Golden Proof - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
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The Fibonacci numbers again start:
La sucesión de Fibonacci, otra vez, comienzan con:
1, 1, 2, 3, 5
1, 1, 2, 3, 5
and the rule is: if each number here
y la regla es: si cada número aquí
equals the one before it
es igual a la suma de los dos anteriores
So, if this was the nth number
Entonces, si este fuera el enésimo número
and we're gonna call that x n
Y vamos a llamar a eso x_n
for the nth number
Para todo enésimo número
it equals the one before it
Es igual al anterior,
plus the one before that
más el anterior al anterior
so that equals
Así que eso es igual a
x n minus one plus x n minus two
x_(n-1) + x_(n-2)
So that's our finding thing
Así que esto es lo que tenemos
and what we're trying to find
Y lo que estamos tratando de encontrar
ultimately
finalmente
is what is the ratio between the two of the numbers
es cuál es la relación entre dos de los números
and importantly, because
y lo más importante de porqué
we're looking for the ratio
estamos buscando la razón
it is approaching the limit
es que se está acercando a un límite
it doesn't matter which two terms
no importa qué dos términos
it should be the same ratio, give or take
debemos tomar la misma razón, dar o tomar
and
y
if you do infinitely many the same ratio for all of them
si haces infinitamente la misma razón para todos ellos
but, rrrrhhhhh
pero, rrrrhhhhh
So. Uh. For any two of the terms
Así que. Uh. Para cualesquiera dos de los términos
so what we can say now
entonces que podemos decir ahora
is the ratio between
que es la razón entre
x to the n and the one before that
x_n y el anterior
which was x to the n minus one. The one before.
que era x_(n-1). El anterior.
should equal the same as the ratio
Debe ser igual a la razón
between x n minus one to the one before that
entre x_(n-1) y uno antes de eso
which is x n minus two
que es x_(n-2)
and we're gonna call it
y lo llamaremos
What letter would you like Brady?
¿Qué letra te gustaría Brady?
awa aya a
cualquier letra griega?
any any Greek letter?
¿Tienes un favorito?
Do you have a favorite? Brady: uhhh....
Brady: uhhh ....
delta?
¿delta?
Guy: DELTA!
Matt: DELTA!
ok, so lets
ok, entonces vamos
do a capital delta
a hacer un delta mayúscula
because its quicker to draw
porque es más rápido dibujar
so we're trying [to come up] with this ratio, delta is.
así que estamos intentando ver que es esta razón delta.
and we know its the ratio between any two
Y sabemos que es la razón entre dos cualesquiera
consecutive terms
términos consecutivos
now we know
Ahora, sabemos
according to our relationship which generates this sequence
de acuerdo a nuestra relación que genera esta secuencia
that x n equals the two before it
que x_n es igual a los dos anteriores
added together
sumados juntos
so I'm gonna put that in
Así que voy a poner eso
intstead of
en lugar de
so all I've done is substitute that in
Así que todo lo que he hecho es sustituir eso en
but now I could start simplifying
Pero ahora podría comenzar a simplificar
because I've got the same term
porque tengo el mismo término
there twice
allí dos veces
so, in fact, if I divide through
Entonces, de hecho, si divido
that's one plus
eso es uno más
x to the n minus two
x_(n-2)
over x to the n minus one
sobre x_(n-1)
which still equals
que es igual a
x to the n minus one over
x_(n-1) sobre x_(n-2)
x to the n minus two
que es igual a la razón
which still equal to the ratio
delta que estamos buscando
delta we're looking for so now you'll go
Así que ahora
hang on a second
espera un segundo
that is the same as this but upside down
Eso es lo mismo que esto pero al revés
and in fact that equals that ratio delta
y de hecho eso es igual a la razón delta
so I can now change this to be
entonces ahora puedo cambiar esto por
one plus
1 más
well that's the inverse of this ratio
Bueno, eso es el inverso de esta razón
so that's one over delta
así que eso es 1 sobre delta
equals and that there is the delta
igual al propio delta
and so the relationship
y entonces la relación
for the ratio of any sequence
para la razón de cualquier secuencia
where you get the next term
donde obtienes el próximo término
from adding the two previous ones
de sumar los dos anteriores
one plus the inverse of that ratio
es que 1 más el inverso de esa razón
equals the ratio
es igual a la razón
Now what ratio could that possibly be?
Ahora, ¿qué razón podría ser eso?
well let's work it out!
¡Bien, resolvámoslo!
because we can turn this
Porque podemos convertir esto
into a
en una
quadratic?
¿cuadrática?
If I multiply through by triangle
Si multiplico por triángulo
it equals that plus one
Triángulo más uno
equals triangle squared
es igual a triángulo cuadrado
and so delta squared minus delta
y así delta al cuadrado menos delta
minus one equals zero
menos uno es igual a cero
So, all I've done is rearrange that formula
Entonces, todo lo que hice fue reorganizar esa fórmula
now we can solve this using our friend the quadratic equation
Ahora podemos resolver esto usando nuestra amiga la ecuación cuadrática
cuz we know
porque sabemos
that if you have a times x squared plus b x plus c
que si tienes ax^2+bx+c=0
equals zero then x equals negative b
entonces x es igual a -b±
plus or minus the square root of b squared minus four a c
la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a*c
over two a
sobre 2a
so we can substitute in to use the quadratic formula
entonces podemos usar la fórmula cuadrática
So we now know delta equals
Así que ahora sabemos, delta igual
negative b, which is the coefficient there
-b, que es el coeficiente aquí
which will be one
que será uno
plus or minus the square root of b squared --is going to be one
± la raíz cuadrada de b al cuadrado: va a ser 1
minus four times one, times negative one, so it's going to be
menos 4 por 1, multiplicado por -1, por lo que será
plus four. Two times one is two. So that's going to equal...
+4. Dos veces 1 es 2. Entonces eso va a ser igual ...
Now I'm only going to use the positive for now.
Ahora solo voy a usar lo positivo por ahora.
One plus root 5 divided by two, which is the golden ratio.
(1+ (raíz de 5)) /2, que es la razón áurea.
If you actually work that out, that's where 1.6180... comes from.
Si realmente lo resuelves, de ahí viene 1.6180 ...
And in fact, that is one of the definitions of the golden ratio
Y, de hecho, esa es una de las definiciones de la razón áurea
And so that's why, for any starting term, it always approaches the same sequence
Y es por eso que, para cualquier término inicial, siempre se aproxima a al mismo valor
If you use the negative, you get the negative inverse of the golden ratio; another wonderful property of it.
Si usas el negativo, obtienes el inverso negativo de la razón áurea; otra propiedad maravillosa de ella.
It I'd use the negative... If I'd used equals one minus root five over two
Si uso el negativo ... Si hubiera usado igual a uno menos raíz cinco sobre dos
and that equals -0.6180...
y eso equivale a -0.6180 ...
So they're the two solutions to that [particular] equation
Entonces, Esas son las dos soluciones a esa ecuación [particular]
So, that's why it works of any sequence where you add two terms to get the next one
Entonces, es por eso que funciona en cualquier secuencia donde se suman dos términos para obtener el siguiente
Brady: So the fact... The Fibonacci numbers meant nothing there?
Brady: Entonces, el hecho ... ¿Los números de Fibonacci no significaban nada allí?
Guy: The Fibonacci numbers are one of [an] infinite family of such numbers
Matt: Los números de Fibonacci son unos de una familia infinita de tales números
because for any two whole numbers you want to start with, the exact same thing works out
porque para dos números enteros con los que quieras comenzar, funciona exactamente igual.
In fact, why use whole numbers? Go bananas! At no point did I specify whole numbers here.
De hecho, ¿por qué usar números enteros? ¡Vamos, Bananas! En ningún momento especifiqué números enteros aquí.
It's just, whatever you start with, add two terms, you get the next one. You always get the golden ratio
Simplemente, sea como sea que empieces, suma dos términos, obtienes el siguiente. Siempre obtienes la razón áurea
That's not some special property Fibonacci numbers have.
Esa no es una propiedad especial que tienen los números de Fibonacci.
All of them have got that property. We want a better link.
Todos ellos tienen esa propiedad. Queremos un mejor vínculo.
What we really want is a sequence of numbers which have a link the the golden ratio
Lo que realmente queremos es una secuencia de números que tenga un vínculo con la razón áurea
that other sequences don't get. We want something above this.
que otras secuencias no tengan. Queremos algo por encima de esto.
Brady: The Brady numbers!
Brady: ¡Los números de Brady!
Guy: Well, the Brady numbers are wonderful, but I can go slightly better
Matt: Bueno, los números de Brady son maravillosos, pero puedo ir un poco mejor
So, I'm going to show you the Lucas numbers.
Entonces, les mostraré los números de Lucas.
I, personally, am a massive golden ratio septic. I think it's hugely overrated...
Yo, personalmente, soy un escéptico de razón dorada masiva. Creo que está muy sobrevalorado ...
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