derivate seconde rispetto allo spazio a derivate prime rispetto al tempo,

Και φυσικά, οι τύποι σας θα πρέπει να αρχίζουν να φαίνονται πιο περίπλοκοι. Επιλύετε ένα πραγματικά δύσκολο πρόβλημα.

è normale che le formule abbiano un aspetto complicato! Stiamo risolvendo un problema difficile, sul serio...

Αυτό βασικά είναι ένα πολύ καλό σημείο για στάση,

Questo è un buon momento per fermarci, perciò

Ας δώσουμε ένα τέλος εδώ, και στο επόμενο βίντεο,

facciamo una pausa, e nel prossimo video

θα εξετάσουμε το πώς να χρησιμοποιούμε αυτή την άπειρη οικογένεια, για να κατασκευάσουμε μια πιο γενική λύση.

osserveremo come usare questa famiglia di funzioni per costruire una soluzione generale.

Για όποιον από εσάς ανησυχεί για το ότι αφιερώσαμε πάρα πολλά σε ένα μόνο παράδειγμα, σε μια σειρά που έχει σκοπό να δώσει μια γενική εικόνα των διαφορικών εξισώσεων,

A chi facesse notare che forse ci stiamo soffermando troppo su un singolo esempio, in una serie che vuol dare una copertura ampia alle equazioni differenziali,

αξίζει να τονιστεί ότι πολλές από τις σκέψεις που εμφανίζονται εδώ πέρα, είναι συχνά θέματα σε όλο το πεδίο.

vale la pena far notare che molte delle considerazioni che sono saltate fuori sono in realtà argomenti ricorrenti.

Αρχικά, το γεγονός ότι μοντελοποιήσαμε το σύνορο με τον δικό του ειδικό κανόνα, ενώ η κύρια διαφορική εξίσωση χαρακτηρίζει μόνο το εσωτερικό, είναι ένα πολύ συνηθισμένο θέμα και ένα μοτίβο που αξίζει να συνηθίσουμε, ειδικά στο πλαίσιο των ΜΔΕ.

Già il fatto che abbiamo definito il problema al bordo con un metodo particolare, diverso dall ínterno, è qualcosa di molto frequente, e vale la pena farci l'abitudine - soprattutto nel campo delle PDE.

Επίσης, σημειώστε το πως αυτό που κάνουμε σπάζει μια γενική κατάσταση σε απλούστερες εξιδανικευμένες περιπτώσεις.

Notiamo anche che ciò che stiamo facendo, è scomporre un problema generale in casi semplici, ideali;

Αυτή η στρατηγική εμφανίζεται συνέχεια και είναι στην πραγματικότητα σχετικά συνηθισμένο για αυτές τις απλούστερες περιπτώσεις να μοιάζουν με ένα μείγμα ημιτονοειδών καμπύλων και εκθετικών.

questa tecnica è molto utilizzata, ed è molto frequente che un caso semplice faccia emergere sinusoidi ed

Αυτό δεν είναι καθόλου μοναδικό στην εξίσωση θερμότητας.

esponenziali, non è affatto una cosa propria all'equazione del calore, e

Και όσο περνά ο χρόνος, θα πάρουμε μια βαθύτερη αίσθηση του γιατί αυτό ισχύει.

man mano che andremo avanti, capiremo meglio perché ciò sia vero.