Goldbach Conjecture - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
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(Speaking German)
(Hablando alemán)
That means that a given number is the sum of two primes.
Eso significa que un número dado es la suma de dos números primos.
I hold it for a completely certain result.
Lo considero un resultado completamente seguro.
Looking aside from the fact that I can't, myself, prove it.
Dejando de lado el hecho de que no puedo, yo mismo, probarlo.
So we're talking about Goldbach's Conjecture. One of the real old chestnuts of mathematics.
Entonces, estamos hablando de la conjetura de Goldbach. Una de las antiguas incógnitas de las matemáticas.
Christian Goldbach was born in 1690 in Königsberg, now part of Russia.
Christian Goldbach nació en 1690 en Königsberg, ahora parte de Rusia.
And he was a fairly serious mathematician.
Y él era un matemático bastante serio.
But his great moment of fame came in a correspondence with Leonard Euler,
Pero su gran momento de fama llegó en una correspondencia con Leonard Euler,
who was really one of the great mathematicians of all time.
quien fue realmente uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos.
And in a letter that he wrote to Euler,
Y en una carta que escribió a Euler,
on the seventh of June in 1742.
el 7 de junio de 1742
In that letter, Goldbach proposed this conjecture,
En esa carta, Goldbach propuso esta conjetura,
which got sort of ironed out after a few rounds.
que se corrigió después de algunas rondas.
But it is a famous conjecture now which says
Pero ahora es una famosa conjetura que dice
that every even integer is the sum of two prime numbers.
que cada entero par es la suma de dos números primos.
Why even integers?
¿Por qué enteros pares?
Well prime numbers are mostly odd numbers
Los números primos son en su mayoría números impares
and if you add two odd numbers you always get an even number
y si se suman dos números impares, siempre obtendrás un número par
Let's make a picture that shows how this happens.
Hagamos un dibujo que muestre cómo sucede esto.
I'm gonna write two lines, which both have the primes on them.
Voy a escribir dos líneas, que tienen números primos en ellas.
3. And let's see, 4 is not a prime
3. Y veamos, 4 no es un primo
5 is a prime, 6 is not a prime.
5 es un primo, 6 no es un primo.
7 is a prime. 8, 9, 10, are not primes,
7 es un primo. 8, 9, 10, no son primos,
11 is a prime
11 es un primo
Let's put a 2 in just to please Brady.
Pongamos un 2 solo para complacer a Brady.
Because two is a prime. Why should we discriminate against two?
Porque 2 es un primo. ¿Por qué deberíamos discriminar al 2?
So here, I'll put two on the other side as well.
Así que pondré 2 del otro lado también.
2 is a prime. 3 is a prime. 4 is still not a prime.
2 es un primo. 3 es un primo. 4 sigue sin ser primo.
5 and we could go on
5 y podríamos seguir así.
So this is an infinite game. And now let's draw lines that connect the sides.
Entonces, este es un juego infinito. Y ahora vamos a dibujar líneas que conectan los lados.
So I'm gonna try my best to draw a line parallel
Así que voy a hacer mi mejor esfuerzo para dibujar una línea paralela
to the lines I've drawn.
a las líneas que he dibujado.
And now let's look at where these lines intersect
Y ahora veamos dónde se cruzan estas líneas
and write down the sums of the two primes that are coming
y anotamos las sumas de los dos primos de arriba
So here's four, which is 2+2.
Así que aquí es 4, que es 2 + 2.
3+2 is 5.
3 + 2 es 5.
Well, that's not even but we'll put it down anyway just for the sake of having something there.
Bueno, eso no es par, pero lo dejaremos de todos modos allí.
And of course we have 7 and 9. Now 3+3 is the first interesting one.
Y, por supuesto, tenemos 7 y 9. Ahora 3 + 3 es el primero interesante.
Here's 6. And let's see what else do we have...
Aquí es 6. Y veamos qué más tenemos ...
We have 5+3 is 8
Tenemos 5 + 3 es 8
And 7+3 is 10
Y 7 + 3 es 10
And 11+3 is 14. That's a bit of a skip. I might be worried about that one
Y 11 + 3 es 14. Tenemos un pequeño salto ahí. Podría estar preocupado por eso
And 13+3 is 16
Y 13 + 3 es 16
You mean because we've skipped 12?
(Brady)¿Quieres decir porque nos hemos saltado 12?
We skipped 12? Did we get a 12? Well yes of course we do. We get 5+7.
Nos saltamos el 12 ¿Tenemos un 12? Bueno, sí, por supuesto que sí. Tenemos 5 + 7.
Here's 12 and here's 7+5
Aquí está el 12 y aquí están 7 + 5
This is a symmetric picture so it's not too surprising we get the same thing both ways.
Esta es una imagen simétrica, así que no es demasiado sorprendente que obtengamos lo mismo en ambos sentidos.
7 and 7 we saw one 14 before. This is a really different 14.
7 y 7 vimos un 14 antes. Pero este es un 14 realmente diferente .
We had 3+11 or 7+7.
Tenemos 3+11 o 7+7.
Uh, what's this one? 11 and 5
Uh, ¿qué es esto? 11 y 5
Another 16. Here's 5+11 another 16.
Otro 16. Aquí hay 5 + 11 otro 16.
And then here's 5+13 is 18. And 7+11 another 18. A really different 18.
Y luego aquí están 5+13 es 18. Y 7+11 otro 18. Un 18 realmente diferente.
I have 13+7=20.
Tengo 13+7 = 20.
Here's 11 and 11: 22. And as you can see as it goes
Aquí es 11+11= 22. Y como pueden ver a medida que avanzamos hacia
down I sort of fill things out. Now what
abajo se va llenando de cosas. Ahora, lo que
you don't see from this picture so well
no ves tan bien en esta imagen
is that actually as the numbers get big
es que en realidad como los números se hacen grandes
there are really a lot of ways of
en realidad hay muchas formas de
writing the numbers as the sum of two
ir escribiendo los números como suma de dos primos
primes. And in fact you can estimate how
Y de hecho, puedes estimar cuántos
many in a very crude, simple-minded way,
de una manera muy simple,
and it turns out to be that you're
y resulta ser que estás
really pretty close for big numbers. So
realmente muy cerca de grandes números. Asi que
let's do a little calculation. One
hagamos un pequeño cálculo.
of the most famous theorems in number
Uno de los teoremas más famosos en teoría de números
theory is the prime number theorem and
es el Teorema del Número Primo y
it says that the density of the primes
dice que la densidad de los primos
around n, so the chance of a number near n
alrededor de n, la probabilidad de que un número cerca de n
being prime, is n divided by the natural
sea primo, es n dividido por el logaritmo natural de n
logarithm of n. That's the prime number
Ese es el Teorema del Número Primo
theorem. I'm not going to try to prove it
No voy a intentar probarlo
or justify it, but it's true. So using
o lo justificarlo, pero es verdad. Entonces usando
that, we can estimate the number of ways
eso, podemos estimar la cantidad de formas de
to write a given number n, or 2n let's say,
escribir un número dado n, o 2n digamos,
as the sum of two primes. Let's
como la suma de dos primos. Vamos a
use a different number, 2m. So how many
usar un número diferente, 2m. Entonces de cuantas
ways can you write 2 times m, that's an
formas puedes escribir 2 veces m, eso es un
even number, as p plus q where p and q
número par, como p+q donde p y q
are prime?
son primos
That seems pretty mysterious. They just,
Esto parece bastante misterioso.
if you don't know anything about it, but
Si no sabes nada al respecto, pero
it's easy to analyze. So if you write
es fácil de analizar. Entonces, si escribes
2m as the sum of p plus q, then one of
2m como la suma de p + q, luego uno de ellos
p and q had better be bigger than m,
p o q deberían ser más grandes que m,
bigger than or equal, and the other one
más grande o igual, y el otro
will be less than or equal to m.
será menor o igual a m.
If we look at a particular number that's a
Si miramos un número particular que es un
little bigger than m, between m and 2m, its
poco más grande que m, entre m y 2 m,
chance of being prime is 1 over the log.
la probabilidad de ser primo es 1 sobre el logaritmo.
Now logarithm doesn't change very fast.
Ahora el logaritmo no cambia muy rápido.
It's a very slowly growing function. So we can
Es una función que crece muy lentamente. Podemos
estimate it as being the log of m. So if
estimar el logaritmo de m. Así que si
I write, if I write 2m as a plus b,
escribo 2m como a+b,
where a is bigger than or equal to m and
donde "a" es mayor o igual a m y
b is less than or equal to m, then
"b" es menor o igual a m, luego
the chance of a being prime is about 1
la probabilidad de ser un primo es de aproximadamente 1/ln(m)
over the log of m. So the chance the
Entonces la probabilidad
probability that a will just by accident
de que "a" simplemente por accidente
be prime is about equal to 1 over the
sea primo es aproximadamente igual a 1 sobre el
log of m. Okay. And that's the same for
logaritmo de m. Bueno. Y eso es lo mismo para
the chance of b being prime. It's about 1
la probabilidad de que b sea primo. Se trata de
over log of m. So the chance of both of
1 sobre el logaritmo de m. Entonces, la probabilidad de que ambos
them being prime at the same time is one over
sean primos al mismo tiempo es uno sobre
the log of m squared. Well, that's a
el logaritmo de m al cuadrado. Bueno, eso es una
bit of a fib. It would be 1 over log m
pequeña mentira. Sería 1 sobre ln(m)
squared if they were independent events,
al cuadrado si fueran eventos independientes,
but it's not quite independent. We'll
pero no es completamente independiente. Bien
talk about that in a minute.
hablaré de eso en un minuto.
How many chances do we get? To compute
Cuántas oportunidades tenemos. Para computar
this probability we had to choose an a
esta probabilidad tuvimos que elegir una "a"
between m and 2m, so there are m choices.
entre m y 2m, entonces hay m opciones.
Number of ways to write 2m as p plus
El número de formas de escribir 2m como p + q
q is about equal to m divided by the log
es aproximadamente igual a m dividido por el logaritmo
of m squared. m is a whole lot bigger
de m al cuadrado. m es mucho más grande
than the log of m. Think of base 10.
que el logaritmo de m. Piensa en la base 10.
Think m is a million and the log of m is
Piensa que si m es un millón, el ln(m) es 6
6. So you know, this is like a million
Entonces, ya sabes, esto es como un millón
over 36 and if it's a billion or a 10 to
dividido 36 y si fuera mil millones o digamos 10^12,
the 12th let's say, then m would be 10 to
Podemos decir, el doceavo. Entonces ln(m) sería 12.
the 12th and this would be 12. So 10 to
Entonces quedaría 10^12,
the 12th over 144 in other words this is
el duodécimo, sobre 144. En otras palabras, esto es
this is pretty close to m actually. So
esto es bastante cerca de m en realidad. Así que
it's an enormously large number. So for
es un número enormemente grande. Entonces para
any given large number there are gonna
cualquier gran número dado que tomemos
be lots of ways of writing it as a
hay muchas maneras de escribirlo como
sum of two primes.
suma de dos primos.
Somebody I was talking to said maybe
Alguien con quien he hablado dijo, tal vez
that's why it's so hard to prove. If there
por eso es tan difícil de probar. Sí hubiera
were a unique way, then maybe you could
una forma única, entonces tal vez podrías
just find it. You could figure out the
solo encontrarla. Podrías descubrir una
formula for it. But if they're just any
fórmula para ello. Pero tienes todas estas
old ways, almost everything works, then
formas, casi todo funciona, luego
how are you going to find that needle in
cómo vas a encontrar esa aguja en
a haystack? Or the haystack around the
el pajar? O el pajar alrededor del
needle, rather? This is very heuristic,
aguja, más bien? Esto es muy heurístico
right? We didn't prove anything in this
¿De acuerdo? No probamos nada en esta
little discussion. We just made a guess,
pequeña discusión. Solo estamos adivinando,
but it turns out to be a very good guess
Pero resulta ser una muy buena conjetura
and there people who have tabulated these
y hay personas que han tabulado estas cosas.
things. There's something called Goldbach's
Hay algo llamado Cometa de Goldbach
Comet. For each number m you show
Por cada número m muestra
the number of ways of writing it as the
la cantidad de formas de escribirlo como
sum of two primes. And it grows just as you
suma de dos primos. Y crece tal como
would expect, like this. You see this
esperarías. Así. Ves esta
wonderful picture. There's some variation
maravillosa imagen. Hay alguna variación
of course, some numbers have lots of ways,
por supuesto, algunos números tienen muchas formas,
some a few. But even the ones with the
unos pocos. Pero incluso los que tienen
fewest ways, the number seems to grow pretty steadily.
la menor cantidad de formas, el número parece crecer de forma bastante constante.
Brady: "Do you ever get a
Brady: "¿Alguna vez sea ha encontrado un
"really really big even number that has
número par realmente grande que tenga
"like only one way? Or is there always lots of..."
una sola forma? ¿O siempre hay muchas ...?"
No one has ever found such a thing, I think. It really
Nadie ha encontrado tal cosa, creo. Realmente
just keeps growing. I don't know if there's
Solo sigue creciendo. No sé si hay
any lower bound known or guessed.
un límite inferior conocido o esperado.
So it remained unproven all this time.
Entonces esto permanece sin probar todo este tiempo.
People have proven other things, people
La gente ha probado otras cosas, las personas
have made other conjectures around it.
han hecho otras conjeturas a su alrededor.
For example, Harold Helfgott finally
Por ejemplo, Harold Helfgott finalmente
in 2013 managed to prove that every odd
en 2013 logró demostrar que cada número impar mayor que 5
number is the sum of three primes, and
es la suma de tres números primos, y
that actually implies that every even
eso en realidad implica que todos incluso
number bigger than something is the sum
números más grandes que algo son la suma
of four primes. So, you know, that's
de cuatro primos. Entonces, sabes, eso es alguna cosa.
something. And Hardy and Littlewood,
Y Hardy y Littlewood,
famous famous number theorists, decided
famosos teóricos de los números, decidieron
that it was too bad to leave out the odd
que era una lástima dejar de lado los números impares
numbers, so sum of three primes, that's all
números. Entonces la suma de tres números primos, eso está muy bien
very well. But let's make it more special.
Pero hagámoslo más especial.
How about the sum of a prime and twice a
¿Qué tal la suma de un primo y dos veces otro primo?
prime? So the sum of three primes would
Entonces la suma de tres números primos
take two of them to be equal. So they
en la que dos de ellos son iguales.
conjected that that was true. Nobody can
Entonces ellos conjeturaron que eso era cierto.
prove that either, but all these things
Nadie ha podido probar esto tampoco. Pero todas estas cosas
seem very likely to be true. My friends
parecen muy probables que sean ciertas.
who are analytical number theorists would
Mis amigos que son analistas de la teoría de números
die to prove Goldbach's conjecture. It
mueren por probar la conjetura de Goldbach.
really is, would be a great prize, a great
Eso realmente es, sería un gran premio, un gran
coup. You know the professionals are
golpe. Tu sabes, los profesionales son
shy about them. If I talk to you
tímidos sobre ellos. Si te hablo
about Goldbach, you might think I'm actually working on it. You might think I'm
sobre Goldbach, podrías pensar que estoy trabajando en ello. Podrías pensar que soy
nuts. But, because nobody really has a
tonto. Porque nadie realmente tiene
clue how to attack it, I think. But
una idea de cómo atacarlo, creo. Pero
nevertheless, people do work on it and
sin embargo, la gente trabaja en eso y
sometimes in their closets, sometimes in
a veces en sus armarios, a veces en
their attics. I'm sure lots of my friends
sus áticos. Estoy seguro de que muchos de mis amigos
would love to prove it, so secretly. I
les encantaría probarlo, secretamente.
swear I've never worked on Goldbach's Conjecture, honest to God.
Yo juro que nunca he trabajado en la conjetura de Goldbach, honesto con Dios.
22, 24, 22, 23 it's a lot
22, 24, 22, 23 es mucha
of information. And then one more thing,
información. Y luego una cosa más,
one more thing to you we can learn from
una cosa más para ti de la que podemos aprender
this, a prime number formula: the nth
esto, una fórmula de números primos: el enésimo
prime twiddles, or is approximately n
primo, o es aproximadamente n
lots of...
un montón de...
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