Fantastic Quaternions - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  955.8K views 21.8K likes 297 dislikes   18 Jan 2016
Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
איך היית מסובב אוביקט ב3 מימדים?
In quanti modi puoi ruotare un oggetto in tre dimensioni? Prendi un oggetto fatto così,
אז, אתה לוקח אוביקט, ככה, ואתה מסובב אותו. זה יכול להיות שימושי, בגרפיקה ממוחשבת לדוגמא.
e ruotalo. Sarebbe una cosa molto utile, come puoi immaginare, nel campo della
אבל איך אתה תעשה את זה? אחת הדרכים היפות לעשות זאת בצורה מתמטית
computer grafica. Ma come possiamo farlo? Uno dei modi più corretti, matematicamente, consiste nell'utilizzare
משתמשת בסוג חדש של מספר מעבר למספרים הרגילים שאתה מכיר,
un nuovo tipo di numeri, al di là di quelli regolari che conosci.
מעבר למספרים הממשיים, כמו שאנו קוראים להם.
Sono al di là dei numeri reali, come vengono chiamati.
מעבר למספרים המרוכבים, אם שמעת עליהם.
Sono anche al di là dei numeri complessi - se ne hai già sentito parlare - sono anche al di là
אפילו מעבר לזה. הם נקראים קווטרניונים. זה פנטסטי.
di essi. Sono chiamati quaternioni. Sono fantastici! Allora, immagina di volerti muovere
דמיין שאני רוצה להתקדם במימד אחד, אז אני חי איפשהו כאן. ואם אני אומר: תזוז +5.
in una dimensione. Tu vivi da qualche parte qui e diciamo che devi muoverti di +5.
+5 אומר לזוז 5 יחידות ימינה לאורך הקו
+5 significa muoviti 5 unità a sinistra lungo questa retta, finendo qui.
ואני מסיים כאן אולם, אם הייתי אומר זוז 3- , אתה בטח מבין שזה אומר לזוז 3 יחידות , אבל הפעם
Se, invece, dico di muoverti di -3, capisci che significa che devi spostarti di 3 unità, ma stavolta
לזוז 3 יחידות שמאלה
ti muoverai di tre unitá verso sinistra. É così che ci si muove in una dimensione. É molto facile, vero?
אז ככה אתה זז במימד אחד, זה די קל בא נדבר על לזוז בדו מימד
Parliamo di come muoverci in due dimensioni e diciamo che voglio spostarmi in questo punto qui.
נגיד אני רוצה להגיע לנקודה הזאת זה יהיה 3 יחידות בכיוון הזה, בא נקרא לזה 3 ואז אזוז 4 יחידות למעלה, כך.
Potrebbe consistere in...3 unità in questa direzione - chiamiamolo 3 - e poi mi muovo di 4 unità in alto.
דרך אחת לרשום זאת כסט של הוראות, זה לכתוב זאת כ: 3+4i
Uno modo per scrivere questo insieme di istruzioni è 3+4i. Alcuni di voi sapranno
חלקכם בטח יודעים מה עומד להגיע, כי ראיתם את ה i הזו לפני כן אך לבנתיים אגיד ש i הכוונה: תסתובב 90 מעלות ותזוז למעלה ולמטה לבנתיים זו המשמעות שלו זו דרך אחת שאני יכול להגיע לנקודה הזאת
cosa aspettarsi, altri avranno visto la 'i'. Ma per adesso diciamo soltanto che 'i' significa ruota di 90° e vai su o giù. Per adesso é questo che significa. Questo è un modo per viaggiare fino a quel punto.
או, שאני יכול להסתכל על זה בדרך שונה: אני יכול ללכת 3 הצידה ו4 למעלה, או
In altro modo, posso considerarlo cosí - posso muovermi di tre a destra e 4 su,
אני יכול לסובב את עצמי לזוית הזאת פה ולזוז לאורך הקו האלכסוני
oppure posso ruotarmi di questo angolo e muovermi su questa linea diagonale qua -
וזה גם יהיה 3+4i
e otterrei comunque 3+4i. Posso usare
תשתמש באותם הוראות כדי להגיע לנקודה.
le stesse istruzioni per arrivare a quel punto. E' così che si viaggia in due dimensioni.
כך אתה זז בדו מימד. אם אני רוצה ללכת רחוק יותר, ללכת אולי עוד יחידה הצידה, ואז 2 יחידות למעלה מה שאני יכול לעשות זה להוסיף עוד 1+2i
E se volessi spingermi ancora più oltre e viaggiare per un altro pochino... Diciamo che voglio spostarmi di un altra unitá verso destra e 2 verso sopra in questo modo. Posso farlo aggiungendo un altro 1+2i a questo punto, e dire che questo punto é il risultato, che significa che io ho
ולהגיע לנק' הזאת. ואני יכול להגיד שהנקודה הזאת היא החיבור של התוצאות.
מה שאומר שאני יכול לזוז 3 ועוד אחד: 4 הצידה, ו6 למעלה
ho viaggiato - quanto? - 3 e poi 1 verso destra, cioè 4 di lato e...6 in alto. O, se preferite,
או אם תרצה, זה החיבור של התוצאות של לעלות מכאן עד לכאן. אנחנו יכולים לחבר את המספרים הללו, ואנחנו צריכים לחשוב עליהם כעל מספרים
è il risultato combinato di andare da qui a qui. Possiamo sommare questi numeri e
אתה יכול לחבר אותם ביחד, ולזוז ב2 מימדים
dobbiamo considerarli numeri giusto? Li puoi addizionare insieme e puoi
אז הפעם, בא נסובב את הקו הזה.
spostarti in 2 dimensioni. Questa volta ruotiamo questo segmento. Usiamo il risultato
נקח את התוצאה שיצאה לנו: 4+6i ונסובב את זה 90 מעלות
congiunto. Cosa ho? É 4+6i. Ruotiamo di 90°. Se io
אם נסובב את זה 90 מעלות זה יגיע לנקודה הזאת
ruoto di 90°, dovrebbe essere così, finiremmo qui.
נסיים בנק' פה, וזה יהיה סיבוב של 90 מעלות
Finiamo in un punto qui, così questa è una rotazione di 90°.
הנק' הזו היא למעשה: 6+4i- הם נראים דומים אחד לשני
Questo punto è -6+4i e qui è dove finiamo se ruoto. Questi risultati si somigliano.
איך אני יכול להגיע מהספר הזה למספר הזה?
Perché si somigliano? Come posso arrivare a questo numero da quest'altro?
מה שעשיתי למעשה היה להכפיל במקום לחבר את מספרים
Quello che ho fatto è stato moltiplicare. Invece di sommare i numeri,
אני הכפלתי אותם הפעם במספר, אנחנו קוראים לזה מספר המספר i
li ho moltiplicati per il numero - lo chiamiamo numero - per il numero 'i'. Allora
יש כלל מיוחד בזה הכלל הוא: i כפול עצמו, כלומר i*i = -1
c'è una regola speciale. La regola speciale è 'i' moltiplicato se stesso, ixi, è uguale a -1. Giusto per
רק להראות מה עשיתי. לקחתי את הנק' שבה הייתי 4+6i והכפלתי את זה ב i
mostrarvi cosa ho fatto, prendo il punto dove ero, 4+6i, ho moltiplicato per 'i', e cosa ottengo?
ומה קיבלתי? קיבלתי: 4i+6i^2 ומה זה? זה 4i-6 או במילים אחרות, סיימתי פה. 6+4i-
Ho 4i+6...be', chiamiamolo i². Quanto fa? E' 4i-6 o, in altre parole, dove sono finito qui,
אז הכפלה במספר הזה i, אומרת שאתה מסובב ב90 מעלות
-6+4i. Quindi moltiplicare per il numero 'i' significa ruotare di 90°.
אם אתה עושה זאת פעמיים, אתה תקבל 1-, שזה הגיוני אם תסובב ב90 מעלות, ואז תסובב שוב ב90 מעלות אתה הסתובבת ב 180 מעלות , אתה מצביע לכיוון ההפוך, אז אתה הולך לכיוון הנגדי, אז 1- זה הגיוני.
Se lo fai due volte, ottieni -1, ed ha senso. Se ruoti di 90° e poi ruoti ancora di 90°, hai un angolo di 180° - siamo nella direzione opposta - così siamo nelle direzioni negative,
אז מסתבר שאם אתה מכפיל את המספרים האלה אתה מקבל סיבובים אם אתה מכפיל את המספרים אתה בעצם מחבר את הזויות
e ha senso. Se moltiplichi questi numeri insieme, ottieni delle rotazioni. Quando moltiplichi due numeri, sommi i loro angoli.
אז אם אני רוצה לסובב ב45 מעלות אני אצור משולש של 45 מעלות, 1 חלקי שורש 2 כאן 1 חלקי שורש 2 פה, וכאן יש לנו 1 עכשיו
Così se vuoi ruotare di 45°, prendo il mio triangolo con angoli di 45°. 1/√2 qui, e 1/√2 qui. Quindi qui c'è 1 adesso.
זאת זוית של 45 מעלות לכתוב את זה כמספר זה בעצם: אחד חלקי שורש 2 + אחד חלקי שורש 2 כפול i יש לי את המרחק הזה לרוחב, ואת המרחק הזה למעלה
Questo è un angolo di 45°. Scritto come numero sarebbe (1/√2)+(1/√2)i. In pratica vai di questa distanza verso destra e poi di questa distanza in alto. Se moltiplicassi per questo numero,
אם אני אכפיל במספר הזה, אני אסובב ב45 מעלות אז חיבור גורם לך לזוז במרחב הדו מימדי,
ruoterei di 45°. Addizionarli ti permette di viaggiare in due dimensioni,
כפל גורם לך להסתובב במרחב דו מימדי
moltiplicarli invece permette di ruotare in due direzioni.
אז אם כבר ראיתם את זה לפני כן, אתם בטח מזהים את זה בתור מספרים מרוכבים
Ora se eri già a conoscenza di queste cose, avrai riconosciuto i numeri complessi - che, per inciso è un nome
שלפי השם גורם לזה להשמע כמו מספרים מסובכים, ואני לא חושב שזה הכוונה
terribile, numeri "complessi", li fa sembrare numeri "difficili" e in realtà non penso fosse
אני חושב שהכוונה היא שהם מרוכבים. הם בעצם מספרים דו מימדיים. זה דרך לחשוב על מספרים מרוכבים
questa l'intenzione. Penso che l'idea fosse che sono numeri "composti". Sono in realtà numeri bidimensionali. E' un modo per pensare ai numeri complessi. I numeri reali
מספרים ממשיים הם מספרים חד מימדיים מספרים מרוכבים הם מספרים דו מימדיים
sono unidimensionali, quelli complessi bidimensionali, e
ואתה יכול להשתמש בהם כדי לזוז ולהסתובב במרחב דו מימדי. אז השאלה היא:
li puoi usare per viaggiare in 2-D o ruotare. Allora la domanda è, come
איך מסובבים ב3 מימדים? אנחנו בטח חייבים מספר 3 מימדי, נכון?
ruotiamo in 3-D? Abbiamo bisogno di numeri tridimensionali, giusto?
אז אנחנו צריכים להכיר את i ואת j גם וכך יש לנו מספר ב3 מימדים
Dobbiamo inserire una 'i' e una 'j'. In questo modo abbiamo numeri tridimensionali, e
וזה מה שאנשים חשבו, ומסתבר שאנחנו לא צריכים מספר 3 מימדי
questo è ciò che si pensò. E' stato scoperto che non abbiamo bisogno di numeri tridimensionali,
אנחנו צריכים מספר 4 מימדי על מנת להסתובב במרחב 3 מימדי, אנחנו צריכים מספר 4 מימדי בא אראה לכם איך זה עובד
ma di numeri a 4 dimensioni. Per ruotare in tre dimensioni, in maniera piuttosto bizzarra, hai bisogno di numeri a 4 dimensioni. Lasciate che vi mostri come funzionano.
בלה בלה בלה :) היה מתמטיקאי אירי שנקרא ויליאם המילטון
Stammers: C'era un matematico irlandese, di nome William Hamilton,
הוא חשב על הבעיה הזו, ולא הצליח לפתור אותה
che studiava questo problema ma non riusciva a risolverlo.
זה לא יכול לעבוד ב3 מימדים, אני לא מצליח לפתור את זה
Disse "non funziona in tre dimensioni! non riesco a farlo funzionare!"
והסיפור הוא שהוא הלך עם אשתו לאורך התעלה בדבלין,
E la storia ci dice che era a passeggio con la moglie lungo il canale di Dublino,
ופתאום, השראה נחתה עליו, והוא הבין: אני לא צריך 3 מימדים,
e venne colto da una improvvisa epifania. Capì "Non ho bisogno di tre dimensioni,
אני צריך מספרים בעלי 4 מימדים. אני צריך: j , i ו- k . מייד הוא הלך לגשר הקרוב, והוא גילף את הכללים שהוא צריך כדי שזה יעבוד אלה הכללים שהוא גילף על הגשר:
ho bisogno di numeri a 4 dimensioni! Ho bisogno di una 'i', di una 'j' e di una 'k'!". Rosso in viso per questa scoperta, corse al vicino ponte sul canale e intagliò le regole di cui aveva bisogno per far funzionare il tutto. Queste sono le regole che intagliò nel ponte:
i^2 = j^2 = k^2 = i*j*k = -1
i² = j² = k² = i⋅j⋅k = −1.
זה מאד דומה לרעיון של המספרים המרוכבים, המספרים המרוכבים זה i בריבוע שווה למינוס אחד זה מה שהיינו צריכים
Sono molto simili ai numeri complessi. Per i numeri complessi, i² = −1—questo è
זה מאד דומה, אך עכשיו אנחנו צריכים את j, i ו- k
tutto quello di cui avevamo bisogno. E' molto simile, ma non proprio, abbiamo bisogno di 'i','j' e 'k'.
הוא גילף את זה על הגשר, ולרוע המזל, גרפיטי, איזה ונדל,
Incise questo sul ponte, ma sfortunatamente - graffiti, che vandali! - sfortunatamente
לרוע המזל, זה לא נמצא שם כבר, אבל עכשיו יש לוח שמציין את הכללים של התגלית שלו על הקווטרניונים הכללים שם, וכל שנה מתמטיקאים מאיזור דבלין עולים לרגל למקום בו הוא הגה את הרעיון של הקווטרניונים בפעם הראשונה בעזרת הכפלה של המספרים ה4 מימדיים הללו, אתה יכול לסובב, כמו בדו מימד
non c'è più. Ora c'è una placca che celebra le regole, la sua scoperta dei quaternioni. Le regole sono lì, e ogni anno, i matematici di Dublino vanno in pellegrinaggio nel punto dove ebbe l'idea dei quaternioni per la prima volta. Moltiplicando questi numeri 4 dimensionali, si possono
אתה יכול לסובב דברים ב3 מימדים
ruotare - come nella versione 2-D - si possono ruotare cose in tre dimensioni,
וכך דברים נעשים בגרפיקה ממוחשבת
ed è così che lavora la computer grafica. Non solo questo,
ולא רק זה. כך דברים מחושבים כדי לכוון ולכוונן מעבורות חלל
anche l'orientamento e la rotazione di uno space shuttle che va in orbita,
וכך גם מחשבים את הכיוון והאורינטציה של הסמארטפונים שלכם בא נגיד שאני רוצה לסובב אוביקט ב3 מימדים אני בוחר קו כמו זה עם העט כאן, אני דוקר את האוביקט עם העט, ואני יכול לסובב אותו סביב לעט
oppure l'orientamento e la rotazione di uno smartphone. Allora, diciamo che voglio ruotare un oggetto in tre dimensioni. Be', prendo una linea - come questa penna qui - attacco l'oggetto con questa penna e posso ruotare attorno alla penna. Posso attaccarlo in questo modo, e ruotare così. Oppure
אני יכול לדקור את זה כך, ולסובב את האוביקט ככה
או שאני יכול מהכיוון הזה, ואז לסובב כך או מהכיוון הזה, ואז לסובב כך
posso attaccarlo in questo modo, così da ruotare l'oggetto così, oppure così. Allora, come
אז איך אנחנו כותבים את זה? אז אני אקח קו כך, ואני ארצה לסובב מסביב לקו, בזווית תטא
possiamo scrivere tutto ciò? Prendo una linea così, e voglio ruotare attorno a questa linea. Consideriamo un angolo, 'θ' così.
נקרא לקו הזה v , זה דבר בעל 3 מימדים
Chiamiamola 'v - questa linea che chiameremo 'v'. Allora è un modello tridimensionale.
יש לו 3 קואורדינטות נקרא לזה v2, v1 ו- v3
Ha tre coordinate. Chiamiamole v₁, v₂, e v₃.
נקח נקודה שנסובב אותה, נקרא לה p הנק' היא y, x ו- z ב3 מימדים, כך דברים עובדים
Prendiamo un punto che è stato ruotato. Chiamiamolo 'P'. Ha coordinate x,y,z In tre dimensioni le cose funzionano così.
ועכשיו נסובב את זה בעזרת קווטרניונים. איך קווטרניונים נראה?
Ruotiamolo usando un quaternione. Come è fatto un quaternione? Ha questo aspetto:
קווטרניונים נקרא לו h, יהיה a + bi +cj +dk
Un quaternione, chiamiamolo 'h', sarà qualcosa del tipo a+bi+cj+dk,
ולזה אני צריך עוד דבר קטן, שנקרא h* h* = a - bi - cj - dk
e in realtà, per questo ho bisogno di un'altra piccola cosa, chiamata h* con h*=a-bi-cj-dk.
אם אני רוצה לסובב בזוית תטא, b , a ו- c מוגדרים כ:
Bene, se voglio ruotare di un angolo θ, allora a,b e c sono definite come:
יa יהיה שווה לקוסינוס של תטא חלקי 2 ו b יהיה שווה לv1 שמגיע מהוקטור (העט) כפול סינוס של תטא חלקי 2 ו c יהיה שווה v2 כפול סינוס של תטא חלקי 2 ו d שווה ל v3 סינוס תטא חלקי 2
a=cos(θ/2), b sarà scritto come....v1 - che proviene dal vettore qui, la mia penna puntata - per sin(θ/2), c=v₂⋅sin(θ/2), and d=v₃⋅sin(θ/2).
אז מסתבר שאנחנו צריכים 4 רכיבים למספר שלנו
Quindi risulta che abbiamo bisogno di quattro componenti per il numero che useremo. Abbiamo quattro
אנחנו צריכים 4 רכיבים כדי שיהיה לנו החופש לעשות את הדקירה ואז הסיבוב סביב לוקטור
componenti per avere la libertà di puntare e poi ruotare un vettore.
איך אתה מחשב את הסיבוב? אם p זה הנקודה שאני מסובב, נכתוב p כקווטרניונים p = xi + yj + zk
E come si ottiene la rotazione alla fine? Se P, che è il punto che voglio ruotare, Se scrivo P come un quaternione, le sue coordinate saranno x, y e z così che è xi+yj+zk,
וסופסוף הסיבוב הוא: *hph זו המתמטיקה של זה אנחנו צריכים 4 רכיבים למספר שלנו כדי שיהיה לנו את החופש לסובב מסביב לוקטור ולהזיז את הזוית
e infine, la rotazione è hph*. Esatto, questa è la matematica alla base, ma abbiamo bisogno di quattro componenti per ottenere la libertà di ruotare un vettore e poi muoverci di quell'angolo.
אז המספרים המרוכבים מכילים את המספרים הממשיים
I numeri complessi contengono i numeri reali, e
ומסתבר שהקווטרניונים מכילים את המספרים המרוכבים ולכן גם את הממשיים
i quaternioni contengono i numeri complessi, i quali ovviamente contengono
שאתה לא צריך את הj ואת הk תקבל מספר מרוכב
i numeri reali. Quando non hai bisogno di j e k, ottieni un numero complesso, e se
ואם אתה לא צריך את הi , תקבל מספר ממשי אז אולי תחשוב, מה הדבר הבא? האם יש צעד נוסף? ויש צעד נוסף, שנקרא אוקטוניונים מספר 8 מימדי
non hai bisogno della i, ottieni un numero reale. Adesso penserai "cosa c'è dopo? c'è un passo successivo" E c'è, il passo successivo sono gli ottonioni - numeri a 8 dimensioni.
אוקטוניונים הם בעלי סט כללים משלהם רעיון מאד דומה, אך בכל פעם שאנחנו צועדים קדימה זה נהיה יותר מופשט, ויש תכונה מסוימת שאתה מאבד
Gli ottonioni, che hanno anche il loro insieme di regole, sono molto simili, hanno un'idea simile, ma ogni volta che si va avanti di un passo si diventa più astratti. Perdono un po' di struttura, e c'è una proprietà che perdi ogni volta che fai un passo in avanti.
ככל שאתה עושה את זה, זה נהיה פחות שימושי לאוקטוניונים יש שימוש במתמטיקה מאד מופשטת, אבל הם לא שימושיים כמו קווטרניונים
Quindi più vai avanti, meno utili diventano. Gli ottonioni hanno alcuni usi in matematica astratta, ma non sono utili quanto i quaternioni.
אחרי זה קיים צעד נוסף, מגיעים למספרים ב16 מימדים- הסדיוניונים
C'è anche un passo successivo, i numeri a 16 dimensioni - i sedenioni - ma
אבל שוב, אתה מאבד עוד תכונה שאתה הולך קדימה וכל פעם שאתה עושה זאת זה נהיה פחות שימושי
ancora, perdi un'altra proprietà quando vai avanti, ed ogni volta diventano meno utili. Quali sono le proprietà che perdi ogni volta che sali di livello? Sfortunatamente, dai complessi ai quaternioni, la proprietà che perdi é questa...
Similar videos:

Pascal's Triangle - Numberphile
Numberphile
609.2K views 18.8K likes 348 dislikes 10 Mar 201727% match

1.3: Basics of drawing - p5.js Tutorial
The Coding Train
245K views 3.1K likes 58 dislikes 01 Sep 201526% match

Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics
Mathologer
2.6M views 69.1K likes 1.1K dislikes 06 Nov 201526% match

More limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
386.4K views 1.1K likes 43 dislikes 25 Jun 200826% match


Zeno's Paradox - Numberphile
Numberphile
3.2M views 50.2K likes 1K dislikes 07 Apr 201326% match

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200825% match



Sodium-potassium pump | Cells | MCAT | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3K likes 141 dislikes 11 Feb 201025% match



998,001 and its Mysterious Recurring Decimals - Numberphile
Numberphile
3M views 51K likes 694 dislikes 06 Mar 201225% match

Rotation in R3 around the x-axis | Matrix transformations | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
176.2K views 410 likes 12 dislikes 25 Oct 200925% match

Magnetic field created by a current carrying wire | Physics | Khan Academy
Khan Academy
690.2K views 1.9K likes 83 dislikes 01 Aug 200825% match


Cuneiform Numbers - Numberphile
Numberphile
181.6K views 9.7K likes 98 dislikes 15 Mar 202125% match

Too Many Triangles - Numberphile
Numberphile
310.3K views 7.4K likes 67 dislikes 28 Nov 201625% match

The 10,958 Problem - Numberphile
Numberphile
2.9M views 48.7K likes 2.4K dislikes 18 Apr 201724% match

Primes without a 7 - Numberphile
Numberphile
339.6K views 10.6K likes 0 dislikes 20 Nov 201922% match

58 and other Confusing Numbers - Numberphile
Numberphile
1.9M views 62K likes 713 dislikes 06 Mar 201522% match

Juggling by Numbers - Numberphile
Numberphile
272.4K views 7.7K likes 160 dislikes 29 Sep 201721% match

569936821221962380720 - Numberphile
Numberphile
281.4K views 15.8K likes 144 dislikes 19 Aug 202021% match

The Uncracked Problem with 33 - Numberphile
Numberphile
1.7M views 22.7K likes 429 dislikes 06 Nov 201521% match

The Brussels Choice - Numberphile
Numberphile
236.5K views 8.2K likes 210 dislikes 21 Aug 202020% match

Point about Points - Numberphile
Numberphile
381.5K views 6.3K likes 859 dislikes 01 Aug 201320% match

The Six Triperfect Numbers - Numberphile
Numberphile
376K views 10.3K likes 111 dislikes 29 Jun 201820% match

Random Fibonacci Numbers - Numberphile
Numberphile
392.6K views 11.3K likes 172 dislikes 08 Mar 202020% match

2.920050977316 - Numberphile
Numberphile
348.8K views 17.1K likes 169 dislikes 26 Nov 202020% match

Goldbach Conjecture - Numberphile
Numberphile
753.6K views 13.7K likes 188 dislikes 24 May 201720% match

Superpermutations - Numberphile
Numberphile
348.8K views 11K likes 105 dislikes 29 Jan 201820% match

Squaring Primes - Numberphile
Numberphile
1.5M views 37.8K likes -1 dislikes 20 Nov 201820% match


Settings Privacy About Contact Donate