All Triangles are Equilateral - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
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I, Carlo Séquin, will prove to you that any triangle that you draw is equilateral.
Yo, Carlos Séquin, te demostraré que cualquier triángulo que dibujes es equilátero.
That means it has the same length of the sides all around.
Esto significa que todos los lados tienen la misma longitud.
So I'm starting with three intersecting lines,
Así que comienzo con tres lineas intersectantes,
and a second one here,
una segunda aquí
and a third one here,
y una tercera aquí,
and I mark the intersection vertices as the vertices of a triangle:
y marco los vertices de intersección como los vértices de un triángulo:
A, B, and C.
A, B y C.
That does not look, you know, equilateral (not too far off), but it is certainly arbitrarily drawn.
Eso no parece equilátero, pero ciertamente es dibujado arbitrariamente.
Now, I'm taking the middle point of the side BC (I call this M), and I draw the perpendicular bisector.
Ahora tomo el punto medio de el lado BC (lo llamo M), y dibujo la bisectriz perpendicular.
So I'm drawing a line that's perpendicular, coming out of M, going off in that particular direction.
Entonces estoy dibujando una linea perpendicular, saliendo de M, yendo en esa dirección.
And, of course, we have a right angle here.
Y, por supuesto, tenemos un angulo recto aquí.
Now you know that this line is the locus of all the points
Ahora sabes que esta linea es el conjunto de todos los puntos
that are equidistant from point B and from point C.
que son equidistantes del punto B y del punto C.
I'm going to draw another extra line, and that is the angle bisector coming out of A here,
Voy a dibujar otra linea extra y esa es la bisectriz del ángulo saliendo de A,
So that should look something like that, I guess.
Y esto debería verse algo como esto, supongo.
and this line, of course, let's call it angle divider "d",
Y esta linea, por supuesto, llamemosla divisor de ángulo "d",
is the locus of all the points that are equidistant from lines AB and from line AC.
es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de AB y AC.
So,
Entonces,
If I'm going to the intersection point between these two lines, which is about here, which I'm calling X,
Si voy al punto de intersección entre esas dos lineas, que es por aquí, al cual llamaré X,
then I know that this point is equidistant
entonces sé que este punto es equidistante
from B and from C, because it lies on the perpendicular bisector.
de B y de C, porque está relacionado con la bisectriz perpendicular.
So, let's draw these two lines.
Entonces, dibujemos estas dos lineas
And we know that these are equal because they are on the perpendicular bisector.
Y sabemos que estas son equivalentes porque estan en el bisectriz perpendicular.
Okay,
Bueno,
But also,
Pero también,
If I draw the shortest distance from X to line AB,
Si dibujo la menor distancia desde X a la linea AB,
Which might look something like that,
Que se vería algo así,
And comes in, of course, at a right angle here.
Y tiene, por supuesto, un ángulo recto aquí.
and I draw the shortest distance from X on to line AC, and has a right angle here.
Y dibujo la menor distancia desde X a la linea AC, que tiene un ángulo recto aquí.
Let's call this point B*,
Llamemos a este punto B*,
and let's call this point C*,
y llamemos a este punto C*,
then I know that XB* is equal to XC*
entonces sé que XB* es equivalente a XC*
because they're on the angle bisector,
porque están en el bisectriz del ángulo,
and these are all the points that are equidistant from those two lines.
y estos son todos los puntos que son equidistantes de esas dos lineas.
Okay.
Bueno.
Now, we focus on these two small triangles.
Ahora, nos enfocamos en estos dos pequeños triángulos.
And here, we have a triangle with a right angle;
Y aquí tenemos un triángulo con un angulo recto;
adjacent to the right angle we have this double-marked line, XB*.
adyacente al ángulo recto tenemos esta linea doble marcada, XB*.
And here we have a right angle;
Y aquí tenemos un ángulo recto;
and adjacent to the right angle we have this double-marked line, XC*;
y adyacente a el angulo recto tenemos esta linea doble marcada, XC*
And we know these two lines are the same length.
Y sabemos que estas dos lineas tienen la misma longitud.
We also have the third side of a triangle which is opposite of the right angle,
También tenemos el tercer lado del triángulo, el cual es opuesto al ángulo recto
marked with this one slash, and it is the same as this slash over here,
marcado con un slash, y este el mismo como este marcado con slash
(that's the hypotenuse in this case)
esta es la hipotenusa, en este caso
And so, because two triangles have two equal sides,
y asi, ya que dos triángulos tienen iguales lados
and they have the longer side being opposite to an angle that also happens to be equal,
y ellos tienen el lado mas largo opuesto a un ángulo que también resulta ser igual
then these two triangles are congruent.
entonces estos dos triángulos son congruentes
As a matter of fact, in this case, we can see they're basically mirror images of one another.
de hecho, en este caso, podemos ver que ellos son básicamente imágenes simétricas el uno del otro
Now, this of course tells us that,
Ahora, esto por supuesto nos dice que,
we also now know that,
sabemos también que,
BB*
BB*
BB* must be equal to
BB* debe ser igual que
BB* must be equal to CC*.
BB* debe ser igual a CC*
BB*
BB*
(I'll mark it with three slashes)
lo marcaré con slashes
BB* is equal to CC*.
BB* es igual a CC*
Now, we have more congruent triangles.
Ahora, tenemos mas triángulos congruentes
We also have the triangle
Tenemos también el triángulo
We also have the triangle A
Tenemos también el triángulo
We also have the triangle AX
Tenemos también el triángulo AX
We also have the triangle AXB*
Tenemos también el triángulo AXB*
We also have the triangle AXB*, being a mirror image of
Tenemos también el triángulo AXB*, que es una imagen simétrica de
We also have the triangle AXB*, being a mirror image of AXC*
Tenemos también el triángulo AXB*, que es una imagen simétrica de AXC*
And so those two triangles are congruent.
y por lo tanto dos triaángulos congruentes
And this, of course, tells us that
y esto, por supuesto, nos dice que
AB* equals to AC*
AB* es igual AC*
Okay! Now, what can we conclude from all that?
Bueno! ahora, que podemos concluir de todo esto?
Well, we can say that
bueno, podemos decir
AB* minus BB* is really just the side AB.
AB* menos BB* es justamente el lado AB
And we can say that
y podemos decir que
AC* minus CC* is just the side AC.
AC* menos CC* is el lado AC
Now we're almost there.
Ahora estamos casi allí
We have proven up here that AB* is equal to AC*,
Hemos probado hasta aqui, que AB* es igual a AC*
we have proven that BB* is equal to CC*,
hemos probado que BB* es igual a CC*
and so these two sides being equal,
y asi estos dos lados resultan iguales,
it essentially then follows that AB equals AC.
Esencialmente se puede decir que AB es igual a AC
So, we have done nothing special about the triangle
Entonces, no hemos hecho nada especial acerca del triángulo
and we have now proven that these two sides are of equal length.
y hemos probado que estos dos lados son de igual longitud
(From the background) So we've got an isosceles triangle?
(Narrador) Entonces, lo que tiene es un triángulo isósceles
That's right.
Correcto!
And now or course, I can go around and do exactly the same construction
y ahora por supuesto, puedo hacer exactamente la misma construcción
on two other sides, making this what was A before,
con otros dos lados, haciendo lo mismo que hice antes
and proving that these two sides are the same
y probando que estos dos lados tienen la misma longitud
with the same construction hanging off to this side.
con la misma construcción
I don't have to do it a third time, because
no lo tengo que hacer una tercera vez, porque
once I've proven that, I can really show that all sides of this triangle are of equal length.
una vez que he probado esto , puedo en realidad mostrar que todos los lados de este triángulo tienen la misma longitud
I can just start from another vertex,
solo tengo que comenzar desde otro vértice,
draw my angle bisector,
dibujar mi bisectriz
do my perpendicular bisector over there and
dibujar mi perpendicular aqui
do exactly the same construction.
y hacer exactamente la misma construcción
So, you of course know that this cannot possibly be true,
entoces, sabemos por supuesto que esto no es posible
and so I encourage you to go very carefully,
y asi los invito a que observen muy cuidadosamente
step-by-step, through here.
paso a paso a través de esto
and try to find out, you know,
y traten de encontrar,
where is that one bogus step?
donde está el paso erróneo.
So, be vigilant! Go for it!
así que, ¡Sé muy observador y ve por él!
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