Definite integrals (part II) Khan Academy English Thai

Definite integrals (part II)YouTube↗ IA↗(long shot)
Education 328.9K views 664 likes 27 dislikes 19 Oct 2007

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

-

ยินดีต้อนรับกลับมาครับ

So where I left off, we said that we had this, I guess you

จากที่ผมค้างไว้, เราบอกว่าเรามีนี่, ผมว่าคุณ

could call it, equation or this function, although I didn't

เรียกมันได้ว่า, สมการหรือฟังก์ชันนี้, แม้ว่าผมไม่

write it with the function notation, where I said, the

ได้เขียนมันเป็นสัญลักษณ์ฟังก์ชัน, ตอนผมบอกว่า, ระยะ

distance is equal to 16 t squared, and I graphed it, it's

เท่ากับ 161 t กำลังสอง, แล้วผมวาดกราฟมัน, มันเหมือน

like a parabola, right, for positive time.

พาราโบลา, ใช่, สำหรับเวลาเป็นบวก

And then we said, well, the velocity, if we know the

แล้วเราบอกว่า, ทีนี้, ความเร็ว, หากเรารู็

distance, the velocity is just the change of the distance

ระยะทาง, ความเร็วก็แค่การเปลี่ยนแปลงระยะทาง

with respect to time.

เทียบกับเวลา

It's just, the velocity is always changing, you can't

มันก็แค่, ความเร็วเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ, คุณหา

just take the slope, you actually have to take

ความชันเฉย ไม่ได้, คุณเลยต้องหา

the derivative, right?

อนุพันธ์, จริงไหม?

So we took the derivative with respect to time of this

แล้วเราก็หาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ

function, or this equation, and we got 32t, and this

ฟังก์ชันนี้, หรือสมการนี้, เราได้ 32t, และนี่

is the velocity.

คือความเร็ว

And then we graphed it.

แล้วเราก็วาดกราฟมัน

And then I asked a question.

แล้วผมก็ถามคำถาม

I was like, well, we want to figure out, if we were given

ผมก็บอกว่า, เอาล่ะ, เราอยากหา, หากเรา

this, if we were given just this, and I asked you, what is

มีนี้, ถ้าเราได้นี่มา, แล้วผมถามคูณ, ว่า

the distance that this object travels after time, you

ระยะทางที่วัตถุเปลี่ยนหลังจากเวลา, คุณก็รู้

know, after 10 seconds?

หลังจาก 10 วินาทีเป็นเท่าไหร่?

Let's, you know, let's say this t0 is equal to 10 seconds.

สมมุติ, คุณก็รู้, สมมุติว่า t0 นี่เท่ากับ 10 วินาที

I want to know how far is this thing gone after 10 seconds.

ผมอยากรู้ว่าเจ้านี่ไปได้ไกลแค่ไหนหลังจาก 10 วินาที

And let's say you didn't know that you could just take the

สมมุติว่าผมไม่รู้ว่า คุณสามารถหา

antiderivative, let's say we didn't know this at all, and

แอนติเดริเวทีฟได้, สมมุติว่าเราไม่รู้นี่เลย, และ

let's say you didn't know that you could just take the

สมมุติว่าคุณไม่รู้ว่า คุณแค่ใช้แอนติ

antiderivative, because we just showed that, you know, the

เดริเวทีฟได้, เพราะเราเพิ่งแสดงไป, คุณก็รู้, ว่า

derivative of distance is velocity, so the antiderivative

อนุพันธ์ของระยะทางคือความเร็ว, และแอนติเดริเวทีฟ

of velocity is distance.

ของความเร็วคือระยะทาง

So let's say you couldn't just take the antiderivative.

สมมุติว่าคุณไม่สามารถหาแอนติเดริเวทีฟได้

What's a way that you could start to try to approximate

วิธีใดที่คุณจะสามารถใช้ประมาณ

how far you've traveled after, say, 10 seconds?

ว่าคุณเดินทางได้เท่าไหร่ใน, เช่น, 10 วินาที?

Well [? as I said, ?]

ทีนี้, อย่างที่ผมบอก

you graph this, and you say, let's assume over some

คุณวาดกราฟนี้, และคุณบอกว่า, สมมุติว่าตลอดการเปลี่ยนแปลง

change in time, velocity is roughly constant, right?

ในเวลา, ความเร็วประมาณว่าคงที่, จริงไหม?

Let's say velocity is right here.

สมมุติว่าความเร็วคือนี่ตรงนี้

So you could approximate how far you travel over that small

งั้นคุณก็สามารถประมาณว่าคุณเดินทางได้ไกลแค่ไหนตลอด

change in time by multiplying that change in time, let's say

การเปลี่ยนแปลงในเวลาเล็ก ๆ โดยการคูณการเปลี่ยนแปลงในเวลานั่น สมมุติ

that's like, you know, a millionth of a second, times

ว่าอย่างเช่น, คุณก็รู้, หนึ่งในล้านวินาที, คูณ

the velocity at roughly that time, or maybe even the average

ความเร็วโดยประมาณในช่่วงนั้น, หรือแม้กระทั่งความเร็วเฉลี่ย

velocity over that time, and you'd get the distance you've

ตลอดช่วงเวลานั้น, แล้วคุณจะได้

traveled over that very small fraction of time, right?

ระยะทางที่เดินไปตลอดช่วงเวลาเล็กจิ๋วนั้น, จริงไหม?

But if you look at it visually, that also happens to be the

แต่หากคุณดูมันเป็นภาพ, นั่นจะกลายเป็น

area of this rectangle, right?

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี่, จริงไหม?

And what we said, is if you want to know how far you travel

และที่เราบอกคือว่า หากคุณอยากรู้ว่าคุณเดินทาง

after 10 seconds, you just draw a bunch of these rectangles,

ไปได้เท่าไหร่หลังจาก 10 วินาที, คุณก็แค่วาดสี่เหลี่ยมหลาย ๆ อัน

and you sum up the area, right?

แล้วก็รวมพื้นที่มันเข้า, จริงไหม?

And you could imagine, and you don't have to imagine, it's

และคุณอาจจินตนาการ, คุณไม่ต้องจินตนาการก็ได้, มัน

actually true, the smaller the bases of these rectangles, and

เป็นจริง, ยิ่งฐานของสี่เหลี่ยมเท่าไหร่

the more of these rectangles you have, the more accurate

ยิ่งมีสี่เหลี่ยมเยอะเท่าไหร่, การประมาณคุณยิ่ง

your approximation will be, and you'll approach 2 things.

ดีขึ้นเท่านั้น, และคุณจะประมาณ 2 อย่าง

You'll approach the area under this curve, right, almost the

คุณจะประมาณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง, ใช่, เกือบเท่ากับ

exact area under this curve, and you'd also get almost the

พื้นที่จริงใต้เส้นโค้งนี้, และคุณยังเกือบได้

exact value of the distance after, say, 10 seconds

ค่าจริงของระยะทางหลังจาก 10 วินาที

in this case, right?

ในกรณนี, จริงไหม?

But 10 didn't have to be an exact number.

แต่ 10 อาจไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขเป๊ะ

It could have been a variable.

มันอาจเป็นตัวแปรก็ได้

So this is something pretty interesting.

นี่ก็เลยเป็นสิ่งที่น่าสนใจทีเดียว

All of a sudden, we see that the antiderivative

ในทันใด, เราเห็นว่าแอนติเดริเวทีฟ

is pretty darn similar to the area under the curve.

คล้ายกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งเลย

And it actually turns out that they're the same thing.

และที่จริงมันปรากฏว่า สองอย่างนี้เหมือนกัน

And this is where I'm going to teach you the

และนี่คือตอนที่ผมสอนคุณเรื่อง

indefinite integral.

อินทิกรัลไม่จำกัดเขต

So the indefinite integral, I don't know how comfortable you

และในอินทิกรัลไม่จำกัด, ผมไม่รู้ว่าคุณคุ้นแค่ไหน

are with summation, I remember the first time l learned

กับการรวม, ผมจำได้ว่าครั้งแรกที่ผมเรียน

calculus, I wasn't that comfortable with summation, but

แคลคูลัส, ผมไม่รู้สึกสบายเท่าไหร่กับการรวม,

it's really, all the indefinite integral, is is you can kind of

แต่ที่จริง, อินกรัลไม่จำกัดเขตทุกอย่าง, คือคุณสามารถ

view it as a sum, right?

มองมันเป็นผลรวมได้, จริงไหม?

So now, you'll maybe understand a little bit more why this

งั้นตอนนี้, คุณอาจจะเข้าใจมันได้อีกหน่อยว่าทำไม

symbol looks kind of like a sigma.

สัญลักษณ์นี้ถึงคล้ายกับซิกมา

That's actually how I view it.

นั่นคือวิธีที่ผมมองมันล่ะ

And please look it up so you can see properly

และลองหาดูว่าคุณสามารถหาอินทิกรัล

drawn integrals.

ที่วาดดี ๆ ได้ไหม

But in this case, the indefinite integral is just

แต่ในกรณนี้นี้, อินทิกรัลไม่จำกัดเขต ก็แค่บอกว่า

saying, well, I'm going to take the sum from t equals 0, right,

เอาล่ะ, ผมจะรวมจาก t เท่ากับ 0, ใช่,

so from t equals 0, to let's say in this example, t equals

จาก t เท่ากับ 0, งั้นสมมุติในตัวอย่างนี้, t เท่ากับ 10

10, right, because I said 10.

ใช่, เพราะผมบอกว่า 10

From t equals 0 to t equals 10.

จาก t เท่ากับ 0 ถึง t เท่ากับ 10

and I'm going to take the sum of each of the heights, the

และผมจะหาผลรวมของแต่ละความสูง

height at any given point, which is the velocity.

ความสูง ณ จุดที่กำหนด, ซึ่งก็คือความเร็ว

-

And then, what's the formula for the velocity?

แล้ว, สูตรของความเร็วคืออะไร?

It's 32t and then I'm at times the base at each

มันคือ 32t แล้วผมก็คูณฐานของ

of these rectangles, dt.

แต่ละแท่ง. dt

And so this is the definite integral.

แล้วนี่ก็คืออินทิกรัลจำกัดเขต

The definite integral is literally, and they never do

อินทิกรัลจำกัดเขต ตามชื่อมันก็คือ, เขาไม่ทำ

this in math texts, and that's what always kind of confused

นี่ในหนังสือเลข และนั่นคือสิ่งที่ทำให้ผมสับสน

me, is that you can kind of view it like a sum, like this.

คือว่าคุณอาจมองมันเป็นผลรวม, แบบนี้

-

It's kind of the sum of each of these rectangles, but it's the

นี่เหมือนกับผลรวมของสี่เหลี่ยมแต่ละแท่ง, แต่มัน

limit, as-- if these were discrete rectangles, you could

คือลิมิต เมื่อ -- หากนี่เป็นสี่เหลี่ยมแยกกัน, คุณอาจ

just do a sum, and you could make the rectangle bases

หาผลรวม, แล้วคุณทำให้ฐานของสี่เหลี่ยม

smaller and smaller, and have more and more rectangles,

เล็กลง เล็กลง แล้วมีสี่เหลี่ยมจำนวนมากขึ้น มากขึ้น

and just do a regular sum.

แล้วหาผลรวมปกติ

And actually, that's how, if you ever write a computer

ที่จริง, นั่นคือวิธี, หากคุณเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์

program to approximate an integral, or approximate the

เพื่อหาอินทิกรัล, หรือประมาณ

area under a curve, that's the way a computer program

พื้นที่ใต้เส้นโค้ง, นั่นคือวิธีที่โปรแกรมคอมพิวเตอร์

would actually do it.

หาค่าใัน

But the actual indefinite integral says, well, this is a

แต่อินทิกรัลไม่จำกัดเขตบอกว่า, ตรงนี้, นี่คือ

sum, but it's the limit as the bases of these rectangles get

ผลรวม, แต่มันเป็นลิมิตเมื่อฐานของสี่เหลี่ยมพวกนี้

smaller and smaller and smaller and smaller, and we have more

เล็กลง เล็กลง เล็กลง และเล็กลง, แล้วเรามีจำนวน

and more and more of these rectangles.

สี่เหลี่ยมมากขึ้น มากขึ้น และมากขึ้น

So as these dt's approach 0, the number of rectangles

ดังนั้นเมื่อ dt พวกนี้เข้าใกล้ 0, จำนวนสี่เหลี่ยม

actually approach infinity.

จะเข้าใกล้อนันต์

So I'm actually going to, I'll do that more rigorously later,

ดังนั้นผมจะ, ผมจะทำให้รัดกุมกว่านี้ทีหลัง

but I think it's very important to get this intuitive feel

แต่ผมว่ามันสำคัญมากที่จะได้สัญชาตญาณ

of just what an integral is.

ว่าอินทิกรัลคืออะไร

It isn't just this voodoo that happens to be there.

มันไม่ใช่วิชาหมอผีที่เป็นแบบนี้

But anyway, so going back to the problem.

แต่ช่างเถอะ, กลับมาที่โจทย์

So the integral from-- this is now a definite integral,

ดังนั้นรูปอินทิกรัล -- ตอนนี้เป็นอินทิกรัลจำกัดเขต

extending from t equals 0 to t equals 10.

ขยายจาก t เท่ากับ 0 ถึง t เท่ากับ 10

This tells us 2 things.

นี่บอกเรา 2 อย่าง

This tells us the area of the curve from t equals zero to t

นี่บอกเราถึงพื้นที่่ของเส้นโค้งจาก t เท่ากับศูนย์ ถึง t

equals 10, right, it tells us this whole area, and it also

เท่ากับ 10, ใช่, มันบอกพื้นที่ทั้งหมดกับเรา, และมัน

tells us how far the object has gone after 10 seconds.

ยังบอกเราว่าวัตถุไปไกลแค่ไหนหลังจาก 10 วินาที

จริงไหม?

So it's very interesting.

นี่มันเลยน่าสนใจมาก

The indefinite integral tells us 2 things.

อินทิกรัลไม่จำกัดเขตบอกคุณ 2 อย่าง

It tells us area, and it also tells us the antiderivative.

มันบอกพื้นที่, และมันยังบอกเราถึงแอนติเดริเวทีฟด้วย

จริงไหม?

We're already familiar with it as an antiderivative.

เราได้คุ้นเคยว่ามันคือแอนติเดริเวทีฟแล้ว

So let me give you another example.

ขอผมยกตัวอย่างให้คุณอีกอัน

Actually, maybe I'll stick with this example, but

ที่จริง, บางทีผมจะใช้ตัวอย่างนี้ต่อ, แต่

I'll clear it a bit.

ผมจะลบมันหน่อย

Actually, maybe I should erase.

ที่จริง, ผมควรลบมันนะ

Erasing might be a good option with this one,

การลบอาจเป็นวิธีที่ดีสำหรับอันนี้

since it's fairly messy.

เพราะมันเลอะมากแล้ว

I think you know all this stuff now.

ผมว่าคุณคงรู้ของพวกนี้ทั้งหมดแล้ว

I just need space.

ผมแค่ต้องการที่ว่าง

-

Maybe, OK, so we have that indefinite integral.

บางที, โอเค, เรามีอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

And we could actually figure it out, too.

และเราหามันได้แล้วด้วย

I mean, well, after t seconds, [UNINTELLIGIBLE].

ผมหมายถึง, หลังจาก t วินาที

So and the way you evaluate an indefinite integral, and let me

แล้ววิธีที่คุณหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต, ขอผม

show you that first, is that you figure out the integral.

แสดงให้ดูก่นอว่าอย่างแรก คือคุณหาอินทิกรัลนี่

So let me just say, let me continue with the

งั้นขอผมบอกว่า, ขอผมทำ

problem, actually.

โจทย์นี้ต่อดีกว่า

As you can tell, I don't plan much for these presentations.

อย่างที่คุณบอกได้, ผมไม่ได้เตรียมการนำเสนอนี้ดีนัก

So the way you figure out the indefinite integral, is you

วิธีที่คุณหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต, คือคุณ

say, and sometimes they won't write t equals 0 to t equals t.

บอกว่า, บางครั้งเขาจะไม่เขียน t เท่ากับ 0 ถึง t เท่ากับ t,

They'll just say from 0 to 10 of 32t dt.

เขาจะบอกว่า จาก 0 ถึง 10 ของ 32t dt

จริงไหม?

And the way you evaluate this, is you figure out the

และวิธีที่คุณหาค่านี่คือ, คุณหา

antiderivative, and you really don't have to do the plus c

แอนติเดริเวทีฟ, แล้วคุณไม่จำเป็นต้องใส่บวก c

here, so the antiderivative, we know, is 16t squared, right?

ตรงนี้, งั้นแอนติเดริเวทีฟ, เรารู้ว่า, เท่ากับ 16t กำลังสอง, จริงไหม?

It's one half t squared times 32.

มันคือ ครึ่งหนึ่งคูณ t กำลังสอง คูณ 32

So that's 16t squared.

นั่นก็คือ 16 t กำลังสอง

-

And we evaluate this at ten, and we evaluate it at 0, and

และเราหาค่ามันที่สิบนี่, แล้วเราหาค่ามันที่ 0, แล้ว

then we subtract the difference.

เราลบหาผลต่าง

So we evaluate this at 10, so 16 times 100, right?

งั้นเราแทนค่านี่ที่ 10, ได้ 16 คูณ 100, จริงไหม?

That's evaluated at 10, and then we subtract

นั่นแทนค่าที่ 10, แล้วเราก็ลบมัน

it, evaluate at 0.

แทนค่าที่ 0

So 16 times 0 is 0.

งั้น 16 คูณ 0 ได้ 0

So after 10 seconds, we would have gone 1600 feet.

ดังนั้นหลังจาก 10 วินาที, เราไปได้ 1600 ฟุต

And also, the area under this curve is 1600.

แล้วพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้ก็คือ 1600 ด้วย

So let's use this to do a couple more examples.

ลองใช้นี่ทำตัวอย่างอื่นอีกกัน

And actually, I want to show you why we do this subtraction.

ที่จริง, ผมอยากแสดงให้คุณเห็นว่าทำไมนี่คือการลบ

Actually, I'm going to do that right now.

ที่จริง, ผมจะทำมันตอนนี้แหละ

Let me clear it.

ขอผมลบมันนะ

-

Oh, that's ugly.

โอ้, นั่นน่าเกลียดมาก

-

I'll now do it more general, actually.

ผมจะทำมันให้ทั่วไปกว่านี้

-

Let me draw this twice, once for the distance, and

ขอผมวาดนี่สองครั้ง, ครั้งนึงสำหรับระยะทาง, อีกครั้ง

once for its derivative.

สำหรับอนุพันธ์ของมัน

-

So let's say that the distance, yeah, well, let's just say it

งั้นสมมุติว่าระยะทาง, ใช่, ทีนี้, สมมุติว่ามัน

looks something like this.

มีหน้าตาแบบนี้

Let's say you start at some distance, and then it

สมมุติว่าคุณเริ่มที่ระยะทางนึง, แล้ว

goes off like that.

มันไปแบบนั้น

จริงไหม?

So let's say we call this distance b.

งั้นสมมุติว่าเรามีระยะ b นี่

Well, let's just call this, you know, I don't know, 5.

ทีนี้, ลองเรียกนี่,คุณก็รู้, ผมไม่รู้เหมือนกัน, 5

จริงไหม?

We start at 5 feet, and then we moved forward from there.

เราเริ่มที่ 5 ฟุต, แล้วเราเคลื่อนไปข้างหน้าจากตรงนี้

And this axis is of course time, this axis, maybe I

แล้วแกนนี่แน่นอน คือ เวลา, แกนนี้, บางทีผมไม่ควร

shouldn't do 5, because it looks so much like s.

ใช้ 5, เพราะมันดูเหมือน s มาก

That's 5, 5 feet.

นั่นคือ 5, 5 ฟุต

And this is the s, or distance, axis.

และนี่คือแกน s, หรือระยะทาง

And actually, I just looked at the clock.

ที่จริง, ผมเพิ่งดูนาฬิกา

I'm running out of time.

ผมหมดเวลาแล้ว

So let me continue this in the next presentation.

งั้นขอผมทำต่อในการนำเสนอครั้งหน้านะ

-

Similar videos:

Introduction to definite integrals
Khan Academy
574K views 1.2K likes 68 dislikes 19 Oct 200750% match

Definite Integrals (area under a curve) (part III)
Khan Academy
312.8K views 707 likes 34 dislikes 19 Oct 200748% match

Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200841% match

Why distance is area under velocity-time line | Physics | Khan Academy
Khan Academy
614.5K views 1.4K likes 45 dislikes 13 Jun 201139% match

Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201139% match

Calculating average velocity or speed | One-dimensional motion | Physics | Khan Academy
Khan Academy
2.6M views 7.7K likes 431 dislikes 11 Jun 201138% match

Solid of Revolution (part 3)
Khan Academy
242.9K views 713 likes 22 dislikes 25 Apr 200838% match

Simple Differential Equations
Khan Academy
412.4K views 891 likes 48 dislikes 16 Jun 200837% match

Statistics: Standard deviation | Descriptive statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
2.1M views 6.3K likes 353 dislikes 25 Jan 200937% match

Integrating factors 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
769.7K views 1.9K likes 128 dislikes 31 Aug 200837% match

Polar coordinates 1 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
804.1K views 2.2K likes 86 dislikes 02 Feb 200937% match

Solid of Revolution (part 5)
Khan Academy
250.9K views 522 likes 19 dislikes 27 Apr 200837% match

First order homogenous equations | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
918K views 2.2K likes 151 dislikes 31 Aug 200835% match

Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201035% match

Probability (part 3)
Khan Academy
368.8K views 844 likes 22 dislikes 03 May 200835% match

Double integral 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
857.3K views 3.8K likes 123 dislikes 13 Aug 200834% match

Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200634% match

Idea behind inverting a 2x2 matrix | Matrices | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 4.2K likes 136 dislikes 08 Jun 200834% match

How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201033% match

Matrix multiplication (part 1)
Khan Academy
1.3M views 5.7K likes 204 dislikes 07 Jun 200833% match

Solving a quadratic by factoring | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
487.5K views 1K likes 60 dislikes 19 Nov 200633% match

Specular and diffuse reflection | Geometric optics | Physics | Khan Academy
Khan Academy
336.5K views 937 likes 46 dislikes 08 Dec 201033% match

Integrating factors 2 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
335.7K views 741 likes 31 dislikes 31 Aug 200832% match

Hypothesis testing and p-values | Inferential statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
2.7M views 10.2K likes 602 dislikes 02 Nov 201032% match

Sample variance | Descriptive statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
350.6K views 432 likes 19 dislikes 20 Nov 201232% match

Probability with playing cards and Venn diagrams | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
987.7K views 2.6K likes 85 dislikes 03 Aug 201132% match

Solid of Revolution (part 1)
Khan Academy
580.9K views 2.3K likes 104 dislikes 25 Apr 200832% match

Polynomial approximation of functions (part 1)
Khan Academy
279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 200832% match

Triple integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
257.6K views 502 likes 9 dislikes 24 Aug 200832% match

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200831% match

Settings Privacy About Contact Donate