Definite Integrals (part 5)YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  173.1K views 374 likes 12 dislikes   22 Oct 2007
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
-
.
ยินดีต้อนรับกลับมาครับ
Bem vindos de volta.
ตอนที่ผมทิ้งไว้ครั้งที่แล้ว คือ เราพยายามหาพื้นที่
Quando eu os deixei, nós estávamos a tentar descobrir
ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นนี้, และเราหาแล้วว่ามัน
a área entre estas duas curvas, e descobrimos que ela é
ก็คือพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง ระหว่างจุด
na realidade a área entre as curvas entre o ponto 0,
x เท่ากับ 0 กับ x เท่ากับ 1
x igual a 0 e x igual a 1...
และผมเสนอวิธีหามัน
E eu estava sugerindo uma forma de resolver isso.
ลองหาพื้นที่ทั้งหมดใต้สแควร์รูทของ
Vamos calcular toda a área abaixo da raiz quadrada de x
x จาก 0 ถึง 1, และเราสามารถลบจากนั่น, พื้นที่
de 0 até 1, e vamos subtrair disso, esta
สีม่วงนี่, ซึ่งก็คือพื้นที่ใต้ x กำลังสอง
área púrpura, que é a área embaixo de x ao quadrado.
งั้นจากตัวอย่างสุดท้ายที่เราทำ, เราสามารถ
Então baseados no último exemplo que fizemos, podemos simplesmente
เขียนอินทิกรัลไม่จำกัดเขต, และผมจะไม่เขียน
escrever a integral primitiva [indefinida], e eu não vou escrever de novo
ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสใหม่, เพราะผมว่า
o teorema fundamental do Cálculo, porquê eu
คุณคงรู้แล้ว ถึงตอนนี้
acho que neste momento vocês já o conhecem.
ขอผมใช้สีแจ่ม ๆ หน่อย
Vou fazê-lo numa cor viva...
สีบานเย็นดีกว่า
Magenta.
ทีนี้ผมอยากรู้พื้นที่อันใหญ่กว่า, ใช่
Então eu quero conhecer a área maior, certo...
พื้นที่ใต้สแควร์รูทของ x
Toda a área embaixo da raiz quadrada de x.
มันเหมือนกับพื้นที่รวม
Que é como que a área combinada.
นั่นมันก็แค่จาก 0 ถึง 1, อินทิกรัลของสแควร์รูทของ
Então isso será a integral de 0 a 1 da raiz quadrada de x,
x, เพราะสแควร์รูทของ x คือฟังก์ชันสีเขียว, dx
porquê a raiz quadrada de x é a função verde, dx.
และผมอยากลบจากนั่น พื้นที่จาก 0 ถึง 1
E quero subtrair dessa a área de 0 até 1
ที่อยู่ใต้ x กำลังสอง
que se encontra abaixo de x ao quadrado.
x กำลังสอง dx
x ao quadrado dx.
และผมอยากตั้งข้อสังเกตหน่อย
E eu queria só afirmar que
นี่อาจสามารถเขียนใหม่แบบนี้ได้
isto poderia ter sido reescrito da forma seguinte.
คุณก็สามารถเขียนฟังก์ชันใหม่นี้, ซึ่งก็คือ
Poderíamos escrever só uma nova função, que é
ผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองอันนี้, และมัน
a diferença entre essas duas funções, e isso
ควรเทียบเท่ากัน
iria ser equivalente.
คุณอาจบอกแบบนี้ได้
Poderíamos ter dito isto.
นี่ไม่ใช่ขั้นตอนในโจทย์, แต่คุณสามารถ
Isto não é bem um passo do problema, mas podíamos
ทำมันแบบนี้ได้
ter feito desta forma.
ที่จริง, บางคนเริ่มทำแบบนี้
De fato alguma pessoas começam dessa maneira.
เห็นไหม พวกนี้ก็เหมือนกับอินทิกรัลจาก 0 ถึง 1
Vejam que isto é a mesma coisa que o integral de 0 até 1
ของสแควร์รูทของ x ลบ x กำลังสอง dx
de raiz quadrada de x menos x ao quadrado dx.
ดังนั้นคุณสามารถทำโจทย์แยกกันสองอันนี้, อินทิกรัล
Logo vocês podiam fazer estes dois problemas separados, estas duas
จำกัดเขตสองอันแยกกัน, หรือคุณอาจทำเป็น
integrais primitivas separadas, ou vocês podiam fazê-lo como apenas
อินทิกรัลเดียวก็ได้
uma primitiva.
ที่จริง นั่นอาจง่ายกว่า เพราะตอนคุณ
De fato isso seria até mais simples porquê quando você
แทนค่ามันจาก 1 ถึง 0 มันอาจลดรูปลงหน่อย
analisa isso de 1 a 0, isso até simplifica as coisas um pouco.
งั้นลองใช้อันที่สองแล้วกัน
Então vamos resolver da segunda forma.
อย่างแรกเลย เราต้องหา
E em primeiro lugar temos que calcular qual é o integral
แอนติเดริเวทีฟของพจน์ตัวในนี้ว่าคืออะไร
desta expressão entre parêntesis.
เรายังไม่เคยเห็นสแควร์รูทของ x เลย
Ainda não vimos como fazer com a raiz quadrada de x...
คุณรู้ไหมว่าคุณจะหายังไง?
Acham que sabem como integrá-la?
ผมว่าคุณรู้นะ
Bem, eu acho que você sabe fazer isso.
สมมุติว่านั่นเท่ากับ สแควร์รูทของ x ก็แค่ x ยกกำลัง
Vamos considerar que raiz quadrada de x é
1/2, จริงไหม?
x elevado a 1/2, certo?
เราก็ใช้กฎแอนติเดริเวทีฟเดิม
E então nós usamos as mesmas regras de antiderivação
ที่เราใช้ตลอด
que nós sempre usamos.
เราเพิ่มเลขชี้กำลังขึ้นหนึ่ง มันเลยกลายเป็น x กำลัง 3/2
Nós elevamos isso a uma potência maior e então isso se torna x elevado à 3/2.
ใช่, มันคือ 1/2, เราบวกมันเพิ่ม 1
Certo, isso era 1/2 e nós adicionamos 1 a isso.
แล้วเราก็หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่นี้
E então nós dividimos por este novo expoente...
งั้นหารด้วยเศษส่วน ก็เหมือนกับคูณ
E então dividindo por uma fração é a mesma coisa que multiplicar
ด้วยส่วนกลับของมัน
pela sua recíproca...
มันก็คือ 2/3 x กำลัง 3/2 แล้วก็ลบ -- ผมว่าเทอมที่สอง
Então isso é 2/3 de x elevado a 3/2 e então menos... eu penso que o segundo
คงง่ายสำหรับคุณนะ -- ลบ 1/3 x กำลัง 3
termo é bastante fácil para você... menos 1/3 x elevado ao cubo...
นั่นคือแอนติเดริเวทีฟของลบ x กำลังสอง, ลบ
Esta é a antiderivada de menos x ao quadrado, menos
1/3 x กำลังสาม
1/3 x ao cubo.
และเราจะต้องแทนค่านี่ที่ 0 กับ 1
E nós iremos resolver esta coisa entre zero e 1.
แล้วหาผลต่างมัน
e subtrair a diferença.
ลบพจน์นี้ แทนค่าที่ 0 จาก
Subtrair esta expressão resolvida em zero desta
พจน์นี้แทนค่าที่ 1
expressão resolvida em 1.
ผมว่าผมใช้ที่หมดแล้ว
Eu acho que estou ficando sem espaço...
เกิดอะไรขึ้นตอน x เท่ากับ 1?
O que ocorre quando x é igual a 1?
1 กำลัง 3/2 ได้ 1
1 elevado à 3/2 dá 1...
1 กำลังสาม ได้ 1
1 elevado ao cubo é 1...
งั้นมันคือ 2/3 ลบ 1/3
Então isso é 2/3 menos 1/3...
นั่นง่ายอยู่แล้ว
Bem, isso é fácil...
มันคือ 1/3
Isso é 1/3.
ผมแค่ใส่ 1 ลงไปแทน x
Eu apenas troquei x por 1...
แล้วเมื่อ x เท่ากับ 0 พจน์นี้เท่ากับอะไร?
E então quando x é igual a zero, o que dá esta expressão?
อันนั้นก็ง่ายเหมือนกัน
Bem, isso também é fácil.
นั่นคือ 0
Isso é zero.
แล้วคุณก็ได้แล้ว
E então lá vamos nós...
1/3 ลบ 0 หรือ 1/3
1/3 menos zero ou 1/3...
นั่นเจ๋งดี
Isso é bem tranquilo...
-
.
คุณก็รู้ ผมว่ามันน่าตื่นเต้นเพราะหาก ตามสัญชาตญาณ
Você sabe que eu acho isso motivante porquê se se minha
ผม ผมก็แบบว่า, โอ้ ผมมีเส้นโค้งสองเส้นนี้ และผมหมายถึง
intuição estiver certa... oh, eu tenho estas duas curvas, e tipo
พวกมันตัดกันตรงเลขจำนวนเต็มสวย ๆ, แต่คุณก็รู้
elas se intersectam em um número inteiro bem legal, mas você sabe...
มันอาจจะเป็นเลขเลอะเทอะอะไรสักอย่าง
isso possivelmente irá resultar em um número bem estranho
ที่เป็นขอบของพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นนี้, จริงไหม
do valor dessa área entre estas duas curvas... certo.
ใครจะรู้, บางทีมันอาจเกี่ยวข้องกับ อะไรดีละ่ -- วงกลม
Quem sabe, talvez isso envolva, você sabe... um círculo
เกี่ยวกับ ไพ, ซึ่งเป็นเลขที่เลอะเทอะที่ด้วย, งั้นบางที
envolve Pi, que é realmente um número bem estranho, ou talvez
เส้นโค้งพวกนั้นทั้งหมดเกี่ยวข้องกับพื้นที่น่าเกลียด
todas as curvas tenham algum tipo de área bem estranha...
แต่อันนี้เป็นหนึ่งในสิ่งสวยงามในคณิตศาสตร์
Mas isso é apenas uma das coisas legais em matemática..
พื้นที่ระหว่างสแควร์รูทของ x กับ x กำลังคือ 1/3
A área entre a raiz quadrada de x e x ao quadrado é 1/3,
ซึ่งเป็นเลขที่สะอาดทีเดียว
o que é um número bem bonitinho...
-
.
ที่จริง ขอผมทำโจทย์อีกข้อนะ เพราะผมมีเวลา
Agora deixe-me fazer mais um problema, já que sobrou tempo...
-
.
มันเป็นโจทย์เล่นกลหน่อย
Este é um pouco traiçoeiro.
ผมหมายถึง, คุณอาจเห็นว่ามันง่ายก็ได้, แต่ลองหา
Eu digo, você pode achá-lo fácil, mas vamos calcular
พื้นที่ระหว่าง f ของ x เท่ากับ -- ไม่รู้สิ
a área entre f de x igual a... eu não
x กำลังห้า
sei, x elevado à quinta...
ผมจะทำอะไรที่เรียบง่ายหน่อย
Eu irei fazer alguma coisa simples...
ขอผมวาดมันหน่อยนะ
Deixe-me agora desenhar isso...
-
.
โอเค, ผมจะวาดแกน x
OK, eu irei desenhar o eixo-x...
-
.
x กำลังห้าจะพุ่งขึ้นเร็วมาก,
x à quinta irá crescer super rápido,
อะไรแบบนั้น
algo assim...
มันจะขึ้นไปเร็วมาก
Isso irá crescer realmente rápido...
สมมุติว่าผมอยากหาพื้นที่ -- ด้านนี้
Digamos que eu queria descobrir as áreas... este lado
จะไปเร็วมากเหมือนกัน -- ระหว่างนั่น, และแทนที่
irá crescer rapidamente também... entre aquilo, e ao invés de
จะหาพื้นที่ระหว่างแกน x กับนั่น, f ของ x, ผมอยาก
calcular a área entre o eixo-x daquilo, f de x... eu quero
หาพื้นที่ระหว่าง f ของ x กับ -- แทนที่
calcular a área entre f de x e... ao invés
จะหาพื้นที่ข้างล่างนี่, จริงไหม?
de calcular esta área aqui em baixo, certo?
เช่นเดียวกับโจทย์ปกติที่เราเคยทำ, เราหาหาพื้นที่
Como os problemas normais que nós fizemos, nós iremos calcular este
แบบนี้, คุณก็รู้, ระหว่างจุดสองจุด
tipo de área, você sabe, entre dois pontos...
สมมุติว่าผมอยาหาพื้นที่ภายในเส้นโค้ง
Digamos que eu quero calcular a área dentro da curva
ที่ความสูงตรงนี้คือ 32
na qual a altura aqui são 32...
ผมอยากหาพื้นที่นี้ในเส้นโค้ง
E então eu quero calcular esta área dentro da curva...
แล้วเราจะหายังไง?
Como nós fazemos isso?
ทีนี้วิธีนึงที่เราทำได้ คือ อย่างที่เราทำในครั้งที่แล้ว
Bem, uma maneira de nós resolvermos isso é exatamente como nós fizemos com a anterior,
เราสามารถหาฟังก์ชันสักอันที่เป็นเส้นตรง
nós podemos calcular uma função que é em essência uma linha, uma
เส้นราบที่ลากตัดนี่ตรง ๆ
linha horizontal que irá cortar diretamente aqui...
แล้วเราก็หาพื้นที่
E assim nós iremos em suma apenas calcular a área
ระหว่างฟังก์ชันสองอันนั้น
entre duas funções.
แล้วฟังก์ชันอะไรที่เป็นเส้นตรงผ่าน
E então qual é a função cuja linha corre
y เท่ากับ 32?
reta em y igual a 32?
ผมว่าผมเพิ่งบอกคำตอบคุณไปนะ
Eu penso que eu lhe dei a resposta...
ใช่เลย
Exato!
ขอผมใช้สีเขียวนั่นแล้วกันนะ
Deixe-me traçar isso com a cor esverdeada...
เราก็บอกว่า g ของ x เท่ากับ 32
E então nós podemos dizer que g de x é igual a 32...
มันเป็นแค่ฟังก์ชันคงที่
Isso é uma constante.
มันเลยตัดตรง ๆ แบบนั้น
Isso simplesmente passa através...
แล้วเราต้องหาพื้นที่ระหว่าง
E então nós precisamos calcular a área entre os
สองดัน, เราเลยต้องหาว่าสองจุดนี้คืออะไร
dois, e então nós precisamos descobrir quais são estes dois pontos...
-
.
ตอนไหนที่ x เท่ากับ 32?
E então, quando que x à quinta é igual a 32?
ผมหมายถึงคุณอาจแก้มันโดยพีชคณิต, คุณก็รู้,
Eu penso que você pode resolver isso pela álgebra, você sabe,
คุณอาจบอกว่า x กำลังห้าเท่ากับ 32
você poderia dizer, x à quinta é igual a 32...
x เท่ากับ 2, และที่จริงแล้ว, คุณรู้อะไรไหม?
x é igual a 2, e agora, o que você sabe?
ผมทำพลาดแล้ว
Eu cometi um erro...
สมมุติว่านี่ไม่ใช่ x กำลังห้า
Digamos que isso não é igual a x à quinta.
สมมุติว่า f ของ x เท่ากับ x กำลัง ค่าสมบูรณ์
Digamos que este f de x é igual ao valor absoluto
ของ x กำลังห้า
de x à quinta!
เพราะข้อผิดพลาด, แน่นอน x กำลังห้าไม่ได้เป็น
Porquê o engano, obviamente x à quina não é algo
อะไรที่หน้าตาเป็นพาราโบลา x กำลังห้า
parecido com uma parábola, x à quinta vai
จะไปทางลบแบบนี้
para o negativo, assim...
แต่ผมทำตามรูปถ้วยนี่มามากแล้ว ผมเลย
Mas eu me envolvi tanto nesta forma de copo que eu irei resolver
ให้มันเป็น ค่าสมบูรณ์ของ x กำลังห้า แล้วกัน
isso para o valor absoluto de x à quinta.
หากผมบอกว่าค่าสัมบูรณ์ของ x กำลังห้า เท่ากับ
E então se eu digo que o valor absoluto de x à quinta é igual a
32, ผมว่าคุณคงเห็นว่าผมรู้ข้อผิดพลาดได้ยังไง
32, eu penso que você percebe quando eu notei meu engano.
แต่หากผมบอกว่า ค่าสัมบูรณ์ของ x กำลังห้า คือ 32
Mas se eu disser que o valor absoluto de x à quinta é 32,
มันมีสองที่ที่ทำให้เป็นจริง
existem dois pontos onde isso é verdadeiro.
มันคือ x เท่ากับบวกหรือลบ 2
Este x é igual a mais ou menos 2.
พวกนี้คือจุดสองจุด
Estes são os dois pontos.
ผมควรทำอะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่
Eu poderia ter feito algo com um expoente par e então eu
ผมจะได้รูปถ้วยแบบนี้, แต่ช่างเถอะ, ค่าสัมบูรณ์
poderia ter tido esta forma de copo, mas de qualquer maneira o valor
แก้ปัญหาผมได้แล้วกัน
absoluto resolveu meu problema.
แล้วพื้นที่นี้คืออะไร?
E então qual é esta área?
เรารู้ว่ามันอยู่ระหว่างลบ 2 กับ 2, เราเลยตั้ง
Nós sabemos que ela está entre menos 2 e 2, e então nós apenas preparamos
อินทิกรัลจำกัดเขต
a integral indefinida.
มันคืออินทิกรัลจำกัดเขตจากลบ 2 ถึง 2 ของฟังก์ชันบน
Esta é a integral indefinida de menos 2 a 2 da função
ขอบบน, 32, ลบขอบล่าง
de cima, a fronteira superior, 32... menos a fronteira de baixo.
-
.
ทีนี้, นี่อาจต้องระวังหน่อย, แต่ลบค่าสัมบูรณ์
Bem, isso será um pouco traiçoeiro, mas menos o valor
ของ x กำลังห้า dx
absoluto de x até à quinta potência dx...
และที่จริง แทนที่จะทำแบบนี้, ผมว่าคุณอาจเห็น
E agora ao invés de resolvermos isso, eu penso que eu poderia perceber
ว่ามีสมมาตรตรงนี้, เราเลยต้องหา
que existe esta simetria aqui, então nós podemos simplesmente resolver para
พื้นที่นี้แล้วคูณ 2
esta área e multiplicar por 2...
ปัญหานี้รกหน่อย เพราะผมเลือก
Este problema é um pouco cabeludo, justamente porquê eu tive uma má
ฟังก์ชันตั้งต้นไม่ดี
escolha da função inicial.
ไม่ใช่สิ่งที่ผมอยากได้จริง ๆ, แต่เราจะทำต่อไป
Não foi exatamente o que eu planejei, mas nós iremos avançar...
งั้นแทนที่จะทำอย่างนั้น, ลองหาอินทิกรัลจาก 0 ถึง 2 ของ
E então ao invés de resolver isso, vamos fazer a integra de zero a 2 de
32 ลบ x กำลังห้า dx
32 menos x elevado à quinta dx...
แล้วคูณนั่นด้วย 2
E então multiplicar isso por 2.
แล้วมันคืออะไร?
Então o que é isso?
นั่นคือ 32x ลบ x กำลังหก ส่วน 6
Isso dá 32x menos x elevado à sexta sobre 6...
และเราจะแทนค่ามันที่ 2 กับ 0 ได้ 64 ลบ 64/6
E nós iremos integrar isso de 2 e zero em 64 menos 64/6...
2 กำลังหกได้ 64, แล้ว 32 คูณ 0 ได้ 0 และ
2 à sexta são 64 e então 32 vezes zero é zero e o
ต่อไปคือ 6, นั่นคือ 0, ดังนั้นคำตอบคือ 64 ลบ 64/6
próximo são 6... isso dá zero... e então a resposta é 64 menos 64/6.
ผมจะหมดเวลาแล้ว
E eu estou quase sem tempo...
นั่นก็แค่ปัญหาเรื่องเศษส่วน
E isso agora é apenas um problema de frações...
โอ้, นั่นแค่ครึ่งเดียว, จริงไหม?
Oh, e isso é a metade disso, certo?
เราเลยต้องคูณนั่นด้วย 2 อีกที
E então nós queremos multiplicar isso por 2...
และหากเราคูณนั่นด้วย 2, เราจะได้ 128 ลบ 128/6
E se nós multiplicarmos isso por 2, nós temos 128 menos 126/6...
ผมยังไม่ได้หาว่ามันเป็นเท่าไหร่
Eu ainda não descobri o que isso vai dar...
ผมเดาว่า เราหามันได้
Mas eu penso que nós podemos descobrir...
มันคือ 128 คูณ 1 ลบ 1/6 หรือ 128 คูณ 5/6
Isso são 128 vezes 1 menos 1/6 ou 128 vezes 5/6.
ผมไม่รู้ว่ามันเป็นเท่าไหร่
E eu não sei o quê é isso.
ผมคูณมันก็ได้หากต้องการ, แต่ผมมีเวลาเหลือแค่ 10 วินาที
Eu posso multiplicar se eu quiser, mas eu tenho apenas 10 segundos remanescentes...
งั้นผมจะปล่อยคุณไปดีกว่า
e então eu vou deixá-lo por aqui.
หวังว่าผมคงไม่ทำให้คุณงงนะ
Espero não tê-lo confundido.
แล้วพบกันใหม่ครับ
Vejo-o em breve.
-
.
Similar videos:

Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200844% match

Definite integrals (part II)
Khan Academy
328.9K views 664 likes 27 dislikes 19 Oct 200742% match

Definite Integrals (area under a curve) (part III)
Khan Academy
312.8K views 707 likes 34 dislikes 19 Oct 200741% match

Solid of Revolution (part 3)
Khan Academy
242.9K views 713 likes 22 dislikes 25 Apr 200841% match

Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200638% match






Simple Differential Equations
Khan Academy
412.4K views 891 likes 48 dislikes 16 Jun 200837% match


Periodic Definite Integral
Khan Academy
221K views 220 likes 7 dislikes 28 Dec 201037% match


Integrating factors 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
769.7K views 1.9K likes 128 dislikes 31 Aug 200837% match


Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201037% match




First order homogenous equations | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
918K views 2.2K likes 151 dislikes 31 Aug 200836% match


Statistics: Standard deviation | Descriptive statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
2.1M views 6.3K likes 353 dislikes 25 Jan 200936% match


Polar coordinates 1 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
804.1K views 2.2K likes 86 dislikes 02 Feb 200936% match


Solid of Revolution (part 5)
Khan Academy
250.9K views 522 likes 19 dislikes 27 Apr 200836% match

CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200836% match








How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201035% match









Solving a quadratic by factoring | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
487.5K views 1K likes 60 dislikes 19 Nov 200635% match


Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201135% match






Probability (part 3)
Khan Academy
368.8K views 844 likes 22 dislikes 03 May 200835% match


Integrating factors 2 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
335.7K views 741 likes 31 dislikes 31 Aug 200834% match


Another u-subsitution example
Khan Academy
248K views 458 likes 14 dislikes 08 Feb 200934% match


Double integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
449.7K views 1.7K likes 20 dislikes 13 Aug 200834% match

Double integral 1 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
857.3K views 3.8K likes 123 dislikes 13 Aug 200833% match


Matrix multiplication (part 1)
Khan Academy
1.3M views 5.7K likes 204 dislikes 07 Jun 200833% match



SPIDER-MAN Homecoming Gear Hunt SuperHero Kids
SuperHeroKids
1.1M views 5.3K likes 586 dislikes 27 Jul 201733% match




Double integrals 5 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
248.9K views 582 likes 14 dislikes 14 Aug 200833% match


Double integrals 3 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
288.9K views 794 likes 11 dislikes 13 Aug 200833% match


Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200832% match



WHO WORE IT BEST? | WHAT'S KAYLA UP TO? | We Are The Davises
We Are The Davises
1.2M views 6.6K likes 437 dislikes 03 Jun 201632% match


Why distance is area under velocity-time line | Physics | Khan Academy
Khan Academy
614.5K views 1.4K likes 45 dislikes 13 Jun 201132% match


Taco Bell's NEW Toasted Cheddar Chalupa Review
TheReportOfTheWeek
388.8K views 12.6K likes 428 dislikes 13 Sep 201932% match






Settings Privacy About Contact Donate