Periodic Definite Integral Khan Academy English (auto-generated) Polish

Periodic Definite IntegralYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 221K views 220 likes 7 dislikes 28 Dec 2010

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

for any real number X let brackets around X denote the largest integer less than or equal to X often known as the

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą, bądź równą x.

greatest integer function let F be a

Często mówi się o tym jako o części całkowitej.

real valued function defined on the interval negative 10 to 10 including the

Niech f będzie funkcją z odcinka [-10,10] w liczby rzeczywiste

boundaries by f of X is equal to X - the greatest integer of X if the greatest integer of X is odd and 1 plus the

i f(x)=x-[x] jeżeli [x] jest nieparzysta

greatest integer of X - X if the greatest integer of X is even then the

i 1+[x]-x jeżeli [x] jest parzysta.

value of pi squared over 10 times the definite integral from negative 10 to 10 of f of X cosine PI of X DX is so before

wtedy pi kwadrat przez 10 razy całka od -10 do 10 z f(x) cos(pi*x) równa się ...?

we even try to attempt to evaluate this integral let's see if we can at least

Zanim zaczniemy liczyć tę całkę, spróbujmy sobie wyobrazić

visualize this function f of X right over here so let's do our best to

jak wygląda funkcja f(x).

visualize it so let me draw my x-axis and let me draw my y-axis so let me draw my y-axis and then let's think about

Narysuję oś x i oś y.

this what this function will look like

I zastanowię się jak ta funkcja wygląda.

so this is X is equal to 0 this is X is equal to 0 this is X is equal to 1 X is

Tu jest x=0, x=1,x=2,

equal to 2 X is equal to 3 we could go down to negative 1 negative 2 we could just keep going if we like hopefully

x=3, ...moglibyśmy iść w dół od -1, -3 i tak dalej.

we'll see some type of pattern because it seems to change from odd to even so

Mam nadzieję, że widzicie pewną zależność, że liczby zmieniają się z parzystych na nieparzyste.

between 0 & 1 what is the absolute sorry what is the greatest integer of X so

Więc pomiędzy 0 a 1 jaka jest część całkowita x?

between 0 & 1 so let me just write it over here so between 0 & 1

Więc pomiędzy 0 a 1

until you get to 1 so maybe I should do this from including 0 until 1 the greatest integer of X the greatest integer of X is equal to 0 if I'm at

zanim dojdziemy do 1, więc może powinienem napisać z 0 do 1 (odcinek[0,1) ), część całkowita x jest równa 0.

point 5 the greatest integer below point 5 is 0 as I go from 1 to 2 as I go from 1 to 2 the greatest it this brackets around X is equal to 1 it's the greatest

Jeżeli jest w 0,5 to część całkowita z 0,5 ([0,5]) jest równa 0. Gdy idę z 1 do 2, część całkowita, [x] = 1.

inter from it 1.5 the greatest integer is 1 if I'm at 1.9 the greatest integer is 1 and then if I go to above from between 2 & 3 so if I go between 2 & 3

część całkowita z 1,5 jest równa 1, tak samo jak w 1,9. Idąc z 2 do 3

see then the greatest integer is going to be 2 if I'm at 2.5 grades ginger is going to be 2 so with that let's try to

część całkowita jest równa 2. Jeżeli jestem w 2,5 to część całkowita jest równa 2.

at least draw this function over these

Wiedząc to spróbujmy narysować funkcję na tych przedziałach.

intervals so between 0 and 1 the greatest integer is 0 0 we can consider to be even 0 is even especially for

Pomiędzy 0 a 1 część całkowita jest równa 0. 0 uważamy za parzyste.

alternating 1 is odd 2 is even 3 is odd

-1 jest nieparzyste, 2 jest parzyste, 3 jest nieparzyste.

so 0 is even so we would look at this circumstance right over here if X is

Więc 0 jest parzyste, czyli [x] jest parzyste.

even and then over this prime frame or over this part of the x axis the greatest integer of X is just 0 so the

Na tym odcinku osi x, część całkowita jest równa.

equation in or the line or the function is just going to be 1 minus x over this interval because the greatest integer is

Czy funkcja ma wartość 1-x na tym przedziale, bo [x]=0.

0 so 1 minus X will look like this if this is 1 1 minus X just goes down like that that's what it looks like from 0 to 1

1-x wygląda tak. Czyli tak to wygląda

now let's think about what happens as we go from 1 to 2 as we go from 1 to 2 or

pomiędzy 0 a 1. Jak wygląda f(x) na przedziale od 1 do 2.

not including 2 but including 1 all the way up to 2 not including it the

Na tym przedziale ( [1,2) )

greatest integer is 1 or the greatest integer the greatest integer is odd so we use this case and over here we're

część całkowita jest równa 1., czyli [x] jest nieparzyste.

going to have X minus the greatest integer of X over this interval the

Czyli funkcja ma wartość x-[x].

greatest integer of X is 1 so it's going to be the graph of x minus 1 so X minus

Na tym przedziale [x]=1, czyli mamy wykres funkcji x-1.

1 at 1 is going to be 0 and at 2 it's going to be 1 again so it's going to be

x-1 w 1 jest równe 0, a w 2 jest równe 1.

this it's going to look just like that so this right here is X minus 1 and then this over here essentially was 1 minus X

Czyli to będzie wyglądało tak. To tuaj to x-1, a to w tym miejscu

and we could keep doing it as we go from 2 to 3 the greatest integer of X is 2 we would look at this case so we're going to have 1 plus 2 so we're going to have

to 1-x. I możemy to kontynuować. Gdy idziemy z 2 do 3, [x]=2, czyli mamy ten przypadek. Będziemy mieli 1+2, czyli 3.

3 we're going to have 3 here minus X so when we start over here when X is 2 or a little bit above that we're gonna have 3

Będziemy mieli 3 minus x. Więc gdy zaczniemy tutaj, gdy x=2, albo odrobinę więcej,

minus 2 we're going to go to 1 it's going to be right at 1 and then as X is

będziemy mieli 3-2, czyli 1.

equal to 3 3 minus 3 is 0 it's going to oscillate back down like this so I think

A potem w x=3, mamy 3 - 3 =0. Czyli będzie to wyglądało w następujący sposób.

we have an appreciation for what this graph is going to look like if keep it's

Czyli mamy już przeczucie jak będzie wyglądał wykres tej funkcji.

going to keep going up and down like this with the slope of negative 1 then

Będzie raz rósł, a potem malał, w taki sposób z nachyleniem wykresu -1 lub 1.

pause one the negative one and positive one it's just going to keep doing that over and over again you can keep trying it

potem znowu tak samo i tak dalej.

out with other intervals but it's pretty clear that this is the pattern now what

Można zrobić tę samą operację na pozostałych przedziałach, ale myślę, że ta zależność jest w miarę jasna.

is what we want to do is evaluate the integral from 10 to negative 10 of this function times cosine of PI of X so

Teraz chcemy obliczyć całkę od -10 do 10 z tej funkcji razy cos(pi*x).

let's think about cosine of PI of X and things and think about whether that also is periodic and of course it is and then

Zastanówmy się czy cos(pi*x) jest funkcją okresową? Oczywiście jest.

if we can simplify this integral so we don't have to evaluate it over over this

Możliwe, że będziemy mogli uprościć tę całkę, tak, że nie będziemy jej liczyć po całym

entire period over here maybe we can simplify it into a simpler integral so

przedziale. Może będziemy ją mogli uprościć do prostszej całki.

cosine of PI X cosine of 0 is 0 cosine sorry cosine of 0 is 1 I want to get that wrong because that's just cosine PI

Czyli cos(pi*x), cos(0)=1.

0 is cosine of 0 so that's 1 cosine of PI is negative 1 so when X is equal to 1 this becomes cosine of pi so then the

To jest cos(pi0)=cos(0), czyli 1. Cos(pi)=-1, więc dla x=1, cos(pix)=cos(pi)=-1, czyli

value of the function is negative 1 it'll be over here and then cosine of 2 pi 2 times pi is then 1 again so it'll

wartość funkcji jest -1. Potem mamy cos(pi*2)=1 (wartość funkcji w x=2).

look like this let me this of course will be this is at 1/2 when you put it

Czyli to będzie wyglądać tak. Tzn. tu będzie oczywiście 1/2, jeżeli wstawimy ją tu

over here become PI over 2 cosine of PI over 2 is 0 0 so it'll look like this it will look let me draw it as neatly as possible so it will look like this

otrzymamy pi/2, cos(pi/2)=0.Czyli będzie to wyglądać tak. Narysuję to tak dokładnie jak to tylko możliwe.

cosine and then it'll keep doing that and then we'll go like this so it is

Czyli będzie wyglądać tak. I będzie się to powtarzało, i potem będzie wyglądało tak.

also periodic so if we wanted to figure out if we wanted to figure out the the

Czyli również jest okresowa. Czyli jeżeli chcemy obliczyć

integral of the product of these two periodic functions from all the way from negative 10 to 10 can we simplify that

całkę iloczynu dwóch funkcji okresowych na odcinku od -10 do 10, możemy to uprościć.

and it looks like it would just be because we have this interval let's look at this interval over here let's look

Spójrzmy na ten odcinek.

let's look at just from 0 to 1 so just from 0 to 1 we're going to take this function and take the product of this

Spójrzmy tylko na odcinek od 0 do 1. Weźmiemy tę funkcję, a następnie

cosine x essentially 1 minus X and then find the area under that curve whatever it might be then when we go from 1 to 2 when we take the product of this and X

weźmiemy iloczyn tego cosinusa przez (1-x), następnie znajdziemy powierzchnię pod tą krzywa, jakakolwiek by ona nie była. Gdy idziemy od 1 do 2, bierzemy iloczyn tego i (x-1) i to będzie dokładnie takie

minus 1 it's actually going to be the

same area because these two going from zero to one going from zero to one and going from one to two it's

samo pole. Ponieważ na tych dwóch odcinkach, gdy idziemy od 0 do 1 i od 1 do 2, to jest to całkowicie

completely symmetric you could flip it over you could flip it over this line of symmetry and both functions are

symetryczne. Moglibyśmy to odbić względem tej osi symetrii

completely are completely symmetric so you're going to have the same area when you take their product so what we see is

I obie funkcje są całkowicie symetryczne czyli będziemy mieli to samo pole pod krzywą ich iloczynu.

every interval over every interval when you go from two to three it's going to

Widzimy więc, że na każdym odcinku, gdy idziemy od 2 do 3, to będzie...

be first of all it's clearly going the integral from two to three is clearly

Po pierwsze, jest jasne, że całka od 2 do 3 będzie taka sama jak całka

the same thing as the integral from zero to one both functions look identical over that integral over that interval

od 0 do 1, obie funkcje wyglądają identycznie, na tych przedziałach.

but it'll also be the same as going from one to two because it's completely symmetric when you when you take the

Ale będzie również taka sama jak całka od 1 do 2, z powodu tej symetryczności.

products of the function that function will be completely symmetric around this

Jeżeli weźmiemy iloczyn tych funkcji, będzie symetryczny względem tej osi. Czyli całka

axis so the integral from here to here will be the same as the integral from there to there so with that said we can

stąd dotąd, będzie taka sama jak stąd dotąd. Czyli powiedziawszy to, możemy przekształcić

rewrite this thing over here so what we want to evaluate PI squared over ten times the integral from negative 10 to 10 of f of X cosine cosine of PI X using

to wyrażenie. Chcemy obliczyć pi do kwadratu przez 10 razy całka od -10 do 10 z f(x) razy cos(pi*x), posługując się tą samą logiką, co przed chwilą, to będzie równe

the logic we just talked about this is going to be the same thing as being

equal to PI squared over 10 PI squared over 10 times the integral well times the integral of from 0 to 1 but 20 times

pi do kwadratu przez 10 razy całka od 0 do 1, pomnożona przez

that because we have 20 integers between negative 10 and 10 we have 20 intervals of length 1 so times 20 times the

20. Dzieje się tak, ponieważ mamy 20 liczb całkowitych pomiędzy -10, a 10. Czyli mamy 20 odcinków długości 1.

integral times the integral from 0 to 1 of f of X of f of X cosine of PI X DX

Czyli 20 razy całka od 0 do 1 z f(x) razy z f(x) razy cos(pi*x). Zapomniałem

forgot to write forgot to write the DX over there and I want to make sure you understand it because this is really the

napisać dx tutaj. Chcę sie upewnić, że to rozumiecie, ponieważ

hard part of the problem just realizing that the integral over this interval is

to jest najtrudniejsza część tego zadania- spostrzeżenie, że całka na tym przedziale to 1/20

just one twentieth of the whole thing because over every interval from zero to one it's going to be this the integral

całego wyrażenie, które mamy obliczyć. Ponieważ wartość całki na odcinku od 0 do 1

is going to evaluate to the same thing as going from one to two which will be the same thing as going from two to three we're going from negative 2 to

będzie taka sama jak od 1 do 2 i taka sama jak całka od 2 do 3,

negative one so instead of doing the whole interval from negative 10 to 10

albo od -2 do -1. Więc zamiast obliczać całkę od - 10 do 10

we're just doing 20 times the interval from zero to 1 from negative 10 to 10 you actually have 20 you're there's a difference of 20 here so we're

po prostu pomnożymy 20 razy całkę od 0 do 1. Pomiędzy -10, a 10 jest różnica

multiplying by 20 and this simplifies it a good bit first of all this part over

20, dlatego mnożymy przez 20 (mamy 20 odcinków).I to się nam bardzo upraszcza.Po pierwsze,

here simplifies to 20 divided by 10 is 2 so it's 2 pi squared so becomes 2 pi squared that's just this

tutaj mamy 20 przez 10 równa się 2. Mamy więc 2 pi do kwadratu, to jest ta część,

part over here times the integral from 0 to 1 now from 0 to 1 what is f of X well we just figure it out from 0 to 1 f of X

razy całka od 0 do 1. Jak wygląda f(x) na odcinku od 0 do 1? Przed chwilą to ustaliliśmy.

is just 1 minus X f of X is just 1 minus X from 0 to 1 times cosine of PI X cosine of PI X DX and now we just have

Od 0 do 1 f(x) to po prostu (1-x), od 0 do 1 razy cos(pi*x) dx. Musimy teraz

to evaluate this integral right over here so let's do that so 1 minus x times

obliczyć tę całkę. Zróbmy to. Czyli (1-x) razy cos(pi*x) równa się

cosine of PI X is the same thing as cosine of PI X minus X cosine of PI X now this right here taking the antiderivative take the we're going to

cos(pix)-xcos(pix).

take the well let's just focus on taking the antiderivative this is pretty easy

Zajmiemy się najpierw tą częścią, ponieważ

but let's try to do this one because it seems a little bit more complicated so let's take the antiderivative of X

jest ona bardziej skomplikowana. Znajdźmy funkcje pierwotną

cosine of PI X DX and what should jump in your mind is well you know this isn't

x cos(pi*x), i myślicie sobie, że to nie jest takie proste, ale jeżeli

that simple but if I were able to take the derivative of X that would simplify it's very easy to take the

moglibyśmy wziąć pochodną x, to bardzo by się nam uprościło, i byłoby łatwo znaleźć funkcje pierwotną

antiderivative cosine of PI X without making it more complicated so maybe integration by parts and

cos(pi*x). Zróbmy więc całkowanie przez części. Pamiętacie, że całkowanie przez części,

remember integration by parts tells us that the integral I'll write it up here the integral of U DV is equal to UV minus the integral of V D U and we'll

zapiszę to tutaj, całka z u dv równa się uv minus całka z v du.

apply that here but there's I've done many many videos where I prove this and

I zastosujemy to tutaj. Zrobiłem kilka filmików, gdzie to udowodniłem i pokazałem kilka przykładów.

show examples of exactly what that means but let's apply it right over here and in general we're going to take the

Zastosujmy to tutaj. Będziemy brali pochodną u,

derivative of whatever the u thing is so we want you to be something that's simpler when I take the derivative and

czymkolwiek to u jest. Chcemy więc, aby u było czymś, co staje się prostsze po wzięciu pochodnej.

then we're going to take the antiderivative of DV so we want something that does not become more

Weźmiemy potem funkcje pierwotną dv, więc chcemy, aby v było czymś,

complicated when I take the antiderivative so the thing that becomes simpler when I take its derivative is X

co nie staje się bardziej skomplikowane po wzięciu funkcji pierwotnej. x staje się prostsze po wzięciu pochodnej,

so if I set u is equal to X then clearly D U is equal to just DX or you say D u DX is equal to 1 or so D U is equal to DX and then DV then DV is going to be

czyli u=x, wtedy du=dx, zatem dv będzie pozostałą częścią

the rest of this this whole thing over here is going to be is going to be DV DV is equal to is equal to cosine PI X DX and so V would just be the

naszego wyrażenia. To wszystko to będzie dv. dv równa się cos(pi*x) dx, czyli v będzie funkcja pierwotną tego, względem x, zatem v będzie równe.

antiderivative of this with respect to X V is going to be equal to 1 over PI 1 over PI sine of PI X right if I took the derivative here derivative of the inside

1 przez pi razy sin (pi*x). ZZgadzacie się? Jeżeli wezmę pochodną tego, pochodna funkcji wewnętrznej

you get 2 pi times 1 over PI cancels out derivative of sine of PI X becomes cosine of PI X so that's our U that's

dostajemy pi razy 1/pi skracają się, a pochodna funkcji zewnętrznej staje się cos(pi*x). Czyli to jest nasze v.

our V so this is going to be equal to this is going to be equal to u times V so it's equal to X this x times this so

Czyli to będzie równe u razy v, czyli równe x

x over PI sine of pi X - minus the integral minus the integral of V which is 1 over PI sine of PI X D u D U is just DX D X and this is pretty

razy to, czyli x przez pi razy sin(pi*x) minus całka z v, czyli całka z 1/pi razy sin(pix) du. A du to po prostu dx. To jest całkiem proste. Funkcja pierwotna sin(pix) to

straightforward the antiderivative of

sine of PI X is 1 over PI or negative 1 over PI cosine of PI X and you could take the derivative if you don't believe

minus 1/pi razy cos(pi*x). Możecie sobie obliczyc pochodną, jeżeli mi nie wierzycie.

me you could do u substitution but hopefully you can start to do these in

Możecie zrobić podstawienie, ale mam nadzieję, że zaczynacie już robić takie rzeczy w pamięci. Zwłaszcza jeżeli

your head especially if it going to take the ìit joint entrance exam so this whole expression is going to be this

zamierzacie przystąpić do egzaminów wstępnych IIT. Czyli całe to wyrażenie będzie równe ta część tutaj

part over here is going to be x x over pi sine of PI X and then this over here is going to be well you have the

będzie równa x przez pi razy sin(pi*x), a to tutaj będzie równe

antiderivative sine of PI X is 1 over negative 1 over PI cosine of PI X the negatives cancel out so you have plus and then you the 1 over pi times 1 over

minus 1/pi razy 1/pi cos(pi*x). Minusy się skracają, czyli mamy plus, a 1/pi razy 1/pi

PI 1 over PI squared cosine of PI X that's the antiderivative right then you can verify derivative of cosine of PI X

daje nam 1/pi do kwadratu cos(pix). To jest funkcja pierwotna tego. Możecie sobie sprawdzić. Pochodna cos(pix)

is going to be negative pi sine of X 1 pi will cancel out here you get a

będzie równa minus pi sin(pi*x), jedno pi się skróci, dostajemy minus

negative sign then you have a sine of PI X so this is the antiderivative of that and so if we want the antiderivative of

i mamy sin(pi*x). Jeżeli chcemy funkcję pierwotną

this whole thing right over here this is this is what we care about from 0 to 1 DX the antiderivative

tego całego wyrażenia w granicach od 0 do 1.

of cosine PI X pretty straightforward we've actually already done it right over here it is 1 over PI 1 over PI sine

Funkcja pierwotna cos(pi*x) jest prosta, i już ją obliczyliśmy. Jest równa 1/pi razy

of PI X that's this first term and the antiderivative of X cosine PI X is this

sin(pix), to jest pierwszy składnik i funkcja pierwotna z xcos(pix) jest tuaj

thing over here but we're subtracting it so we'll put a negative sign out front so minus X over PI sine of PI X minus 1 over PI squared cosine of cosine of PI X

ale ją odejmujemy, więc wstawiam minus przed wszystko. Czyli minus x/pi sin(pi*x) minus 1/pi do kwadratu razy cosinus (pi*x). Znaleźliśmy funkcję pierwotną, ale mieliśmy obliczyć całkę oznaczoną.

and of course we took the antiderivative but it's a definite integral we need to

evaluate it from 0 to 1 0 to 1 and we don't want to figure it forget that 2 pi

Musimy zatem znaleźć wartość tego w 0 i 1. Nie możemy zapomnieć, że przed tym wszystkim stoi 2 pi do kwadratu.

squared out front that 2 pi squared out front so let's evaluate this so the first thing we're going to have 1 over

Przed wszystkim jest 2 pi do kwadratu. Znajdźmy więc te wartości. Najpierw mamy:

PI sine of 1 pi sine of 1 pi is 0 so you've 0 minus 1 over pi times sine of 1 pi again that's again 0 minus 1 over PI

1/pi sin(1*pi), sin(pi)=0, czyli to jest 0. 1/pi razy sin(1/pi) i to znowu jest 0! minus 1/pi do kwadratu

squared cosine of PI cosine or cosine of 1 PI cosine of PI is negative 1 negative 1 times negative 1 over PI squared is

cos(pi), cos(pi)=-1, czyli (-1) razy minus 1/pi do kwadratu plus 1/pi do kwadratu.

plus 1 over PI squared so we've evaluated it at 1 and from that we want to subtract it evaluated at 0 sine of 0

Czyli znaleźliśmy wartość w 1. Teraz od tego odejmujemy wartość w 0. sin(0)=0,

is 0 minus this is clearly zero because you have a 0 out front minus 0 and then you have minus cosine of 0 cosine of 0 is 1 so then you have a minus 1 over PI

minus, to oczywiście będzie 0, ponieważ mnożymy przez 0 na początku, potem mamy minus cos(0), cos(0)=1, czyli mamy -1 przez pi do kwadratu, 1 przez pi do kwadratu, czyli te czynniki się skracają. Możemy

squared 1 over PI squared and so this term we could just say this is a

negative these don't matter negative positive positive and we're just left

powiedzieć, że ten składnik jest ujemny, ten nie ma znaczenia, ujemny, dodatni i dodatni, i zostaje nam po prostu

with a 1 over PI squared plus 1 over PI squared which is equal to which is equal to 2 over PI squared that's what this

1 przez pi do kwadratu plus 1 przez pi do kwadratu to się równa 2 przez pi do kwadratu.

part evaluates to it's 2 over PI squared but we can't forget we can't forget that

Czyli to ma wartość 2 przez pi do kwadratu. Nie możemy zapomnieć, że mnożymy to jeszcze przez

we're going to multiply this whole thing times 2 pi squared so we're going to multiply the whole thing times 2 pi

2 razy pi do kwadratu. Czyli pomnożymy to przez 2 pi do kwadratu.

squared that's this thing out front here and so the PI squared cancels out the PI

To jest tu na początku. Czyli pi do kwadratu się skraca, i zostaje nam

squared we're left with two times two which is equal to four and we're done this thing that looked pretty complicated just evaluates out to four

2 razy 2 czyli 4. Skończyliśmy. To całkiem skomplikowane wyrażenie ma po prostu wartość 4.