Catalan's Conjecture - Numberphile Numberphile English Spanish

Catalan's Conjecture - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 1.5M views 30.6K likes 655 dislikes 14 Feb 2018 Show Contributors 2

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Spanish Javier Wagner

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So, today I'm going to tell you about what's called Catalan's conjecture.

Entonces, hoy voy a contarte sobre lo que se llama la Conjetura del Catalan

So even though it's called a conjecture, it's actually known,

Así que a pesar de que se llama conjetura, en realidad es conocido,

so this was proved by a mathematician about 15 years ago.

Ya que esto fue probado por un matemático hace unos 15 años.

And it's a question about, or a statement about,

Y es un asunto sobre, o una proposición sobre,

perfect powers, okay?

potencias perfectas, ¿de acuerdo?

So... What do I mean by perfect powers, first of all?

Entonces ... ¿Qué quiero decir con potencias perfectas, antes que nada?

I mean, take some whole number - 1, 2, 3, so on -

Quiero decir, tomas un número entero 1, 2, 3, etc. -

and raise it to a power which is larger than 1, okay,

y lo elevas a una potencia mayor que 1, ¿está bien?,

so squares, cubes and so on.

cuadrados, cubos, etc.

So if you start to write these things down, 1 is a perfect power, in fact a power of itself to any exponent,

Entonces, si comienzas a escribir estas cosas, 1 es una potencia perfecta, de hecho es potencia de sí mismo para cualquier exponente,

2 is not, 3 is not,

2 no es, 3 no es,

But then we get 4, which is 2 squared. Then we have to go up to I guess 8, which is 2 cubed, and

Pero luego obtenemos 4, que es 2 al cuadrado. Luego tenemos que subir a 8, que es 2 al cubo, y

9 is 3 squared, and

9 es 3 al cuadrado, y

Am I gonna run into any cube soon? Let's see Oh 27 and

Voy a encontrarme con algún cubo pronto. Veamos Oh! 27 y

49 y así sucesivamente

- so these are numbers that can be built by taking two integers and raising one to the power of another? -that's exactly right

BRADY: Entonces, ¿estos son números que se pueden construir tomando dos enteros y elevando uno a la potencia del otro? -Eso es correcto

Yeah, so of course all we've seen so far mostly squares and cubes

Sí, así que por supuesto todo lo que hemos visto hasta ahora en su mayoría son cuadrados y cubos

I guess 16 is also a fourth power

Creo que 16 también es una cuarta potencia

But you can take the exponent to be as large as you want, raise it as high of a power as you want, and you

Pero puedes tomar el exponente tan grande como desees, aumentarlo con la potencia que desees y

Can take the number to be as large as you want to. I'm just trying to put them in order. -so do these numbers become More common or less common as we go down the number line? -so they become less common and generally you think they're spread out right,

puedes tomar el número para que sea tan grande como lo desees. Solo estoy tratando de ponerlos en orden. BRADY: ¿Estos números se vuelven más comunes o menos comunes a medida que avanzamos por la recta numérica? Se vuelven menos comunes y, en general, crees que están distribuidos correctamente.

like just think about squares for example if you hand me a big number like a million and you want to know

Como si piensas solo en cuadrados. Por ejemplo, si me das un gran número como un millón y quieres saber

"about how many squares are less than a million?" well,

"¿Cuántos cuadrados hay menores a un millón?"

It's about square root of a million right because that's how small the number has to be

Bien, se trata de la raíz cuadrada de un millón ¿correcto?. Porque así de pequeño debe ser el número

To be less than a million after you square it. they're cool numbers

para ser menor de un millón después de elevarlo al cuadrado. Son números geniales.

They're kind of spread out as you go along and get bigger and bigger

Se expanden a medida que avanzas y se hacen más grandes y más grandes

But notice that in the beginning here some of them are close together, so we've got actually a pair of consecutive

Pero notemos que al principio aquí algunas de ellas están muy juntos, así que tenemos un par de

Powers, so separated only by one, I guess here

potencias consecutivas, apenas separados por uno. Luego aquí

We have separated by two and three and four and so on so there's some separation here

nos hemos separado por dos y tres y cuatro, y así sucesivamente, así que hay algo de separación aquí

But what Catalan conjectured and this is a question people have been interested in for hundreds of years actually is

Pero lo que Catalan conjeturó y ésta es una pregunta en la que la gente ha estado interesada durante cientos de años en realidad es

this particular pair of eight and nine so the fact that

Este par particular de ocho y nueve. El hecho de que

Three squared minus two cubed is equal to one or really that you have any two powers which differ by one

tres al cuadrado menos dos al cubo es igual a uno. Realmente tienes dos potencias diferentes que difieren en uno

No other example of that was known and so what Catalan conjectured is that

No se conoce ningún otro ejemplo de eso, y lo que Catalán conjeturó es que

this is the only time that this happens that you have two powers whose difference is exactly one

esta es la única vez que esto sucede, tienes dos potencias cuya diferencia es exactamente uno

But it was unknown if like a gajillion and four

BRADY: Pero no se sabía si pasaba con números muy grandes

Yeah, that's exactly right

Sí, eso es exactamente correcto

so we didn't know for a long time whether or not this conjecture was true so back a few decades ago

Así que no supimos, por mucho tiempo, si esta conjetura era cierta o no. Hace algunas décadas atrás

We did know that if it wasn't true there would be only finitely many exceptions

supimos que si no era cierto, al menos solo habría un número finito de excepciones

So this tends to be easier to show in general right that okay?

Entonces, esto tiende a ser más fácil de mostrar en general, ¿está bien?

I know that there's a really large number of things happening or only finitely many times it happens

Sé que hay una gran cantidad de cosas que suceden o solo muchas veces sucede

But to show that there's only one is what we didn't know until recently so it's known

Pero mostrar que solo hay un caso es lo que no sabíamos hasta hace poco. Ahora es conocido

Yes, so this is what was proved by this mathematician Mihăilescu. In fact,

Sí, entonces esto es lo que probó este matemático Mihăilescu. De hecho,

These are the only consecutive perfect powers, okay, so this notion that okay?

estas son las únicas potencias perfectas consecutivas, ¿está bien? Esta noción

They probably kind of spread out as time goes on is it least true if spreading out means bigger than one

de que se van separando a medida que pasa el tiempo es menos cierta si la separación es mayor a uno.

I mean the proof of this is really advanced and so okay

Quiero decir que la prueba de esto es realmente avanzada y

We don't have time for I don't know the next couple of years to go through it

no tenemos tiempo para, no lo sé, tal vez un par de años para desarrollarla

but I want to tell you at least about sort of a special case of this and

Pero quiero hablarte al menos sobre un caso especial de esto.

Something that's been known for a while

Algo que se ha sabido desde hace algún tiempo

But it gives you an idea of kind of the type of manipulation you can do to understand this kind of problem. all right,

Pero te da una idea del tipo de manipulación que puedes hacer para comprender este tipo de problema.

So solving this equation showing that there's only one solution and that's it

Resolver esta ecuación y mostrar que solo tiene una solución y nada más

es bastante duro

But let me show you a special case: let's look at the case of x squared minus

Pero dejame mostrarte un caso especial: veamos el caso de X al cuadrado menos

Y cubed equals one so for example that has some solution

Y al cubo igual a uno que, por ejemplo, tiene alguna solución.

We know because we have these consecutive powers, so we're really just asking about a square differing from a cube by one okay

Lo sabemos porque tenemos estas potencias consecutivas, ya que solo estamos preguntando por un cuadrado que difiere de un cubo en uno.

So why doesn't this have any other solutions?

Entonces, ¿por qué esto no tiene otras soluciones?

Well, here's what you want to do: general rule adding and understanding factors at the same time is hard

Bueno, esto es lo que deseas hacer: Usar reglas generales y comprender los factores al mismo tiempo es difícil

That's why Fermat's Last Theorem is hard, that's why this kind of question is hard. So let's change it to a question about multiplication.

Es por eso que el último teorema de Fermat es difícil. Por eso este tipo de pregunta es difícil. Cambiemos a una pregunta sobre la multiplicación.

All right, so how do we do that? Let's move things to the other side, so let's say instead

De acuerdo, entonces, ¿cómo hacemos eso? Vamos a mover las cosas al otro lado, así que digamos

We're gonna solve this equation.

Vamos a resolver esta ecuación.

Now why have I just made my life better? The reason why is because this thing breaks up into two factors

Ahora, ¿por qué esto nos mejora la vida? La razón es porque esto se divide en dos factores

Any time you see a difference of squares like this, you can factorize it in this way, and so

Cada vez que veas una diferencia de cuadrados como esta, puedes factorizarlo de esta manera, y así

this just changes from a very hard problem about addition and multiplication

esto simplemente cambia de un problema muy difícil sobre suma y multiplicación

interacting together to just multiplication. Okay, so now why is this better? Why do I find out whether or not this has solutions?

interactuando juntos, a solo una multiplicación. De acuerdo, ahora ¿por qué es esto mejor? ¿Cómo averiguo si esto tiene o no soluciones?

Here's the idea: the factors of Y.

Aquí está la idea: los factores de Y.

Any number that divides y has gotta divide one of these two things and so let's ignore two for the moment

Cualquier número que divida a Y tiene que dividir a una de estas dos cosas, así que vamos a ignorar dos por el momento

Let's pretend that Y is odd, so two doesn't divide Y

Supongamos que Y es impar, por lo que dos no dividen a Y

So if Y is odd that means then that any factor of y has to divide one of these two things

Entonces, si Y es impar, eso significa que cualquier factor de Y debe dividir una de estas dos cosas

But it can't divide both of them at once and the reason why is that whatever these two numbers are, they differ only by two

Pero no puede dividir a los dos a la vez y la razón es que sean cuales sean estos dos números, difieren solo en dos.

So for the same reason they can't have a common factor other than possibly two.

Entonces, por la misma razón, no pueden tener un factor común que no sea posiblemente dos.

so if Y is odd all the factors of Y either

Entonces, si Y es impar cada factor de Y o bien

divide X minus one or a factor of Y divides X plus one, but not both at the same time

divide a (X-1) o divide a (X+1), pero no ambos al mismo tiempo

Which means that both of these numbers have to be cubes. So these are both cubes because any number which divides Y

Lo que significa que ambos números deben ser cubos. Entonces estos son dos cubos porque cualquier número que divida a Y

We know there's at least three copies of

Sabemos que hay al menos tres copias de él aquí

But all of those copies have to go to the same one of these two numbers, and so we've got two cubes

Pero todas esas copias tienen que dividir al mismo de estos dos números, así que tenemos dos cubos

Which are only two apart.

Que están separados por dos.

Right so the difference between these two cubes is only two,

¿Correcto?, entonces la diferencia entre estos dos cubos es solo dos.

but that never happens with cubes, right, because we know what the cubes are 1 8

Pero eso nunca sucede con los cubos, ¿verdad ?, porque sabemos que los cubos son 1, 8,

27 and so on and that for sure

27 y así sucesivamente y eso seguro

spreads out as you go along and so you can't have any cubes which are separated by two

se extiende a medida que avanzas y por lo tanto no puedes tener cubos separados por dos

And so you can't have any solution to this equation (at least if Y is odd). -What if Y is even?

Y entonces no puedes tener ninguna solución para esta ecuación al menos si Y es impar. BRADY: ¿Qué pasa si Y es par?

Well then it's a little bit harder, but not that much -You haven't done the whole proof

Bueno, entonces es un poco más difícil, pero no tanto. BRADY: No has hecho toda la prueba

No, so in general of course the proof is not via this plan although changing from addition to multiplication is the important part of

No, así que, en general, por supuesto, la prueba no es a través de este plan, aunque el cambio de la suma a la multiplicación es la parte importante de

the proof actually. An important part of the proof.

la prueba en realidad. Una parte importante de la prueba.

But this is just sort of the smallest tiniest piece the step in the right direction towards proving this kind of thing.

Pero esto es solo la pieza más pequeña, el paso en la dirección correcta para probar este tipo de cosas.

Hi everyone thanks for watching this video, I'm just working on

Hola a todos, gracias por ver este video, estoy trabajando en

Brilliant's problem of the week, which triangle has the greatest area. I can't decide if this is a trick question or

El problema de la semana de Brilliant. ¿Cuál triángulo tiene el mayor área? No puedo decidir si ésta es una pregunta capciosa o

do they have the same area let me get 4c ah

tienen el mismo área, déjame marcar c, ah!

It says it's okay. I got it wrong, but it says here

Dice que, .. ah ok. Lo tengo mal, pero aquí dice

And this is true getting stumped is part of learning and now we get to continue and discuss the solutions

Y esto es cierto, quedarse perplejo es parte del aprendizaje y ahora podemos continuar y discutir las soluciones

Yeah, see I probably should have done better working out like that person did, but you know we're recording here in a hurry now

Sí, mira, probablemente debería haber hecho un mejor trabajo como lo hizo esa persona, pero sabes que ahora estamos grabando aquí con prisa.

Brilliant dog is a fantastic problem-solving website

Brilliant.org es un fantástico sitio web para la resolución de problemas

It's also the sponsor of today's video in case you hadn't noticed and the thing I like about brilliant is

También es el patrocinador del video de hoy en caso de que no lo hayas notado y lo que me gusta de Brilliant es que

it's full of all sorts of quizzes and courses and curated lessons that doesn't just

está lleno de todo tipo de cuestionarios y cursos y lecciones verificadas. No solo

Tell you stuff so that you'll know it it helps you understand that it helps you go deeper

te cuenta cosas para que las sepas. Te ayuda a entender, te ayuda a profundizar

And I think that's a really important thing you can watch loads of videos and learn lots of new things but to really

Y creo que eso es realmente importante- Puedes ver montones de videos y aprender muchas cosas nuevas, pero realmente

Understand that sometimes you actually have to do the problems have someone hold your hand as you go through it

comprendes que a veces tienes que hacer los problemas con alguien que te tome de la mano mientras lo haces

And that's what's great about brilliant. They obviously cover loads of mathematics

Y eso es lo bueno de Brilliant. Obviamente cubren un montón de matemáticas

They also cover science. They also cover computer science. There's physics. There's all sorts of things here

También cubren ciencia. También cubren informática. Hay física. Aquí hay todo tipo de cosas

You really should have a look by the way if you enjoyed today's video with Holly

Deberías echarle un vistazo por cierto si disfrutaste el video de hoy con Holly

I'm told the open problems group here on brilliant could also be a great place for you to be hanging out

Me dijeron que el grupo de problemas abiertos aquí en Brilliant también podría ser un gran lugar para pasar el rato

So what are you going to have a look at that?

Entonces qué! ¿vas a echarle un vistazo a esto?

I'll include a link down in the video description now while I get back into these triangles and figure things out

Voy a incluir un enlace en la descripción del video ahora, mientras regreso a estos triángulos y resuelvo las cosas

What you should do is go to brilliant org slash numberphile you can sign up to brilliant for free?

Lo que debes hacer es ir a brilliant.org/numberphile y puedes inscribirte en Brilliant de forma gratuita.

But if you use the slash numberphile, I just mentioned and there'll be a link in the description

Pero si usas la barra oblicua, acabo de mencionarlo y habrá un enlace en la descripción

You'll also get 20% off a premium membership go and have a look and don't just get told stuff

También obtendrás un 20% de descuento en una membresía premium. Ve y echa un vistazo y no solo te dirán cosas,

understand stuff

entenderás cosas

There is a difference

Hay una diferencia

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